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2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练几何体的体积和表面积


考点 25 几何体的体积和表面积
【考点分类】 热点一 几何体的体积

1.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】一个几何体的三视图如 图所示,该几何体从 上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为 V1 ,V2 ,V3 ,V4 ,上面两个简单 几何体均为旋转体, 下面两个简单几何体均为多面体,则有 A. V1 ? V2 ? V4 ?

V3 C. V2 ? V1 ? V3 ? V4 B. V1 ? V3 ? V2 ? V4 D. V2 ? V3 ? V1 ? V4

2.【2013 年全国高考新课标(I)理科】如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm, 将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度, 则球的体积为( 500π 3 A、 cm 3 ) 866π 3 B、 cm 3 1372π 3 C、 cm 3 2048π 3 D、 cm 3

3.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科】已知三棱柱

ABC ? A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若 . AB ? 3,AC ? 4, AB ? AC , AA1 ? 12,则球O的半径为
A.

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10

4. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (广东卷) 理】 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 (
1 2 2
正视图 侧视图

)

1

1
俯视图

A . 4 C.

B.

14 3

16 3

D. 6

5. (2012 年高考新课标全国卷理科 7)如图,网格纸上小正方形的边长为1 ,粗线画出的是某几何体的三视图,则

此几何体的体积为(



( A) 6

( B) 9

(C ) ??

( D) ??

6.(2012 年高考新课标全国卷理科 11)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上,?ABC 是边长为1 的正 三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( )

( A)

2 6

( B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

S D

A

C

B

则三棱锥的体积为 ?

1 3

2 2 ?2 ? . 4 6

7.(2012 年高考江西卷理科 10)如右图,已知正四棱锥 S ? ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动点,过 点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分,记 SE ? x(0 ? x ? 1), 截面下面部分的体积为 V ( x), 则函数

y ? V ( x) 的图像大致为(



8.(2012 年高考新课标全国卷文科 8)平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2,则 此球的体积为 ( (A) 6π ) (C)4 6π (D)6 3π

(B)4 3π

9.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理】在 xOy 平面上,将两个半圆弧 ( x ? 1) ? y ? 1( x ? 1) 和
2 2

( x ? 3)2 ? y 2 ? 1( x ? 3) 、两条直线 y ? 1和 y ? ?1 围成的封闭图形记为 D,如图中阴影部分.记 D 绕 y 轴旋转一
周而成的几何体为 ? ,过 (0, y )(| y | ? 1)
2 作 ? 的水平截面,所得截面面积为 4? 1 ? y ? 8? ,试利用祖暅原理、一

个平放的圆柱和一个长方体,得出 ? 的体积值为__________.

10.【2013 年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D , E , F 分别为 AB ,

AC , AA1 的中点,设三棱锥 F ? ADE 体积为 V1 ,三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积为 V2 ,则 V1 : V2 ?
[答案]

.

1 24

11.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文科】我国古代数学名著《数书九章》中有“天 池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天 池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一 尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是 盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 寸. (注:①平地降雨量等于

12. (2012 年高考江苏卷 7) 如图, 在长方体 ABCD ?ABC 则四棱锥 A ? BB1 D1 D D 1 中,AB ? AD ? 3cm ,AA1 ? 2cm , 1 1 1

的体积为 【答案】 6cm3

cm3.

13.(2012 年高考天津卷理科 10)―个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体积为
6
3 2 正视图

m3 .

3
1

3 2 侧视图

3
俯视图

14.(2012 年高考山东卷理科 14)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则 三棱锥 D1-EDF 的体积为____________.

15.(2012 年高考上海卷理科 8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为

.

【方法总结】
1.计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的 截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解. 2.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计 算常用的方法,应熟练掌握. 3.等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.①求体积时,可选择容易计算的方式 来计算;②利用“等积法”可求“点到面的距离”.

热点二

几何体的表面积
.

16. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为
1 2 主视图 1 2 左视图

俯视图

17【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科】一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正 (主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是( A. 4 5,8 B. 4 5, ) D. 8,8

8 3

C. 4( 5 ? 1),

8 3

18【2013 年高考新课标Ⅱ数学(文)卷】 已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 心,OA 为半径的球的表面积为________.

3 2 ,底面边长为 3 ,则以 O 为球 2

19. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (安徽卷文科) 】 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点, Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A, P, Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ,则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).

①当 0 ? CQ ? ②当 CQ ?

1 时, S 为四边形 2

1 时, S 为等腰梯形 2 3 1 ③当 CQ ? 时, S 与 C1 D1 的交点 R 满足 C1 R ? 4 3

④当

3 ? CQ ? 1 时, S 为六边形 4
6 2

⑤当 CQ ? 1 时, S 的面积为 【答案】①②③⑤ 【解析】 (1) CQ ?

1 ,S 等腰梯形,②正确,图如下: 2

20.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理】已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正 方形,则该正方体的正视图的面积不可能 等于( ... A. 1 B. 2 C. )

2-1 2

D.

2+1 2

21.【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径, OK ?

3 ,且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 600 ,则球 O 的表面积等于 2

22.(2012 年高考辽宁卷理科 13)一 个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.

【方法总结】
1.在求多面体的侧面积时,应对每一侧面分别求解后再相加,对于组合体的表面积应注意重合部分 的处理. 2.以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中 发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是 侧面积与底面圆的面积之和.

热点三 与体积相关的最值问题
23.(2012 年高考上海卷理科 14)如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂 直的棱, BC ? 2 ,若 AD ? 2c ,且

AB ? BD ? AC ? CD ? 2a ,其中 a 、 c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值是

.

24.(2012 年高考湖北卷理科 19) 如图 1,∠ACB=45°,BC=3,过动点 A 作 AD⊥BC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连接 AB,沿 AD 将△ABD 折起,使∠BDC=90°(如图 2 所示) , (1)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A-BCD 的体积最大; (2)当三棱锥 A-BCD 的体积最大时,设点 E,M 分别为棱 BC,AC 的中点,试在棱 CD 上确定一点 N,使得 EN ⊥BM,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小

???? ? ???? 1 ?n ? BN , 设平面 BMN 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,由 ? ???? ? 及 BN ? (?1, , 0) , 2 ? ?n ? BM ,

? y ? 2 x, 得? 可取 n ? (1, 2, ? 1) . ? z ? ? x.
???? 1 1 设 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 ? ,则由 EN ? (? , ? , 0) , n ? (1, 2, ? 1) ,可得 2 2

【考点剖析】
一.明确要求
会计算球、柱、锥台的表面积和体积(不要求记忆公式)

二.命题方向
1.空间几何体的表面积、体积是高考的热点,多与三视图相结合命题. 2.主要考查由三视图还原几何 体并求表面积或体积, 同时考查空间想象能力及运算能力. 题型多为选 择、填空题.

三.规律总结
(1)解与球有关的组合体问题的方法,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切 点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为 正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,

正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题,球与多面 体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点” 作出截面图. (2)等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通 过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的 高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高 的数值.

【考点模拟】
一.扎实基础 1. 【山东省枣庄市 2013 届高三第一次模拟考试】一个几何体的三视图如图所示,
的长度单位为 cm,则该几何体的体积为( A.18 C.45 B.48 D.54 )cm3. 其中

2. 【2013 河北省名校名师俱乐部高三 3 月模拟考试】如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积是(



A.26

B.27

C.

57 2

D.28

3. 【山东省济宁市 2013 届高三上学期期末考试】若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(



A.

1 2 B. C.1 3 3

D.2

4. 【2013 届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】若棱长均为2的正三棱柱内接于一个球,
则该球的半径为 ( A. )

3 3

B.

7

C.

2 3 3

D.

21 3

5. 【云南玉溪一中 2013 届第四次月考试卷】已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为 2 的正方形,主视图与左

2
视图是边长为 2 的正三角形,则其全面积是 ( A. 8 B. 12 C. 4(1 ? 3) )

D. 4 3

6. 【2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试】若一个正方体的表面积为 S1 ,其外接球的表面积为 S 2 ,则

S1 ? ____________. S2

因此外接球表面积为 S2 ? 4? r 2 ? 3? a 2 ,则

S1 6a 2 2 ? ? . 2 S 2 3? a ?

7. 【广东省潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末质量检测】若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这个正三
棱柱的体积为__________.
2 主视图

2 3
左视图

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

俯视图

8. 【江苏省南通市 2 013 届高三第二次调研测试】 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为 2 cm
的半圆,则该圆锥的高为 cm.

9.

【河北省邯郸市
.

2013

年高三 第 二 次 模 拟 考 试 】在棱锥 P-ABC 中,侧棱
2 ,则以线段 PQ 为直径的球的表

PA、PB、PC 两两垂直,Q 为底面?ABC 内一点,若点 Q 到三个侧面的距离分别为 2、2、 2

面积为

【答案】 16?

10. 【河北省衡水 中学 2013 届高三第八次模拟考试】在四面体 ABCD 中,
AB ? CD ? 6, AC ? BD ? 4, AD ? BC ? 5 ,则四面体 ABCD 的外接球的表面积为
.

二.能力拔高 11. 【2013 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】一个棱长都为 a 的直三棱柱的六个顶点全部
在同一个球面上,则该球的表面积为 A.

7 2 ?a 3

B. 2? a 2

C.

11 2 ?a 4

D.

4 2 ?a 3

12. 【广西百所高中 2013 届高三年级第三届联考】如图,已知球 O
是棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的内切球,则平面 ACD1 截 球 O 的截面面积为( )

A.

? 6
3 ? 6

B.

? 3
3 ? 3

C.

D.

13. 【天津市新华中学 2013 届高三上学期第三次月考数学试卷】已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球
面上, ?ABC 是边长为 1的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ,则此棱锥的体积为( A. )

2 6

B.

3 6

C.

2 2 D. 3 2

[来源:学&科&网]

14. 【云南玉溪一中 2013 届第四次月考试卷】已知正三棱锥 P ? ABC ,点 P, A, B, C 都在半径为 3 的球面上,若
PA, PB, PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________.

15. 【云南玉溪一中 2013 届第四次月考试卷】四面体 A ? BCD 中,
AB ? CD ? 4, BC ? AC ? AD ? BD ? 5, 则四面体外接球的表面积为(
A. 33? B. )

43?

C. 36?

D.

18?

16. 【2012-2013 学年云南省昆明市高三(上)摸底调研测试】已知 A,B,C,D 四点在半径为
,AD=BC=5,AB=CD,则三棱锥 D﹣ABC 的体积是 .

的球面上,且

17. 【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积





已知正方休内接于球 0,则所有与正方体的表面及球 0 18. 【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷】 的球面都相切的最大的球的体积之 和与球 O 的体积之比为____.

19. 【山东省泰安市高三第一轮复习质量检测】已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上,且
AB ? 8, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为
.

20. 【内蒙古赤峰市 2013 届高三最后一次仿真统考】如图,已知底面为正三角形,侧棱长都
的三棱锥 S-ABC 各顶点都在半球面上,其中 A、B、C 三顶点在底面圆周上,若三棱锥 S-ABC 积为 2 3 ,则该半球的体积为 .

相等 的体

[来源:Z。xx。k.Com]

三.提升自我 21. 【2013 年长春市高中毕业班第四次调研测试】已知空间 4 个球,它们的半径分别为 2, 2, 3, 3,每个球都与其
他三个球外切,另有一个小球与这 4 个球都外切,则这个小球的半径为( A. )

7 11

B.

6 11

C.

5 11

D.

4 11

故选 B.

AB ? BC ? 2 , 22. 【东北三省三校 2013 届高三 3 月第一次联合模拟考试】 点 A、B、C、D 在同一个球的球面上,
2 AC ? 2 ,若四面体 ABCD 体积的最大值为 ,则 这个球的表面积为 ( 3 125? 25? 25? A. 3 B. 8? C. D. 6 4 16


23. 【2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试】若一个正四面体的表面积为 S1 ,其内切球的表面积为 S 2 ,则
S1 ? ____________. S2

24. 【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】

如图,单位正方体

ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,点 P 在平面 A 1 BC 1 上,则三棱锥 P-ACD 1 的体积 为

.

25.
【云南师大附中 2013 届高三适应性月考卷(三)】正三棱锥 A-BCD 内接于球 O,且底 面边长为 3 ,侧棱长为 2,则球 O 的表面积为____ .
[来源:学&科&网]

【考点预测】
1.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P 1,P 2 分别是线段 AB , BD1 (不包括端点)上的动点,且线段

P 1 P2 平行于平面 A1 ADD1 ,则四面体 P 1P 2 AB1 的体积的最大值是(
A.

) D.

1 24

B.

1 12

C.

1 6

1 2

2.已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上, 当正棱柱的体积最大值时, 的值为( A. 3 3 )
[来源:Z,xx,k.Com]

其高

B. 3

C. 2 6

D. 2 3

3.如图,设 A 是棱长为 a 的正方体的一个顶点,过从顶点 A 出 发的三条棱的中点作截面,对正方体的所有顶点都如此操 作,截去 8 个三棱锥,所得的各截面与正方体各面共同围 成一个多面体,则关于此多面体有以下结论: ① 有 12 个顶点; ④ 表面积为 3a 2 ; 其中正确的结论是 ② 有 24 条棱; ⑤ 体积为 a3 . (写出所有正确结论的编号 ) . ..
5 6

A

③ 有 12 个面;

其体积为 a3 ? 8 ? ? ?

1 1 a a a 5 3 ? ? ? a . 故⑤成立. 3 2 2 2 2 6

4.在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱垂直底面, ?ACB ? 900 , ?BAC ? 300 ,BC=1,且三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 体积为 3,则三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的外接球的表面积为 .

5. 已知球 Ol、O2 的半径分别为 l、r,体积分别为 V1、V2,表面积分别为 S1、S2,当 r ? (1, ??) 时, 的取值范围是 .

V2 ? V1 S 2 ? S1

[来源:gkstk.Com]


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