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高中数学作业讲评课中的“借题发挥”


2014 年第 12 期

福建中学数学
p 的否命题和原命题真假关系不确定.

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这时将非 p : “ π 不是整数”也改成“若 p 则 q ”的形式: “若 x = π ,则 x 不是整数”,两个放一起看: 非 p :“若 x = π ,则 x 不是整数”;
p 的否命题:“若 x ≠ π ,则 x 不是整数”.

这样一来, 联系和差异就非常明显了: 非 p和 p 的否命题都对结论否定,但是非 p 是只对结论否定,
p 的否命题是对条件和结论的同时否定; 同时与原命

纵观整节课堂安排,教科书的安排可能有编制 者自己的想法在里面,但是笔者认为,以上所述的 课堂结构安排不仅可以很好地理解这节课的内容, 对于其他课堂的学习也可以起到很到的借鉴作用, 这种 “ 难 - 易 - 难 ” 的结构安排也可以更好地服务于其 他新知的探究过程,从而让所有的课堂安排更合理.

题的真假关系也能很快区分:非 p 与原命题同真假,

高中数学作业讲评课中的“借题发挥”
张 蕾 浙江省宁波外国语学校(315016) 案例 1 已知 f ( x) = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x + a (a ∈ R ,
a 为常数) , (1) 若 x∈R , 求 f ( x) 的最小正周期; (2)
π π 若 f ( x) 在 [? , ] 上最大值与最小值之和为 3,求 a 6 6 的值. 本题主要考查三角函数恒等变形以及 y = A sin(ω x + ? ) + B 的性质.在作业讲评课上,除了

1 问题的提出 在数学教学中,作业是学生进行学习最基本的 活动形式,学生数学概念的形成、数学知识的掌握、 数学方法与技能的获得、学生智力和创新意识的培 养,都离不开作业这一基本形式,教师可以从学生 的作业中发现学生学习中存在的问题,而作业讲评 则是解决存在问题,弥补不足,完善、优化学生认 知结构的必要环节. 但长期以来,数学作业讲评是很多数学教师的 困惑,因为没有优美的情境导入,没有精彩的预设, 作业中的习题也是学生已经做过的,如果教师再“就 题论题”, 势必造成学生没有新鲜感, 思维形成惰性, 对一些程度好的学生来说,作业讲评课更是成了一 块“鸡肋”. 整个课堂往往显得沉闷, 学生都是机械地 进行着一些“物理运动”,而非“化学变化”.而且“就 题论题”效率不高,忽视了知识间的联系,不利于学 生认知结构的优化, 这是与新课程理念相违背的. 如 果教师能够适度“借题发挥”,教师(或师生共同)对 所讲的习题进行一定的变式拓展或是展示不同的解 法,不仅可以让每个学生都成为课堂的主人,而且 还能使学生对所研究的问题有更深刻的认识,也提 高了作业的利用率. 2 策略与方法 如何在作业讲评课上进行“借题发挥 ” 呢?笔者 通过对高中数学作业讲评课的关注和教学实践,来 谈谈具体的一些策略与方法,以供同行参考指正. 策略 1 增加设问,提高题目利用率

分析了学生的错解外,在此题的基础上又增设了几 个问题: (3)求 f ( x) 的单调区间以及 f ( x) 图像的对 称轴和对称中心; (4)在(2)条件下 f ( x) 的图像经 过怎样的平移和伸缩变换后得到 y = sin x 的图像? 通过沿用原题的条件,增加设问,这样的“借题 发挥”可谓是“短、平、快”,提高题目的利用率,加 快课堂的节奏,加大课堂的容量,并使得班级里的 每一位学生都能在这道题目中得到不同的收获. 策略 2 一题多变,揭示问题的本质 2) 上单 案例 2 f ( x) = x3 + 2ax 2 + 2 x + 1 在区间 (1 , 调递增,求 a 的取值范围. 本题是导数内容中的作业题,主要考查利用导 数分析函数的单调性,从而转化为恒成立问题.作 业讲评中,在本题的基础上给出以下变式题: 变式 1 f ( x) = x3 + 2ax 2 + 2 x + 1 在区间 (1 , 2) 上单 调,求 a 的取值范围. 2) 上不 变式 2 f ( x) = x3 + 2ax 2 + 2 x + 1 在区间 (1 , 单调,求 a 的取值范围. 变式 3 f ( x) = x3 + 2ax 2 + 2 x + 1 在区间 (1 , 2) 上没 有极值点,求 a 的取值范围.

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福建中学数学 变式 4 f ( x) = x3 + 2ax 2 + 2 x + 1 在区间 (1 , 2) 上存

2014 年第 12 期

在极值点,求 a 的取值范围. 以上 4 道变式题都是在原题的基础上稍作修改 变化得到,解题的方法还是利用导数来处理,而且 变式 1 与变式 3、 变式 2 与变式 4 本质上是同一个问 题.通过这样的“借题发挥” 可以加深学生对本知识 点的理解,还能更多的挖掘相关知识,形成知识网 络,更能掌握这个问题的实质,加深对同类问题的 理解, 形成规律, 再遇到“改头换面”的类似题目就可 以得心应手,游刃有余了,做到了解一题学一片, 使学生脱离“题海”,提高学习效率. 策略 3 一题多解,优化解题的方法 3] 上恒成立, 求 案例 3 若 x 2 ? ax + 3 ≥ 0 在 x ∈ [1 ,
a 的范围.

再进行求解. 本题主要 出 A 关于直线 l 的对称点 A′ , 考查了点关于线的对称点的求法以及对数学问题的 转化能力.为了让学生能更好地体会和应用这一方 法以及能力,我在课堂上给出了以下的一道题目: 变式 求函数 f ( x) = ( x ? 1)2 + 1 + ( x ? 2) 2 + 4 的 最小值. 这道题目一给出,有些学生觉得怎么把函数的 问题放到这堂数学课上来了,有点感觉莫名奇妙, 但是用函数求最值的基本方法又行不通,这时通过 引导,考虑能否从几何意义的角度来理解这个函数, 0) 到 (1 , 1) 、 发现这个问题可以转化为 x 轴上的点 ( x ,
(2 , 2) 的距离之和的最小值问题,与作业中的题目是

本题是二次函数内容中的练习题,主要考查二 次函数在闭区间上的最值以及数学中的转化思想, 是一道恒成立问题.讲评中纠正了部分学生直接利 用 Δ ≤ 0 来求解的错误方法,并且与学生一起探究得 到了这类问题的多种解法:①直接分类讨论求最值 法:设 f ( x) = x 2 ? ax + 3 ,即 f ( x) min ≥ 0 .②分离参数 3 设 g ( x) = x + 求最值法: 原式转化为 x + ≥ a 恒成立, x 3 , 即 g ( x) min ≥ a . ③数形结合法: 画出 f ( x) = x 2 ? ax x +3 的图象予以分析. 通过讲评的机会引导学生从多种角度予以展 示,进行多种解法的思路分析和解法的比较,总结 不同解法的特点,比较不同解法操作程序的差异, 优化解题的方法,并且加深学生对所学知识的深刻 理解,训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用, 锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性. 当问题的多种解法展示于学生面前时,学生必 会主动的去评价方法的繁简,通过内化的过程,吸 取各种解法之精华, 进而揭示最简或最佳的解法. 但 应让学生明白通性通法,巧法未必就是好法,不能 只追求巧妙解法而忽视了基本方法. 策略 4 多题一解,提高思维深刻性 2) , B (?1 , 3) , P 为直线 l : x + 案例 4 已知 A(1 ,
y ? 4 = 0 上一动点,求 | AP | + | BP | 的最小值.

殊途同归啊! 通过这样的多题一解的变式,可以让学生领会 同一数学思想,同一数学方法在不同题目背景下的 不同应用,能够加深对数学思想和方法的理解,促 进数学能力和数学素养的提升,同时提高了思维的 深刻性. 许多数学问题可能涉及的知识是同一内容的不 同问法,不同方面,或是不同知识的同一方面,也 可能是方法上存在异同.如果这样的题目孤立讲解, 不仅费时,而且低效.在讲评过程中把相同知识归 一, 不同知识对比的方法进行点评, 学生从“异”的表 象中发现“同”的本质,从“形似”的表象中发现“质异” 的本质.在认知冲突和方法比较中,消除了思维定 势的影响,对培养学生举一反三的能力很有用处. 3 结束语 数学发展观认为:数学如同其它事物一样是不 断在运动、变化中发展的又在不断发展中展现新的 活力与生命. 如果将每一个数学问题看成是“活生生” 的事物而不是“死板”的东西,用数学发展观来认识 它、研究它,那么我们不仅仅能很好地解决这个问 题,还会最大限度地拓广视野,提高思维的广度、 深度.因此在作业讲评教学中不能满足就题论题, 要“借题发挥”,注意变式训练,要多角度、多途径、 全方位地对题目进行分析、挖掘,将所学知识串连 起来.这样我们的作业讲评课才会精彩和高效.
参考文献 [1]陈北琴.学生的“新宠”——多样化的数学作业.数学学习与研究,2009 (4) :125 [2]袁守义.试卷讲评课上的“借题发挥”.数学通报,2013(5) :31-33 [3]罗拥军. 基于数学发展观的解题策略. 中学数学杂志, 2008 (1) : 27-29

本题是直线对称问题中的作业题,需要先判断 A、B 是否位于直线 l 的同侧还是异侧,若是异侧, 可由 | AP | + | BP |≤| AB | 得到答案;若是异侧则需先算


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