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求函数值域的7类题型和16种方法


求函数值域的 7 类题型和 16 种方法
一、函数值域基本知识 1.定义:在函数 y ? f ( x) 中,与自变量 x 的值对应的因变量 y 的值叫做函数值,函数 值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合) 。 2.确定函数的值域的原则 ①当函数 y ? f ( x) 用表格给出时,函数的值域是指表格中实数 y 的集合; ②当函数 y ? f ( x) 用图象给出时,函

数的值域是指图象在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合; ③当函数 y ? f ( x) 用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确 定; ④当函数 y ? f ( x) 由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则, 不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义 域。 一般地,常见函数的值域: 1.一次函数 y ? kx ? b ? k ? 0? 的值域为 R.
2 2.二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? ,当 a ? 0 时的值域为 ?

? 4ac ? b 2 ? , ?? ? ,当 a ? 0 时 ? 4a ?

的值域为 ? ??,

? ?

4ac ? b 2 ? ? ., 4a ?
k ? k ? 0 ? 的值域为 ? y ? R y ? 0? . x

3.反比例函数 y ? 4.指数函数 y ? a
x

? a ? 0且a ? 1? 的值域为 ? y

y ? 0? .

5.对数函数 y ? loga x ? a ? 0且a ? 1? 的值域为 R. 6.正,余弦函数的值域为 ??1,1? ,正,余切函数的值域为 R. 三、求解函数值域的 7 种题型 题型一:一次函数 y ? ax ? b ? a ? 0? 的值域(最值) 1、一次函数: y ? ax ? b ? a ? 0? 当其定义域为 R ,其值域为 R ;

比较它们的大小即可。若区间的形式为 ? ??, n? 或 ? m, ??? 等时,需结合函数图像来确定函 数的值域。 题型二:二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的值域(最值) 1、二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 当其 定义域为 R 时,其值域为

2、一次函数 y ? ax ? b ? a ? 0? 在区间 ?m, n? 上的最值,只需分别求出 f ? m? , f ? n ? ,并

? 4ac ? b 2 y ? ? ? 4a ? 2 ? y ? 4ac ? b ? 4a ?

? a ? 0? ? a ? 0?
b 与区间 ?m, n? 的位置关系 2a

2、二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在区间 ?m, n? 上的值域(最值) 首先判定其对称轴 x ? ? (1)若 ?

b b ? ? m, n ? ,则当 a ? 0 时, f ( ? ) 是函数的最小值,最大值为 f (m), f (n) 2a 2a b ) 是函数的最大值,最大值为 中较大者;当 a ? 0 时, f ( ? 2a
f (m), f (n) 中较小者。

(2)若 ?

b ? ? m, n ? ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大(小)值。 2a

特别提醒: ①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②若给定的区间形式是 ?a, ??? , ? ??, b? , ? a, ??? , ? ??, b? 等时,要结合图像来确函数 的值域; ③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨 论。
2 例 1:已知 f ? x ? 2 x 的定义域为 ? ?3, ?? ? ,则 f ? x ? 的定义域为

?

?

? ??,1?




例 2:已知 f ? x ? 1? ? x ? 1 ,且 x ? ? ?3, 4? ,则 f ? x ? 的值域为
2

7 ?1, 1 ?

题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数 y ? 2、形如: y ?

k (k ? 0) 的定义域为 ? x x ? 0? ,值域为 ? y y ? 0? x

cx ? d 的值域: ax ? b

(1)若定义域为 ? x ? R x ? ? ? 时,其值域为 ? y ? R y ?

? ?

b? a?

? ?

c? ? a?

(2)若 x ? ?m, n? 时,我们把原函数变形为 x ? 有界性),便可求出函数的值域。

d ? by ,然后利用 x ? ?m, n? (即 x 的 ay ? c

2x ? 3 1? ? 例 3:函数 y ? 的值域为 ? ??, ? x 3 2 ?1 3? ? ? 1 1? 。 ? , ? ? 5 11? ?
例 4:当 x ? ? ?3, ?1? 时,函数 y ?

, ? ? 3 ??

;若 x ? ?1, 2? 时,其值域为

1 ? 3x 的值域 2x ? 1

3? ? ?4, ? ? ? 2? ?

。 (2)已知 。

f ? x ? 1? ?

x?3 ,且 x ? ? ?3, 2? ,则 f ? x ? 的值域为 2? x

6? ? ? ??, ? ? 5? ?

例 5:函数 y ?

2 sin x ? 1 1? ? ? ? 3? 的值域为 ? ??, ? ? ?3, ?? ? ;若 x ? ? , 3sin x ? 2 5? ? ?2 2

? ? ,其值域为 ?

? 1 2? ? , ? 。 ? ? 2 3?
题型四:二次分式函数 y ?

dx 2 ? ex ? c 的值域 ax 2 ? bx ? c

一般情况下,都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题: ①检验二次项系 数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;②闭区间的边 界值也要考查达到该值时的 x 是否存在;③分子、分母必须是既约分式。 例 6: y ? 例 7: y ?

x2 ? x ? 1 ; x2 ? x ? 6
2

?1, ?? ? ? ? ? ??,
?

2? ? 7?

x ? x?2 ; ? y ? R y ? 1? x2 ? 1 3x ? 3 3? 例 8: y ? 2 ; ? , ? x ?4 ? 4 4? ? x ?1 x ? ? ?1, ?? ? 的值域 例 9:求函数 y ? 2 x ? 2x ? 1 2 解:由原函数变形、整理可得: yx ? ? 2 y ? 1? x ? y ? 1 ? 0
求原函数在区间 ? ?1, ?? ? 上的值域, 即求使上述方程在 ? ?1, ?? ? 有实数解时系数 y 的取 值范围 当 y ? 0 时,解得: x ? 1? ? ?1, ??? 也就是说, y ? 0 是原函数值域中的一个值 …①

当 y ? 0 时,上述方程要在区间 ? ?1, ?? ? 上有解,

? ?0 1 ? 即要满足 f ? ?1? ? 0 或 ? 2 y ? 1 解得: 0 ? y ? ……② 8 ?? 2 y ? ?1 ? ? 1? 综合①②得:原函数的值域为: ?0, ? ? 8? 题型五:形如 y ? ax ? b ? cx ? d 的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某
区间上求值域问题,然后求其值域。 例 10: 求函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 在 x ? ? ?8,1? 时的值域 题型六:分段函数的值域:

??4, 4?

一般分别求出每一分段上函数的值域,然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各 个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出,从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例 11: y ? x ?1 ? x ? 2 例 12: y ? ? x2 ? 4 x ? 1 题型七:复合函数的值域 对于求复合函数的值域的方法是: 首先求出该函数的定义域, 然后在定义域的范围内由 内层函数的值域逐层向外递推。 例 13: y ? 例 14: y ?

?3, ?? ? ? ??,5?

x ?1 ? ?1 ? x ? 1? 2? x

?0, 2?
? 5? 0, ? ? 2? ?

? x 2 ? 3x ? 4

四、函数值域求解的十六种求法 (1)直接法(俗名分析观察法) : 有的函数结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。 即从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直 观观察,准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。 例 1: 已知函数 y ? ?x ? 1? ? 1 ,x ? ?? 1,0,1,2? ,求函数的值域。
2

??1,0,3?
[1, ??)

例 2:求函数 y ? 例 3: 求函数 y ? 例 4:求函数 y ?

x ? 1的值域。

x ? 1 ? x ? 1, ? x ≥1? 的值域。 x 2 ? 6 x ? 10 的值域。

? 2, ?? ?

?

?1, ???

(2)配方法: 二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解, 但在转化的过程中要注意等 价性,特别是不能改变定义域。对于形如 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? 或
2

F ? x? ? a ? ? f ? x ?? ? ? bf ? x ? ? c ? a ? 0 ? 类的函数的值域问题,均可使用配方法。
2

例 1.求函数 y ?

? 2 x ? x 2 ? 3 的值域。
? ( x ? 1) 2 ? 4 ,于是:

2 分析与解答:因为 ? 2 x ? x ? 3 ? 0 ,即 ? 3 ? x ? 1 , y ?

0 ? ?( x ? 1) 2 ? 4 ? 4 , 0 ? y ? 2 。
例 2.求函数 y ?

x 2 ? 2x ? 4 1 在区间 x ? [ ,4] 的值域。 4 x
2

? 4 2 ? x 2 ? 2x ? 4 x? ? 分析与解答:由 y ? 配方得: y ? x ? ? 2 ? ? ? ? ?6, x x x? ?

1 4 1 ? x ? 2 时,函数 y ? x ? ? 2 是单调减函数,所以 6 ? y ? 18 ; 4 x 4 4 当 2 ? x ? 4 时,函数 y ? x ? ? 2 是单调增函数,所以 6 ? y ? 7 。 x 1 1 所以函数在区间 x ? [ ,4] 的值域是 6 ? y ? 18 。 4 4
当 (3)最值法: 对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值,求函数的值域的方法。 例 1 求函数 y=3-2x-x2 的值域。 解:由 3-2x-x2≥0,解出定义域为[-3,1] 。 函数 y 在[-3,1]内是连续的,在定义 域内由 3-2x-x2 的最大值为 4,最小值为 0。 ∴函数的值域是[0,2] 例 2:求函数 y ? 2 , x ?? ?2, 2? 的值域。
x

?1 ? ,4 ? ?4 ? ? 73 ? ? ? ??, ? 8? ?

例 3:求函数 y ? ?2 x ? 5x ? 6 的值域。
2

(4)反函数法(逆求或反求法) : 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系, 通过求反函数的定义域, 得到原函 数的值域。即通过反解,用 y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式,得出 y 的取 值范围。对于形如 y ?
cx ? d (a ? 0) 的值域,用函数和它的反函数定义域和值域关系,通过 ax ? b

求反函数的定义域从而得到原函数的值域。 例 1:求函数 y ?

1 ? 2x 的值域。 1 ? 2x

1? y 1 ? 2x x 解:由 y ? 解得 2 ? , x 1? y 1? 2
∵ 2 ? 0 ,∴
x

1? y ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 1? y

∴函数 y ?

1 ? 2x 的值域为 y ? (?1,1) 。 1 ? 2x

(5)分离常数法: 分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数 法。小结:已知分式函数 y ? 要求)内,值域为 ? y y ?

ax ? b (c ? 0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的 cx ? d

? ?

a? ,采用部分分式 ? ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件) c?

ad b? a c (ad ? bc) ,用复合函数法来求值域。 法将原函数化为 y ? ? c cx ? d 1? x 例 1:求函数 y ? 的值域。 2x ? 5 1 7 7 ? (2 x ? 5) ? 1? x 2 ??1? 2 , 解:∵ y ? ? 2 2x ? 5 2x ? 5 2 2x ? 5 7 1 ∵ 2 ? 0 ,∴ y ? ? , 2 2x ? 5 1? x 1 ∴函数 y ? 的值域为 { y | y ? ? } 。 2x ? 5 2
(6)换元法(代数/三角) : 对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数, 可以考虑运用代数或三角代 换,将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数,从而求得原函数的值域。当根 式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。 对形如 y ?

1 的函数,令 f ? x ? ? t ;形如 f ? x?

令 cx ? d ? t ; 形如含 a 2 ? x2 y ? ax ? b ? cx ? d (a, b, c, d均为常数, ac ? 0) 的函数, 的结构的函数, 可利用三角代换, 令 x ? a cos? ,? ??0, ? ? , 或令 x ? a sin ? ,? ? ? ? 例 1:求函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域。 解:令 t ? 1 ? 2 x ( t ? 0 ) ,则 x ?
2 2 ∴ y ? ?t ? t ? 1 ? ?(t ? ) ?

? ? ?? . , ? 2 2? ?

1? t2 , 2

1 2

5 4

1 3 5 ,即 x ? 时, ymax ? ,无最小值。 2 8 4 5 ∴函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] 。 4
∵当 t ? 例 2.求函数 y ? ( x ? 5x ? 12)(x ? 5x ? 4) ? 21的值域。
2 2

9 5? 9 ? 分析与解答:令 t ? x ? 5 x ? 4 ? ? x ? ? ? ,则 t ? ? 。 4 2? 4 ?
2

2

y ? t ?t ? 8? ? 21 ? t 2 ? 8t ? 21 ? ?t ? 4? ? 5 ,
2

当t ? ?

9 1? 1 ? ? 9 ? 时, y min ? ? ? ? 4 ? ? 5 ? 8 ,值域为 ? y | y ? 8 ? 4 16? 16 ? ? 4 ?

2

例 3.求函数 y ? x ? 10x ? x 2 ? 23 的值域。 分析与解答:由 y ? x ? 10x ? x 2 ? 23 = x ?
2

2 ? ?x ? 5? ,令 x ? 5 ? 2 cos? ,
2

因为 2 ? ?x ? 5? ? 0 ? 2 ? 2 cos2 ? ? 0 ? ?1 ? cos? ? 1 , ? ? [0, ? ] ,则

2 ? ?x ? 5? = 2 sin ? ,
2

于是 y ?

? ? 5? ?? ? 2 sin ? ? 2 cos? ? 5 ? 2 sin?? ? ? ? 5 , ? ? ? [ , ] , 4 4 4 4? ?

?

2 ?? ? ? sin?? ? ? ? 1,所以 5 ? 2 ? y ? 7 。 2 4? ?
把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ;通过方程有实数根,判别式 ? ? 0 ,从

(7)判别式法:

而求得原函数的值域。对形如 y ?

a1 x 2 ? b1 x ? c1 ( a1 、 a2 不同时为零)的函数的值域, a2 x 2 ? b2 x ? c2

通常转化成关于 x 的二次方程,由于方程有实根,即 ? ? 0 从而求得 y 的范围,即值域。值 得注意的是,要对方程的二次项系数进行讨论。 注意:主要适用于定义在 R 上的分式函数,但定义在某区间上时,则需要另行讨论。 例 1:求函数 y ?

x2 ? x ? 3 的值域。 x2 ? x ? 1

x2 ? x ? 3 解:由 y ? 2 变形得 ( y ?1) x2 ? ( y ?1) x ? y ? 3 ? 0 , x ? x ?1
当 y ? 1 时,此方程无解; 当 y ? 1 时,∵ x ? R ,∴ ? ? ( y ?1) ? 4( y ?1)( y ? 3) ? 0 ,
2

解得 1 ? y ?

11 11 ,又 y ? 1 ,∴ 1 ? y ? 3 3

x2 ? x ? 3 11 ∴函数 y ? 2 的值域为 { y |1 ? y ? } 3 x ? x ?1
(8)函数单调性法: 确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。例如,

f ? x ? ? ax ?
题。

b 可考虑利用函数的单调性解 ? a ? 0, b ? 0 ? .当利用不等式法等号不能成立时, x

例 1:求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。 解:∵当 x 增大时, 1 ? 2 x 随 x 的增大而减少, ? 1 ? 2 x 随 x 的增大而增大, ∴函数 y ? x ? 1 ? 2x 在定义域 (??, ] 上是增函数。 ∴y?

1 2

1 1 1 ? 1? 2? ? , 2 2 2
1 2

∴函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域为 (??, ] 。 例 2.求函数 y ? x ?

1 在区间 x ? ?0,??? 上的值域。 x

分析与解答:任取 x1 , x2 ? ?0,??? ,且 x1 ? x 2 ,则

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?

?x1 ? x2 ??x1 x2 ? 1? ,因为 0 ? x
x1 x2

1

? x2 ,所以: x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,

当 1 ? x1 ? x2 时, x1 x2 ? 1 ? 0 ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ; 当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, x1 x2 ? 1 ? 0 ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ?;而当 x ? 1 时, y min ? 2 于是:函数 y ? x ?

1 在区间 x ? ?0,??? 上的值域为 [2,??) 。 x

构造相关函数,利用函数的单调性求值域。 例 3:求函数 f ?x? ? 1 ? x ? 1 ? x 的值域。 分析与解答:因为 ?

?1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,而 1 ? x 与 1 ? x 在定义域内的单调性 ?1 ? x ? 0

不 一 致 。 现 构 造 相 关 函 数 g ?x ? ? 1 ? x ? 1 ? x , 易 知 g ( x ) 在 定 义 域 内 单 调 增 。

g m a x ? g ?1? ? 2 , g min ? g ?? 1? ? ? 2 , ? g ?x ? ? 2 , 0 ? g 2 ?x? ? 2 ,
又f
2

?x? ? g 2 ?x? ? 4 ,所以: 2 ?

f 2 ? x ? ? 4 , 2 ? f ?x ? ? 2 。

(9)基本不等式法 利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值, 解析式是积时 要求和为定值。

利用基本不等式 a ? b ? 2 ab ,用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相 等”.如利用 a ? b ? 2 ab 求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件① a ? 0, b ? 0 ;②

a ? b ?或ab ? 为定值;③取等号成立的条件 a ? b .三个条件缺一不可。此外,有时需要合理
地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 比如求函数 y ? x ? 例 1 求函数 解:

k (k ? 0, n ? N ) 的值域。 xn
x?2 x ?1 的值域.

y?
?

y?

x?2 x ?1

x ?1 ?

1 x ?1

? 2 , 当且仅当 x ? 1 时 " ?" 成立 . 故函数的值域 为

y ? [2,??) .
此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其 值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.

2 x2 ? x ? 1 ? 1? 例 2:求函数的值域: y ? ? x ? ?. 2x ?1 ? 2?
1 2 x 2 ? x ? 1 x ? 2 x ? 1? ? 1 1 1 1 解: y ? ? ? x? ? x? ? 2 ? 2 x ?1 2 x ?1 2 x ?1 2 x?1 2 2 1 1 x ? ,? x ? ? 0 2 2
1 1 1 1 ? ? ?x ? ? 2 ? 2 ? x ? ? 2 ? 2 1? 2 x? 1 2?? ? ?x? ? 2 2? ?

1 1? 2 1 当且仅当 x ? ? 2 时,即 x ? 时等号成立, 2 2 x?1 2
?y ? 2? 1 ?1 ? ,所以元函数的值域为 ? ? 2, ?? ? . 2 ?2 ?
的值域。

例 3. 求函数 解:原函数变形为:

当且仅当 即当 时 ,等号成立

故原函数的值域为: 例 4. 求函数 解:

的值域。

当且仅当 由 可得:

,即当

时,等号成立。

故原函数的值域为: (10)函数有界性法: 利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如 y ? 都是有界函数,值域为[-1,1],利用这个性质可求得其值域。 例 1:求函数 y ?
a sin x ? c ,由于正余弦函数 b cos x ? d

x2 ?1 的值域。 x2 ? 1

解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为 R ,对函数进行变形可得

( y ?1) x2 ? ?( y ? 1) ,
∵ y ? 1 ,∴ x ? ?
2

y ?1 ( x ? R , y ? 1) , y ?1

∴?

y ?1 ? 0 ,∴ ?1 ? y ? 1 , y ?1

∴函数 y ?

x2 ?1 的值域为 { y | ?1 ? y ? 1} x2 ? 1

形如 sin ? ? f ( y), x 2 ? g ( y),因为sin? ? 1, x 2 ? 0 可解出 Yr 范围,从而求出其值域 或最值。 例 2.求函数 y ?

2x ?1 的值域 2x ?1

解: 由 y ?

2x ?1 y ?1 x 得2 ? x y ?1 2 ?1
y ?1 ? 0 ? y ? 1或y ? ?1 y ?1
2 cos x ? 1 的值域。 3cos x ? 2 2 ? sin x 的值域。 2 ? sin x

? 2 2 ? 0,?

例 3:求函数 y ?

1? ? ? ??, ? ? ?3, ?? ? 5? ? ?1 ? ,3 ? ?3 ? ?

例 4:求函数 y ? (11)数型结合法:

如果所给函数有较明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个 函数的图象易于作出时,可借助几何图形的直观性来求函数的值域,如由 两点 ? x1 , y1 ? 与 ? x2 , y2 ? 连线的斜率或距离。 例 1:求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域。
y

y1 ? y2 可联想到 x2 ? x1

?? 2 x ? 1( x ? ?1) ? 解法 1: 将函数化为分段函数形式: y ? ?3( ?1 ? x ? 2) , ?2 x ? 1( x ? 2) ?
画出它的图象,由图象可知,函数的值域是{y|y ? 3}。

3

-1 O

2

x

解法 2(几何法或图象法) :∵函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x 到两定点-1,2 的 距离之和,∴易见 y 的最小值是 3,∴函数的值域是[3,+ ? ]。如图
x -1 O 1 2
-1 Ox 1 2
-1 O 1 2x



例 2.求函数 y ?

x2 ? 4 x ? 5 ? x2 ? 4 x ? 8 的值域。

点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。

解:原函数变形为 f ( x) ?

( x ? 2) 2 ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 22

作一个长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD,再切割成 12 个单位正方形。设 HK= x ,则
2 2 EK=2 ?x ,KF=2 ? x ,AK= ( x ? 2) ? 2 , 2 KC= ( x ? 2) ? 1 。

由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。 当 A、K、C 三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为{y|y≥5} 。 例 3.求函数 y ? 1 ? x ? 1 ? x 的值域。
2 2 解析:令 u ? 1 ? x , v ? 1 ? x ,则 u ? 0, v ? 0 , u ? v ? 2 , u ? v ? y ,原问 2 2 题转化为:当直线 u ? v ? y 与圆 u ? v ? 2 在直角坐标系 uov的第一象限有公共点时,求

直线的截距的取值范围。 由图 1 知:当 u ? v ? y 经过点 (0, 2 ) 时, ymin ? 当直线与圆相切时, y max ? OD ? 所以,值域为 2 ? y ? 2

2;
? 2。
2B

V

2OC ?

? 2?

2

D C E

O
例 4. 求函数 y ?

A

U

2

x2 ? 6 x+13 ? x2 ? 4 x+5 的值域。
( x ? 3) 2 ? (0 ? 2) 2 ? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2

解:将函数变形为 y ?

上式可看成定点 A(3,2)到点 P(x,0)的距离与定点 B(?2,1) 到点 P ( x, 0) 的距离 之差。即 y ? AP ? BP 由图可知: (1) 当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时, 如点 P? , 则构成 ?ABP ? , 根据三角形两边之差小于第三边,有 AP ? BP ? AB ? 即 ? 26 ? y ? 26 ( 2 ) 当 点 P 恰 好 为 直 线 AB 与 x 轴 的 交 点 时 , 有

(3 ? 2)2 ? (2 ? 1)2 ? 26

AP ? BP ? AB ? 26
综上所述,可知函数的值域为 (? 26, 26] 注:求两距离之和时,通常需要将函数式变形,使 A、B 两点在 x 轴的两侧,而求两距 离之差时,则要使 A,B 两点在 x 轴的同侧。

(12)复合函数法: 对函数 y ? f (u), u ? g ( x) ,先求 u ? g ( x) 的值域充当 y ? f (u ) 的定义域,从而求出

y ? f (u ) 的值域的方法。
例 1、求函数 y ?

3x 的值域 3x ? 1
x

(复合函数法)设 3 ? 1 ? t 则y?



3x ? 1 ? 1 1 1 ? 1? x ? 1 ? ?t ? 1? x t 3 ?1 3 ?1
?0 ? y ? 1

1 ? t ? 1 ?0 ? ? 1 t

?原函数的值域为?01?
例 2:求函数 y ? log 1 (?2 x2 ? 5x ? 3) 的值域。
2

? 49 ? , ?? ? ? ?8 ?

(13)非负数法 根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。 例 1、(1)求函数 y ? 16 ? x 2 的值域。 (2)求函数 y ? 解析:(1)? 0 ? 16 ? x ? 16 , ?0 ? 16 ? x 2 ? 4
2

x2 ? 3 的值域。 x2 ? 1

故 所求函数的值域为 y ? ?0, 4? 。
2 2 2 (2)? x ? 1 ? 0 ,? 原函数可化为 y( x ? 1) ? x ? 3 ,即 x (1 ? y) ? y ? 3 ,
2



y ? 1 时, x 2 ?

y?3 y?3 2 ? 0 ,解得 ? 3 ? y ? 1 , ? x ? 0 ,? 1? y 1? y

又 y ? 1 , 所以 ? 3 ? y ? 1 ,

1 ) 故 所求函数的值域为 y ? [?3, 。
(不等式性质法) 例 2:求下列函数的值域:

6 (1)y= 2 ; x ?2

2 x 2 ? 4 x ? 10 (2)y= 2 ; x ? 2x ? 2

(3)y=

6 2sin x ? 1

(4)y=10- 16 ? x2 ; (14)导数法

(2)y= ?3( ) ? 4( x ? ?1) ;
x

1 2

(3)y= log 2 ( x ? )( x ?
2

1 4

1 ) 2

若函数 f 在 ( a, b) 内可导 , 可以利用导数求得 f 在 ( a, b) 内的极值 , 然后再计算 f 在

a , b 点的极限值. 从而求得 f 的值域.
例 1: 求函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 在 (?5,1) 内的值域. 分 析 : 显 然 f 在 (?5,3) 可 导 , 且 f ?( x) ? 3x 2 ? 3 . 由 f ?( x) ? 0 得 f 的 极 值 点 为

x ? 1, x ? ?1.
f (?1) ? 2,

f (1 ? 0) ? ?2 . f (?5 ? 0) ? 140.

所以, 函数 f 的值域为 (?2,140) . (15)“平方开方法” 求函数值域的方法有很多种, 如: “配方法”、 “单调性法”、 “换元法”、 “判别式法”以及“平 方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域 .本文将指出适合 采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤, 并给出四道典型 的例题. 1.适合函数特征 设 f ( x) ( x ? D )是待求值域的函数,若它能采用“平方开方法”,则它通常具有如下三 个特征: (1) f ( x) 的值总是非负,即对于任意的 x ? D , f ( x) ? 0 恒成立; (2) f ( x) 具有两个函数加和的形式,即 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ( x ? D ) ; (3) f ( x) 的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式,即 , f 2 ( x) ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]2 ? c ? g ( x) ( x ? D , c 为常数) 其中,新函数 g ( x) ( x ? D )的值域比较容易求得. 2.运算步骤 若函数 f ( x) ( x ? D )具备了上述的三个特征,则可以将 f ( x) 先平方、再开方,从而 得到 f ( x) ? c ? g ( x) ( x ? D , c 为常数).然后,利用 g ( x) 的值域便可轻易地求出 f ( x) 的 值域.例如 g ( x) ? [u, v] ,则显然 f ( x) ?[ c ? u , c ? v ] . 3.应用四例 能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此 法在解决具体问题时的技巧. 例 1 求函数 f ( x) ? b ? x ? x ? a ( x ? [a, b] , a ? b )的值域.

解:首先,当 x ? [a, b] 时, f ( x) ? 0 ; 其次, f ( x) 是函数 f1 ( x) ? b ? x 与 f2 ( x) ? x ? a 的和; 最后, f 2 ( x) ? b ? a ? 2 (b ? x)( x ? a) ? b ? a ? 2 ?x2 ? (a ? b) x ? ab 可见,函数 f ( x) 满足了采用 “ 平方开方法 ” 的三个特征 . 于是,对 f ( x) 平方、开方得
f ( x) ? b ? a ? 2 ? x 2 ? (a ? b) x ? ab ( x ? [a, b] ) . 这 里 , g ( x)? 2 ? 2x ? (a ? b) x? a b

( x ? [a, b] ).对 g ( x) 根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得 g ( x) 的值域为 [0, b ? a] . 于是, f ( x) 的值域为 [ b ? a , 2(b ? a)] .

a b 例 2 求函数 f ( x) ? b ? kx ? kx ? a ( x ? [ , ] , a ? b , k ? 0 )的值域. k k 解:显然,该题就是例 1 的推广,且此题的 f ( x) 也满足了采用“平方开方法”的三个特 a b 征.于是,对 f ( x) 平方、开方得 f ( x) ? b ? a ? 2 ?k 2 x 2 ? k (a ? b) x ? ab ( x ? [ , ] ).这里, k k a b g( x) ? 2 ?k 2 x2 ? k (a ? b) x ? ab ( x ? [ , ] ).对 g ( x) 根号下面的二次函数采用“配方法”,即 k k
可求得 g ( x) 的值域仍为 [0, b ? a] .于是, f ( x) 的值域也仍为 [ b ? a , 2(b ? a)] . 例 3 求函数 f ( x) ?| sin x | ? | cos x | ( x ? R )的值域. 解:参照例 1 的验证步骤,显然,此题的 f ( x) 也满足了采用“平方开方法”的三个特征. 于是,对 f ( x) 平方、开方得 f ( x) ? 1? | sin 2x | ( x ? R ).这里, g ( x) ?| sin 2x |( x ? R ). 易知, g ( x) 的值域为 [0,1] .于是, f ( x) 的值域为 [1, 2] . 例 4 求函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x ( x ? R )的值域. 解:参照例 1 的验证步骤,显然,此题的 f ( x) 也满足了采用“平方开方法”的三个特征. 于是, 对 f ( x) 平方、 开方得 f ( x) ? 2 ? 2 | cos2x |( x ? R ) .这里,g ( x) ? 2 | cos 2 x |( x ? R ) . 易知, g ( x) 的值域为 [0, 2] .于是, f ( x) 的值域为 [ 2,2] . 例 5 求函数 y ?

x ? 3 ? 5 ? x 的值域

解: (平方法)函数定义域为: x ? ?3,5?

y 2 ? ( x ? 3) ? (5 ? x) ? 2 ? x 2 ? 8 x ? 15 由 x ? ?3,5? , 得 ? x 2 ? 8 x ? 15 ? ?0,1? ? y 2 ? ?2,4? ? 原函数值域为 2 ,2

?

?

平方法)函数定义域为: x ? ?3,5?

y 2 ? ( x ? 3) ? (5 ? x) ? 2 ? x 2 ? 8 x ? 15 由 x ? ?3,5? , 得 ? x 2 ? 8 x ? 15 ? ?0,1? ? y 2 ? ?2,4? ? 原函数值域为 2 ,2
(16)一一映射法 原理:因为 y ? ax ? b (c ? 0) 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中,若知道

?

?

cx ? d

一个变量范围,就可以求另一个变量范围。 例 1. 求函数 y ? 1 ? 3x 的值域。

2x ? 1

1 1? 解:∵定义域为 ? ?x | x ? ? 或x ? ? ? 2 2? ?
由 y ? 1 ? 3x 得 x ?

2x ? 1

1? y 2y ? 3

故x ?

1? y 1? y 1 1 ?? 或x ? ?? 2y ? 3 2 2y ? 3 2

解得 y ? ? 3 或y ? ? 3

2

2

3? ? 3 ? 故函数的值域为 ? ? ? ?,? ? ? ? ? ,?? ? 2? ? 2 ? ?
(17)其他方法 其实,求解函数值域的方法,只不过是从解题过程中,对关键环节或典型步骤的一种 称呼。实际上,其解法也远非上面总结的 16 种方法,还有倒数法等。此外我们还要明白: 多种方法的配合使用,以及一题采用多种方法,在不断积累过程中,体会不同方法的长短, 和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。 例 1. 求函数 y ?

x ? 2 的值域。 x?3

解:令 t ? x ? 2 (t ? 0) ,则 x ? 3 ? t 2 ? 1

y? ? ? (1) 当 t ? 0 时, t 2 ? 1 当且仅当 t=1, 即 x ? ?1时取等号, 所以 0 ? y ? 1 1 2, t? 2 t
(2)当 t=0 时,y=0。

t

1

1

1 综上所述,函数的值域为: ?0, ? ? 2? ? ?
注:先换元,后用不等式法

例 2. 求函数 y ? 1 ? x ? 2x ? x ? x 的值域。 1 ? 2x 2 ? x 4
2 3 4 2 4 ?1? x2 x ? x3 解: y ? 1 ? 2x ? x ? ? ? 2 1 ? 2x 2 ? x 4 1 ? 2x 2 ? x 4 ? ?1 ? x

? x ? ? ? 1? x2 ?

2

1? x2 ? 令 x ? tan ? ,则 ? ? ? ? cos 2 ? 2 ? ?

2

2

?1 ? x ?

x 1 ? sin ? 2 2 1? x

1 1 1? 17 ? ? y ? cos ? ? sin ? ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? ?? sin ? ? ? ? 4? 16 2 2 ?
2

2

∴当 sin ? ? 1 时, y

4

max

?

17 16

当 sin ? ? ?1 时, y min ? ?2

17 此时 tan ? 都存在,故函数的值域为 ?? 2, ? ? 16 ? 2 ? ?
注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用 sin ? 的有界性。 例 3.求函数 y ? 2 x ( x ? 0) 的值域 解: (图象法)如图,值域为 ?0,1?

?1? 例 4.求函数 y ? ? ? ?3?

? x2 ?2 x

的值域
t

?1? 解(复合函数法) :令 t ? ? x ? 2 x ? ?( x ? 1) ? 1 ,则 y ? ? ? (t ? 1) ? 3?
2 2

由指数函数的单调性知,原函数的值域为 ? ,?? ? 例 5.求函数 y ? x ? 1 ? x 2 的值域 解(三角代换法) : ?

?1 ?3

? ?

?1 ? x ? 1

? 设 x ? cos? ? ? ?0, ? ?

y ? cos? ? sin ? ? cos? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) ? ? 1, 2 4 ? 原函数的值域为? 1 , 2

?

?

?

?

?

小结:

(1)若题目中含有 a ? 1 ,则可设

a ? sin ? ,?

?
2

?? ?

?
2
2

(或设 a ? cos ? ,0 ? ? ? ? )
2

(2)若题目中含有 a ? b ? 1 则可设 a ? cos? , b ? sin ? ,其中 0 ? ? ? 2?

(3)若题目中含有 1 ? x 2 ,则可设 x ? cos ? ,其中 0 ? ? ? ? (4)若题目中含有 1 ? x 2 ,则可设 x ? tan ? ,其中 ? ( 5 ) 若 题 目 中 含 有

?
2

?? ?

?
2

x ? y ? r ( x ? 0, y ? 0, r ? 0) , 则 可 设

? ?? 2 x? rc o ?s , y ? r s i2 ?n。其中 ? ? ? 0 , ? ? 2?
例 6、求函数 y ?

x2 ?1 的值域 x2 ?1
2

解法一: (逆求法)? x ?

1? y ?0 1? y

? ?1 ? y ? 1

? 原函数的值域为 ?? 11?
解法二: (复合函数法)设 x ? 1 ? t ,
2

则 y ? 1?

2 2 ? 1? (t ? 1) t x ?1
2

2 ?2 ? ?1 ? y ? 1 t ?? 1 , 1? ? 原函数值域为 ? t ? 1 ?0 ?
解法三: (判别式法)原函数可化为 1) y ? 1 时 不成立 2) y ? 1 时, ? ? 0 ? 0 ? 4( y ? 1)( y ? 1) ? 0 ? ?1 ? y ? 1

( y ? 1) x 2 ? 0 ? x ? y ? 1 ? 0

? ?1 ? y ? 1
综合 1) 、2)值域 { y | ?1 ? y ? 1}

解法四: (三角代换法)? x ? R

? ? ?? ?设 x ? tan? ? ? ? ? , ? ,则 ? 2 2?

y??

1 ? tan2 ? ? ? cos 2? ? 2? ? ?? ? , ? ? ? cos 2? ? ?? 1 , 1? 1 ? tan2 ?

? 原函数的值域为 { y | ?1 ? y ? 1}
小结: 已知分式函数 y ?

ax2 ? bx ? c (a 2 ? d 2 ? 0) ,如果在其自然定义域内可采用判别 2 dx ? ex ? f

式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为

y?

二次式 一次式 (或 y ? ) 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数 一次式 二次式
a ( x ? 0) 的单 x

的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数 y ? x ? 调性去解。 注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用 sin ? 的有界性。

总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰 当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特 殊方法。 五、与函数值域有关的综合题 例 1 设计一幅宣传画, 要求画面面积为 4840 cm2,画面的宽与高的比为 λ(λ<1),画面的上、 下各留 8 cm 的空白,左右各留 5 cm 空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,才能使宣传画所用 纸张面积最小? 如果要求 λ∈[ ,

2 3 ],那么 λ 为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小? 3 4

解 设画面高为 x cm,宽为 λx cm,则 λx2=4840,设纸张面积为 S cm2, 则 S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160, 将 x=

22 10

?
5

代入上式得 S=5000+44 10 (8 ? + ,即 λ= ( <1)时 S 取得最小值

5

?

),
8cm

当8 ? =

?

5 5 8 8

此时高 x=

4840

?

5 =88 cm, 宽 λx= × 88=55 cm 8

5cm
[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]

5cm

如果 λ∈[ ,

2 3 2 3 ],可设 ≤λ1<λ2≤ , 3 4 3 4
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

8cm

则由 S 的表达式得

S ( ?1 ) ? S ( ?2 ) ? 44 10 (8 ?1 ? ? 44 10 ( ?1 ? ?2 )(8 ? 5

5

?1
)

? 8 ?2 ?

5

?2

)

?1?2

又 ?1?2 ≥

5 2 5 >0, ? ,故 8- 3 8 ?1?2

∴S(λ1)-S(λ2)<0,∴S(λ)在区间[ , 从而对于 λ∈[ , 答

2 3 ]内单调递增 3 4

2 3 2 ],当 λ= 时,S(λ)取得最小值 3 3 4
如果要求 λ∈ [ ,

画面高为 88 cm,宽为 55 cm 时, 所用纸张面积最小

2 3 2 ] ,当 λ= 3 3 4

时,所用纸张面积最小 例 2 已知函数 f(x)= (1)当 a=

x2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞ ) x

1 时,求函数 f(x)的最小值 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围 1 1 时,f(x)=x+ +2 2 2x ∵f(x)在区间[1,+∞ ) 上为增函数,
解 (1) 当 a=
[来源:学科网]

∴f(x)在 区间[1,+∞ ) 上的最小值为 f(1)= (2)解法一 在区间[1,+∞ ) 上, f(x)=

7 2

x2 ? 2x ? a >0 恒成立 ? x2+2x+a>0 恒成立 x
[来源:学科网 ZXXK]

设 y=x2+2x+a,x∈[1,+∞ ) ∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1 递增, ∴当 x=1 时,ymin=3+a,当且仅当 ymin=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立, 故 a>-
[来源:学,科,网]

解法二 f(x)=x+

a +2,x∈[1,+∞ ) x

当 a≥0 时,函数 f(x)的值恒为正; 当 a<0 时,函数 f(x)递增,故当 x=1 时,f(x)min=3+a, 当且仅当 f(x)min=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立,故 a>-3

[来源:Z#xx#k.Com]

例 3 设 m 是实数,记 M={m|m>1},f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

1 ) m ?1

(1)证明 当 m∈M 时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若 f(x)对所有实数 x 都有意义, 则 m∈M (2)当 m∈M 时,求函数 f(x)的最小值 (3)求证 对每个 m∈M,函数 f(x)的最小值都不小于 1

(1)证明 先将 f(x)变形 f(x)=log3[(x-2m)2+m+ 当 m∈M 时,m>1,∴(x-m)2+m+ 故 f(x)的定义域为 R

1 ], m ?1

1 >0 恒成立, m ?1 1 >0,令 Δ<0,即 16m2 m ?1

反之, 若 f(x)对所有实数 x 都有意义, 则只须 x2-4mx+4m2+m+ -4(4m2+m+

1 )<0,解得 m>1,故 m∈M m ?1 1 (2)解 设 u=x2-4mx+4m2+m+ , m ?1
∵y=log3u 是增函数,∴当 u 最小时,f(x)最小 而 u=(x-2m)2+m+

1 , m ?1 1 , m ?1

显然,当 x=m 时,u 取最小值为 m+ 此时 f(2m)=log3(m+

1 )为最小值 m ?1 1 1 (3)证明 当 m∈M 时,m+ =(m-1)+ +1≥3, m ?1 m ?1
当且仅当 m=2 时等号成立 ∴log3(m+

1 )≥log33=1 m ?1


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