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数列中的奇数项和偶数项问题


? 1 a ? 1 ? 2 n 1 设数列{an}的首项 a1=a≠ ,且 an ?1 ? ? 4 ?a ? 1 n ? ? 4
记 bn ? a2 n ?1 ?

n为 偶 数
,

n为 奇 数

1 ,n==l,2,3,…· . 4

(I)求 a2,a3; (II)判断数列

{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; 解: (I)a2=a1+

1 1 1 1 1 =a+ ,a3= a2= a+ ; 4 4 2 2 8 1 1 3 1 3 1 (II)∵ a4=a3+ = a+ , 所以 a5= a4= a+ , 4 2 8 2 4 16 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 b1=a1- =a- , b2=a3- = (a- ), b3=a5- = (a- ), 4 4 4 2 4 4 4 4 1 猜想:{bn}是公比为 的等比数列· 2
证明如下:

1 1 1 1 1 1 = a2n- = (a2n-1- )= bn, (n∈N*) 4 2 4 2 4 2 1 1 所以{bn}是首项为 a- , 公比为 的等比数列· 4 2
因为 bn+1=a2n+1- 2 在数列 ?a n ? 中, a 1 =0,且对任意 k ? N , a 2k ?1 ,a 2k ,a 2k+1 成等差数列,其公差为 2k.
*

(Ⅰ)证明 a 4 ,a 5 ,a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (I) 证明: 由题设可知, a3 ? a2 ? 2 ? 4 , a5 ? a4 ? 4 ? 12 , a2 ? a1 ? 2 ? 2 , a4 ? a3 ? 4 ? 8 ,

a6 ? a5 ? 6 ? 18 。
从而

a6 a5 3 ? ? ,所以 a4 , a5 , a6 成等比数列。 a5 a4 2

(II)解:由题设可得 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 4k , k ? N * 所以 a2k ?1 ? a1 ? ? a2k ?1 ? a2k ?1 ? ? ? a2k ?1 ? a2k ?3 ? ? ...? a3 ? a1 ?

? 4k ? 4 ? k ?1? ? ... ? 4 ?1

? 2k ? k ?1? , k ? N *.
由 a1 ? 0 ,得 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? ,从而 a2k ? a2k ?1 ? 2k ? 2k 2 .

? n2 ? 1 n , n为奇数 ? n2 ? ?1? ? 1 ? 2 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? 或写为 an ? ,n? N * 。 ? 2 2 4 ? n , n为偶数 ? ?2

设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n , n ? N ,其中 k 是常数.
*

(I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

解析: (Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1 ,

n ? 2, an ? S n ? S n?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1( ? )
经验, n ? 1, ( ? )式成立,

? an ? 2kn ? k ? 1
2

(Ⅱ)? am , a2m , a4m 成等比数列,? a2m ? am .a4m , 即 (4km ? k ? 1) 2 ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: m k(k ? 1) ? 0 , 对任意的 m ? N ? 成立,

? k ? 0或k ? 1

(2009 北京文) (本小题共 13 分) 设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q( n ? N? , P ? 0) . 数列 {bn } 定义如下:对于正整 数 m, bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围; 如果不存在,请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. (Ⅰ)由题意,得 an ?
?

1 1 1 1 20 n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . 2 3 2 3 3

.



1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3

(Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1, 对于正整数,由 an ? m ,得 n ?

m ?1 . 2

根据 bm 的定义可知
* * 当 m ? 2k ? 1 时,bm ? k k ? N ;当 m ? 2 k 时,bm ? k ? 1 k ? N .

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ?

? b2m ? ?b1 ? b3 ?
? ?1 ? 2 ? 3 ?

? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ?
? m? ? ? ?2 ? 3 ? 4 ?

? b2m ?
? ? m ? 1? ? ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m 2 ? 2m . 2 2

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?

m?q . p

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 , 即 ?2 p? q? ? 3 p? 1 m ?q ??? p p

对任意的正整数 m 都成立.

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? . 3 3 3 3 3

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ; p 和 q 的取值范围分别是 p ?

1 2 1 ,? ? q ? ? . 3 3 3

.

已知数列 {an } 和 {bn } 满足:a1 ? ? , an ?1 ? 为实数, n 为正整数.

2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21), 其中 ? 3

(Ⅰ)对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论;

(Ⅲ)设 0 ? a ? b , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和.是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都 有

a ? Sn ? b ?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、 数列求和、 不等式等基础知识和分类讨论的思想, 考查综合分析问题的能力和推理认证能力, (满分 14 分) (Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ ,使{an}是等比数列,则有 a22=a1a3,即

2 4 4 4 ( ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ?2 ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 3 9 9 9
所以{an}不是等比数列. (Ⅱ)解:因为 bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=(-1)n+1( =

2 an-2n+14) 3

2 2 (-1)n· (an-3n+21)=- bn 3 3

又 b1x-(λ +18),所以 当λ =-18,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列: 当λ ≠-18 时,b1=(λ +18) ≠0,由上可知 bn≠0,∴

ba ?1 2 ? ? (n∈N+). bn 3
2 为公比的等比数列. 3

故当λ ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ +18)为首项,- (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ =-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ ≠-18,故知 bn= -(λ +18) · (- Sn=- (? ? 18)·   ?1-(- )?. 要使 a<Sn<b 对任意正整数 n 成立, 即 a<-

2 n-1 ) ,于是可得 3

3 5

? ?

2 n? 3 ?

3 2 (λ +18)· [1-(- )n] 〈b(n∈N+) 5 3



a 2 1 ? (? ) n 3

3 ? ? (? ? 18) ? 5

b 2 1 ? (? ) n 3

          


2 令f (n) ? 1 ? (? ),则
当 n 为正奇数时,1<f(n) ?

5 5 ;当n为正偶数时, ? f (n) ? 1, 3 9

5 5 ,f(n)的最小值为 f(2)= , 3 9 5 3 3 于是,由①式得 a<- (λ +18),< b ? ?b ? 18 ? ? ? ?3a ? 18 . 9 5 5
∴f(n)的最大值为 f(1)= 当 a<b ? 3a 时,由-b-18 ? =-3a-18,不存在实数满足题目要求; 当 b>3a 存在实数λ ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<b,且λ 的取值范围是(-b-18,-3a-18).

设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 an ? 5Sn ? 1 成 立 , 记

bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找 出一个正整数 k ;若不存在,请说明理由; (I)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又

1 4

an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1
an?1 1 ?? an 4

? an?1 ? an ? 5an?1 ,即

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4 1 4 ? (? ) n 1 n 4 (n ? N * ) ∴ an ? (? ) , bn ? …………………………………3 分 1 n 4 1 ? (? ) 4
∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? (II)不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。

1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? 证明:由(I)知 bn ? 1 n (?4) n ? 1 1 ? (? ) 4

b2k ?1 ? b2k ? 8 ?

5 5 20 15 ?16k ? 40 ? 8 ? ? ? 8 ? ? 8. (?4)2 k ?1 ? 1 (?4)2 k ? 1 16k ? 1 16k ? 4 (16k ? 1)(16k ? 4) 5 ?
?

∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N )

∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ?

? (b2m?1 ? b2m ) ? 8m ? 4n

当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N ? ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ?

? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 ? 8(m ?1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n

∴对于一切的正整数 n,都有 Rn ? 4k ∴不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。 …………………………………8 分

数列 ?an ? 满足a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos (Ⅰ)求 a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

2

n? n? )an ? sin 2 , n ? 1, 2,3, 2 2

.

a2 n?1 , Sn ? b1 ? b2 ? a2 n

1 Sn ? 2 ? . ? bn . 证明:当 n ? 6时, n
2

解: (Ⅰ)因为 a1 ? 1, a2 ? 2, 所以 a3 ? (1 ? cos

?
2

)a1 ? sin 2

?
2

? a1 ? 1 ? 2,

a4 ? (1 ? cos2 ? )a2 ? sin 2 ? ? 2a2 ? 4.
* 一般地,当 n ? 2k ?1(k ? N ) 时, a2 k ?1 ? [1 ? cos
2

(2k ? 1)? 2k ? 1 ]a2 k ?1 ? sin 2 ? 2 2

= a2k ?1 ? 1 ,即 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 1. 所以数列 ?a2k ?1? 是首项为 1、公差为 1 的等差数列,因此 a2 k ?1 ? k.
* 当 n ? 2k (k ? N ) 时, a2 k ? 2 ? (1 ? cos
2

2 k? 2 k? )a2 k ? sin 2 ? 2a2 k . 2 2

所以数列 ?a2 k ? 是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2 k ? 2k.

? n ?1 * ? 2 , n ? 2k ? 1(k ? N ), 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? n * 2 ?2 , n ? 2k (k ? N ).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ?

1 2 3 a2 n ?1 n ? 2 , Sn ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2 a2 n 2

?

n , 2n



1 1 2 3 Sn ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ①-②得, S n ? ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2

?

n 2n ?1



1 1 [1 ? ( )2 ] 2 ? n ? 1? 1 ? n . ?2 1 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n?2 所以 S n ? 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? n . 2 2 2 1 n( n ? 2) ? 1 成立. 要证明当 n ? 6 时, Sn ? 2 ? 成立,只需证明当 n ? 6 时, n 2n
证法一

6 ? (6 ? 2) 48 3 ? ? ? 1 成立. 26 64 4 k ( k ? 2) ? 1. (2)假设当 n ? k (k ? 6) 时不等式成立,即 2k
(1)当 n = 6 时, 则当 n=k+1 时,

(k ? 1)(k ? 3) k (k ? 2) (k ? 1)(k ? 3) (k ? 1)(k ? 3) ? ? ? ? 1. 2k ?1 2k 2k (k ? 2) (k ? 2) 2k
n(n ? 1) 1 ? 1 .即当 n≥6 时, S n ? 2 ? . 2 2 n

由(1)、(2)所述,当 n≥ 6 时, 证法二

n(n ? 2) (n ? 1)(n ? 3) n(n ? 2) 3 ? n 2 (n ? 6) ,则 cn?1 ? cn ? ? ? n?1 ? 0. 令 cn ? 22 2n?1 22 2
所以当 n ? 6 时, cn?1 ? cn .因此当 n ? 6 时, cn ? c6 ? 于是当 n ? 6 时,

n( n ? 2) ? 1. 22
1 . n

6?8 3 ? ? 1. 64 4

综上所述,当 n ? 6 时, S n ? 2 ?

2 2 设 Sn 是数列 {an } ( n ? N * )的前 n 项和, a1 ? a ,且 Sn ? 3n2 an ? Sn ?1 , an ? 0 ,

n ? 2, 3, 4, .

(I)证明:数列 {an?2 ? an } ( n ≥ 2 )是常数数列; (II)试找出一个奇数 a ,使以 18 为首项,7 为公比的等比数列 {bn } ( n ? N * ) 中的所有项都是数列 {an } 中的项,并指出 bn 是数列 {an } 中的第几项.
2 2 2 20.解: (I)当 n ≥ 2 时,由已知得 Sn ? Sn ?1 ? 3n an .

因为 an ? Sn ? Sn?1 ? 0 ,所以 Sn ? Sn?1 ? 3n2 . …………………………① 于是 Sn?1 ? Sn ? 3(n ? 1)2 . …………………………………………………②

由②-①得: an?1 ? an ? 6n ? 3 .……………………………………………③ 于是 an?2 ? an?1 ? 6n ? 9 .……………………………………………………④ 由④-③得: an?2 ? an ? 6 .…………………………………………………⑤ 即数列 {an?2 ? an } ( n ≥ 2 )是常数数列. (II)由①有 S2 ? S1 ? 12 ,所以 a2 ? 12 ? 2a . 由③有 a1 ? a2 ? 15 ,所以 a3 ? 3 ? 2a , 而⑤表明:数列 {a2 k } 和 {a2k ?1} 分别是以 a2 , a3 为首项,6 为公差的等差数列. 所以 a2k ? a2 ? (k ?1) ? 6 ? 6k ? 2a ? 6 , a2k ?1 ? a3 ? (k ?1) ? 6 ? 6k ? 2a ? 3 , k ? N * . 由题设知, bn ? 18 ? 7n?1 .当 a 为奇数时, a2k ?1 为奇数,而 bn 为偶数,所以 bn 不 是数列 {a2k ?1} 中的项, bn 只可能是数列 {a2 k } 中的项. 若 b1 ? 18 是数列 {a2 k } 中的第 kn 项,由 18 ? 6k ? 2a ? 6 得 a ? 3k0 ? 6 ,取 k0 ? 3 ,得
a ? 3 ,此时 a2 k ? 6k ,由 bn ? a2k ,得 18 ? 7n?1 ? 6k , k ? 3 ? 7 n ?1 ? N * ,从而 bn 是

数列 {an } 中的第 6 ? 7 n ?1 项.

等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,a1 ? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an 与前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)设 bn ? 数列. 本小题考查数列的基本知识,考查等差数列的概念、通项公式与前 n 项和公式, 考查等比数列的概念与性质, 考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力.满 分 12 分
Sn ( n ? N ? ) ,求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比 n

? ?a ? 2 ? 1, 解: (Ⅰ)由已知得 ? 1 ,? d ? 2 , 3 a ? 3 d ? 9 ? 3 2 ? ? 1

故 an ? 2n ?1? 2,Sn ? n(n ? 2) . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ?
Sn ? n? 2 . n

假设数列 {bn } 中存在三项 bp,bq,br ( p,q,r 互不相等)成等比数列,则
2 bq ? bpbr .

即 (q ? 2)2 ? ( p ? 2)(r ? 2) .

?(q2 ? pr ) ? (2q ? p ? r ) 2 ? 0
p,q,r ? N? ,

?q 2 ? pr ? 0, ? p?r ? ?? ?? ( p ? r )2 ? 0, ?p?r. ? ? pr, ? 2 ? ?2q ? p ? r ? 0,
2

与 p ? r 矛盾. 所以数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成等比数列.


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