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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第5章 第2节 等差数列及其前n项和


课时作业 一、选择题 1.(2013· 辽宁高考)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列; an p3:数列{ n }是递增数列; p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为 ( ) A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4 D [如数列-2,-1,0,1,2,…,则 1×a1=2×a2, an 排除 p2,如数列 1,2,3,…,则 n =1,排除 p3,故选 D.] 2.(2014· 泉州质检)若数列{an}是等差数列,且 a3+a7=4,则数列{an}的前 9 项和 S9 等于 ( ) 27 A. 2 C.27 B B.18 D.36

9(a1+a9) 9(a3+a7) 9×4 [S9= = = 2 =18.] 2 2

3.(2014· 东北三校联考)等差数列{an}中,a5+a6=4,则 log2(2a1·2a2·…·2a10)= ( ) A.10 C.40 B B.20 D.2+log25

10(a1+a10) [依题意得,a1+a2+a3+…+a10= 2

=5(a5+a6)=20, 因此有 log2(2a1·2a2·…·2a10)=a1+a2+a3+…+a10=20.] 4.(2014· 北京海淀模拟)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列{an}的前 n 项和数值最大时,n 的值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 B [∵an+1-an=-3, ∴数列{an}是以 19 为首项,-3 为公差的等差数列, ∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.
? ? ?ak≥0, ?22-3k≥0, 设前 k 项和最大,则有? ∴? ?ak+1≤0, ? ?22-3(k+1)≤0. ?

19 22 ∴ 3 ≤k≤ 3 . ∵k∈N*,∴k=7.故满足条件的 n 的值为 7.]

5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且 S10>0,S11<0,若 Sn≤Sk 对 n∈N*恒成立,则 正整数 k 的值为 ( ) A.5 B.6 C.4 D.7 A [由 S10>0,S11<0 知 a1>0,d<0,并且 a1+a11<0,即 a6<0,又 a5+a6>0,所以 a5>0, 即数列的前 5 项都为正数,第 5 项之后的都为负数,所以 S5 最大,则 k=5.] 6.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N*).若 b3=-2,b10=12, 则 a8= ( ) A.0 B.3 C.8 D.11 B [因为{bn}是等差数列,且 b3=-2,b10=12, 12-(-2) 故公差 d= =2.于是 b1=-6, 10-3 且 bn=2n-8(n∈N*), 即 an+1-an=2n-8. 所以 a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=…=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3.] 二、填空题 7.(2012· 广东高考)已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2 2-4,则 an=________. 解析 设等差数列公差为 d, ∵由 a3=a2 2-4,得 1+2d=(1+d)2-4,解得 d2=4, 即 d=±2.由于该数列为递增数列,故 d=2. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1. 答案 2n-1 8. 已知数列{an}为等差数列, Sn 为其前 n 项和, a7-a5=4, a11=21, Sk=9, 则 k=________. 解析 a7-a5=2d=4, 则 d=2.a1=a11-10d=21-20=1, k(k-1) Sk=k+ ×2=k2=9.又 k∈N*,故 k=3. 2 答案 3 Sn 2n-3 9.设等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若对任意自然数 n 都有Tn= ,则 4n-3 a9 a3 + 的值为________. b5+b7 b8+b4 解析 ∵{an},{bn}为等差数列, a9 a3 a9 a3 a9+a3 a6 ∴ + = + = 2b6 =b6. b5+b7 b8+b4 2b6 2b6 S11 a1+a11 2a6 2×11-3 19 a6 19 ∵T11= = = = ,∴b6=41. b1+b11 2b6 4×11-3 41 19 答案 41 三、解答题

1 10.(2014· 吉林省质测)已知数列{an}中,a1=2,an=2- (n≥2,n∈N*). an-1 1 (1)设 bn= (n∈N*),求证:数列{bn}是等差数列; an-1 1 (2)设 cn= (n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Sn. bn·bn+2 1 1 解析 (1)证明:∵an=2- ,∴an+1=2-an. an-1 1 1 1 1 ∴bn+1-bn= - = - 1 an+1-1 an-1 an-1 2-an-1 an-1 = =1, an-1 1 ∴{bn}是首项为 b1= =1,公差为 1 的等差数列. 2-1 (2)由(1)知 bn=n, 1 ? 1 1 1 ?1 ∵cn= = = · - , bnbn+2 n·(n+2) 2 ?n n+2? 1? ?1 1? ?1 1? 1?? ∴Sn=2 1-3 + 2-4 + 3-5 +…

??

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1 ? ?1 1 ?? ? 1 + n-1-n+1 + n-n+2 ? ? ? ?? 1 1 1 ? 1? =2 1+2-n+1-n+2 ? ? 2n+3 3 =4- . 2(n+1)(n+2) n-1 ?1? 11.(2014· 济宁一模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-an- 2 +2(n∈N*),数列{bn}满足 ? ? bn=2n·an. (1)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; ? 2 ? n 25 (2)设 cn=log2an,数列?cncn+2?的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn<21(n∈N*)的 n 的最大值. ? ? n-1 ?1? 解析 (1)证明:在 Sn=-an- 2 +2 中, ? ? 1 令 n=1,可得 S1=-a1-1+2=a1,得 a1=2. n-2 ?1? 当 n≥2 时,Sn-1=-an-1- 2 +2, ? ? n-1 ?1? ∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+ 2 ,

? ?

n-1 ?1? 即 2an=an-1+ 2 .

? ?

∴2n·an=2n-1·an-1+1. ∵bn=2n·an,∴bn=bn-1+1. 又 b1=2a1=1,∴{bn}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. n 于是 bn=1+(n-1)· 1=n,∴an=2n. n (2)∵cn=log2an=log22n=n, 2 2 1 1 ∴ = = - . cncn+2 n(n+2) n n+2 1 ? ?1 ? 1? ?1 1? ∴Tn= 1-3 + 2-4 +…+ n-n+2 ? ? ? ? ? ? 1 1 1 =1+2- - . n+1 n+2 25 1 1 1 25 由 Tn<21,得 1+2- - <21, n+1 n+2 1 1 13 1 1 即 + > ,f(n)= + 单调递减, n+1 n+2 42 n+1 n+2 9 11 13 ∵f(3)=20,f(4)=30,f(5)=42, ∴n 的最大值为 4. 12.(2013· 大纲版全国高考)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解析 (1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 an=a1+(n-1)d.
? ? ?a7=4, ?a1+6d=4, 因为? 所以? ?a19=2a9, ?a1+18d=2(a1+8d). ? ?

1 解得 a1=1,d=2. n+1 所以{an}的通项公式为 an= 2 . 1 2 2 2 (2)bn=nan= =n- , n(n+1) n+1 2 2 2 2 2 2 所以 Sn=(1-2)+(2-3)+…+(n- ) n+1 2n = . n+1


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