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2016


2016-2017 学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析 法高效测评 新人教 A 版选修 2-2

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.欲证不等式 3- 5< 6- 8成立,只需证( A.( 3- 5) <( 6- 8) C.( 3+ 8) <( 6+ 5) 解析:
2 2 2 2

)
2 2

B.( 3- 6) <( 5- 8)
2

2

D.( 3- 5- 6) <(- 8)

2

要证 3 - 5< 6 - 8 成立,只需证 3 + 8< 6 + 5 成立,只需证 ( 3 +
2

8) <( 6+ 5) 成立. 答案: C 1 1 2.使不等式 < 成立的条件是(

a b

) B.a<b D.a>b 且 ab>0

A.a>b C.a>b 且 ab<0

1 1 1 1 b-a 解析: 要使 < ,须使 - <0,即 <0.

a b

a b

ab

若 a>b,则 b-a<0,ab>0. 若 a<b,则 b-a>0,ab<0. 答案: D 3.已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则( 1 A.a≤ 2 C.a +b ≥2 解析: ∵a+b=2≥2 ab,∴ab≤1. ∵a +b =4-2ab,∴a +b ≥2. 答案: C 4.已知 p=a+ A.p>q C.p≥q 解析: p=a+
2 2 2 2 2 2 2

) 1 B.ab≥ 2 D.a +b ≤3
2 2

1 2 (a>2),q=2-x +4x-2(x>0),则( a-2 B.p<q D.p≤q 1

)

a- 2

=(a-2)+

1

a-2

+2≥2

?a-2?·?

? 1 ?+2=4.q=2-x2+4x ? ?a-2?

-2=2-(x-2) +2≤4.
1

答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.命题“函数 f(x)=x-xln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数 f(x)=

x-xln x 取导得 f′(x)=-ln x,当 x∈(0,1)时,f′(x)=-ln x>0,故函数 f(x)在区间
(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法. 解析: 该证明过程符合综合法的特点. 答案: 综合法 6.如果 a a+b b>a b+b a,则实数 a,b 应满足的条件是__________ 解析: a a+b b>a b+b a?a a-a b>b a-b b ?a( a- b)>b( a- b)?(a-b)( a- b)>0 ?( a+ b)( a- b) >0, 故只需 a≠b 且 a,b 都不小于零即可. 答案: a≥0,b≥0 且 a≠b 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.在△ABC 中, =
2

.

AC cos B ,证明:B=C. AB cos C

sin B cos B 证明: 在△ABC 中,由正弦定理及已知得 = . sin C cos C 于是 sin Bcos C-cos Bsin C=0, 因 sin(B-C)=0, 因为-π <B-C<π ,从而 B-C=0, 所以 B=C. 8.已知 a>0,b>0,求证:

a b + ≥ a+ b. b a a b ?a ? + - a - b =? - b? + ? b ? b a

证明:

方法一: ( 综合法 ) 因为 a>0 , b>0 ,所以

2 a b ? b - a? a-b b-a ? 1 - 1 ? ? a- b? ? a+ b? + =(a-b)? ≥0,所以 + ? ?= ?= a b a ? ? ? ? b a ab b a

≥ a+ b. 方法二:(分析法)要证

a b + ≥ a+ b,只需证 a a+b b≥a b+b a,即证(a- b a

b)( a- b)≥0, 因为 a>0, b>0, 所以 a-b 与 a- b符合相同, 不等式(a-b)( a- b)≥0
成立,所以原不等式成立. ? 尖子生题库 ?? ☆☆☆

2

(10 分)已知 a,b,c 是全不相等的正实数,求证: 证明: 证法一:(分析法) 要证

b+c-a a+c-b a+b-c + + >3. a b c

b+c-a a+c-b a+b-c + + >3. a b c b c a a c a b b a b c c

只需证明 + -1+ + -1+ + -1>3, 即证 + + + + + >6, 而事实上,由 a,b,c 是全不相等的正实数, ∴ + >2, + >2, + >2. ∴ + + + + + >6. ∴

b c c a a b a a b b c c

b a a b

c a a c

c b b c

b c c a a b a a b b c c

b+c-a a+c-b a+b-c + + >3 得证. a b c

证法二:(综合法) ∵a,b,c 全不相等 ∴ 与 , 与 , 与 全不相等. ∴ + >2, + >2, + >2, 三式相加得 + + + + + >6,

b a c a c b a b a c b c b a a b c a a c

c b b c

b c c a a b a a b b c c

? ? ? ? ? ? ∴? + -1?+? + -1?+? + -1?>3.
b c ?a a c a ? ?b b a b ? ?c c

?



b+c-a a+c-b a+b-c + + >3. a b c

3


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