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2009-2010学年江苏省宿迁市青华中学高一(上)月考数学试卷


2009-2010 学年江苏省宿迁市青华中学高一(上) 月考数学试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1. 分)满足 A?{a,b,c}且 A∩{a,b}={a}的集合 A 的个数有 (5 _________ .

2. 分)已知 (5

,则 a,b,c 从小到大的排列为

__

_______ .

3. 分)化简: (5

=

_________ .

4. 分)如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4)(2,0)(6,4) (5 , , ,则 f (f(1) )= _________ .

5. 分)函数 f(x)=a (5

x﹣1

+3 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是 _________ .

6. 分)函数 (5

的定义域为

_________ .

7. 分)已知函数 (5

,当 a<0 时,则 f(f(f(a))的值为 )

_________ .

8. 分)若函数 f(x)=kx +(k+1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是 _________ . (5 9. 分)已知集合 A={x|x﹣a=0},B={x|ax﹣1=0},且 A∩B=B,则实数 a 等于 (5 _________ . 10. 分)设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 x[(f(x)﹣f(﹣x)]<0 的解集为 (5 _________ . 11. 分)已知 f(3 )=2xlog23 则 f(2 (5
x 1004

2

)的值等于

_________ .

12. 分)某人 2008 年 1 月 1 日到银行存入一年期存款 a 元,若按年利率为 x,并按复利计算,到 2011 年 1 月 1 (5 日可取回款 _________ 元.

1

13. 分)已知函数 f(x)=mx ﹣6x+2,∈R,若 f(x)=0 只有一正根,则实数 m 的范围为 (5

2

_________ . .

14. 分)函数 y=f(x)为偶函数且在[0,+∞)上是减函数,则 f(4﹣x)的单调递增区间为 _________ (5 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15. (14 分)计算: (1) (2)log2.56.25+lg0.01+ln + ﹣( ﹣1) +(
﹣1

16. (14 分)已知幂函数 y=f(x)经过点



(1)试求函数解析式; (2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间; (3)试解关于 x 的不等式 f(3x+2)+f(2x﹣4)>0.

17. (15 分) (2010?许昌模拟)已知函数 f(x)=1+

(﹣2<x≤2)

(1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域、单调区间. 18. (15 分)已知函数 f(x)=loga(x+1) ,g(x)=loga(4﹣2x) (a>0,且 a≠1) . (1)求函数 f(x)﹣g(x)的定义域; (2)求使函数 f(x)﹣g(x)的值为正数的 x 的取值范围. 19. (16 分)已知函数 y=4 +2 +5,x∈[0,2],若 t=2 x (1)若 t=2 ,把 y 写成关于 t 的函数,并求出定义域; (2)求函数的最大值. 20. (16 分)已知定义在集合(0,+∞)的函数 y=f(x)满足条件:对于任意的 x,y∈(0,+∞) ,f(x?y)=f(x) +f(y) ,且当 x>1 时,f(x)>0 (1) 试举出满足条件的一个函数 (2) 证明 f(1)=0; (3) 讨论函数 y=f(x)在(0,+∞)上的单调性.
x x+1 x

2

2009-2010 学年江苏省宿迁市青华中学高一(上) 月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1. 分)满足 A?{a,b,c}且 A∩{a,b}={a}的集合 A 的个数有 (5 考点: 专题: 分析: 解答:

2 .

点评:

集合的包含关系判断及应用;交集及其运算. 计算题. 由 A?{a,b,c},我们可知 A 中所包含的元素只能从 a,b,c 中选取,而由 A∩{a,b}={a}我们 知识 A 中必须含有元素 a,而一定不能含有元素 b,列举出满足条件的集合后,易得到答案. 解:∵A?{a,b,c}, 且 A∩{a,b}={a} ∴a∈A,且 b?A 则满足条件的 A 有: {a},{a,c} 故答案:2 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,及交集及其运算,根据已知确定每一个元素与 A 的关系,对不能确定的元素进行分类讨论是解答的关键.
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2. 分)已知 (5

,则 a,b,c 从小到大的排列为

c,a,b .

考点: 专题: 分析:

幂函数的性质;对数值大小的比较. 计算题. 指数式之间大小的比较,对数式之间大小的比较一般要借助相关函数的单调性,或者借助中间量 来比较大小,本题三个数其中前两个数可以借助幂函数的单调性来比较大小,对数式值为负,故 三数大小易得
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解答: 解:考察函数 y= 又 ,它是一个增函数,故 0< ,即 0<a<b

log21=0

点评:

故三数大小的排列是 c,a,b 故答案为 c,a,b 本题考点是幂函数单调性的运用,比较大小的题要注意观察所给数或式的形式,从中发现可以借 用那个函数的单调性来比较大小或者其范围应该在那个区间内,以此来选择比较大小的方法. 8 .

3. 分)化简: (5

=

考点: 专题: 分析:

对数的运算性质. 计算题. 利用对数的运算性质,指数的运算性质,直接化简代数式,求出代数式的值即可.
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3

解答: 解: =1+lg2+lg5+2× =2+2×3=8

点评:

故答案为:8 本题考查对数的运算性质,指数的运算性质,考查计算化简能力,是基础题.

4. 分)如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4)(2,0)(6,4) (5 , , ,则 f (f(1) )= 0 .

考点: 专题: 分析: 解答:

点评:

函数的值. 计算题;图表型. 函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C,由图象找出函数的整点,根据这些对应关系求 f(f(1). ) 解:由图 f(1)=2,f(2)=0 故 f(f(1) )=0 故答案为:0. 本题考查求函数的值,解题的关键是看懂函数的图象,由图象找出自变量与函数值的对应,求出函 数的值.
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5. 分)函数 f(x)=a (5 考点: 专题: 分析: 解答:

x﹣1

+3 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是 (1,4) .

指数函数的单调性与特殊点. 综合题.

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通过图象的平移变换得到 f(x)=a 恒过(1,4)
x﹣1

x﹣1

+3 与 y=a 的关系,据 y=a 的图象恒过(0,1)得到 f(x)
x

x

x

点评:

解:f(x)=a +3 的图象可以看作把 f(x)=a 的图象向右平移一个单位再向上平移 3 个单位而 得到, x 且 f(x)=a 一定过点(0,1) , x﹣1 则 f(x)=a +3 应过点(1,4) 故答案为: (1,4) 本题考查指数函数的图象恒过点(0,1) ;函数图象的平移变换.

6. 分)函数 (5 (3,4)∪(4,5)∪(5,6) . 考点: 专题: 分析:

的定义域为

函数的定义域及其求法. 计算题. 先看分子,根式要有意义,要大于等于零;看分母不能为零,真数要大于零;再看幂,底数不能 为零.
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4

解答: 解:根据题意:

点评:

解得:3<x<4 或 4<x<5 或 5<x<6 其定义域是: (3,4)∪(4,5)∪(5,6) 故答案为: (3,4)∪(4,5)∪(5,6) 本题主要考查定义域的求法,考查的很全面,涉及根式函数,分式函数,零次幂和对数函数的定 义域.

7. 分)已知函数 (5

,当 a<0 时,则 f(f(f(a))的值为 )





考点: 专题: 分析: 解答:

分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值;对数的运算性质. 计算题. 要利用分段函数求 f(f(f(a))的值,我们要根据 a 的取值范围依次从内到外的去括号,最后即 ) 可得到所求函数值. 解:当 a<0,则 a f(a)=2 ∈(0,1) 则 f(f(a) )=
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则 f(f(f(a))= )

=﹣

故答案:﹣ 点评: 本题考查的知识点是分段函数,函数的值及对数的运算性质,其中确定去括号的方法,即从内到 外去括号是解答的关键.
2

8. 分)若函数 f(x)=kx +(k+1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是 [0,+∞) . (5 考点: 专题: 分析: 解答: 二次函数的性质;函数奇偶性的性质. 计算题. 令奇次项系数为 0 求出 k 的值,求出对称轴及开口方向,求出单调递减区间. 2 解:函数 f(x)=kx +(k+1)x+3 是偶函数 所以 k+1=0 解得 k=﹣1 2 所以 f(x)=﹣x +3 此二次函数的对称轴为 x=0,开口向下 所以 f(x)的递减区间是[0,+∞) 故答案为[0,+∞) 整式函数若为偶函数则不含奇次项,若为奇函数则不含偶次项;二次函数的单调区间与对称轴及 开口方向有关.
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点评:

5

9. 分)已知集合 A={x|x﹣a=0},B={x|ax﹣1=0},且 A∩B=B,则实数 a 等于 (5 1 或﹣1 或 0 . 考点: 专题: 分析: 解答: 集合的包含关系判断及应用. 计算题. 利用 A∩B=B?B?A,先化简集合 A,再分类讨论化简集合 B,求出满足 B?A 的 a 的值. 解:∵A∩B=B ∴B?A
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A={x|x﹣a=0}={a} 对于集合 B 当 a=0 时,B=?满足 B?A 当 a≠0 时,B={ } 要使 B?A 需 解得 a=±1 故答案为 1 或﹣1 或 0 本题考查 A∩B=B?B?A、一元一次方程的解法、分类讨论的数学思想方法.

点评:

10. 分)设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 x[(f(x)﹣f(﹣x)]<0 的解集为 (5 (﹣1,0)∪(0,1) . 考点: 专题: 分析: 奇偶性与单调性的综合. 计算题. 由函数奇偶性的性质,我们根据已知中奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,易判 断函数 f(x)在(﹣∞,0)(0,1)(﹣1,0)(0,+∞)上的符号,进而得到不等式 x[(f(x) , , , ﹣f(﹣x)]<0 的解集. 解:若奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数, 则函数 f(x)在(﹣∞,0)上也为增函数, 又∵f(1)=0 ∴f(﹣1)=0 则当 x∈(﹣∞,0)∪(0,1)上时,f(x)<0,f(x)﹣f(﹣x)<0 当 x∈(﹣1,0)∪(0,+∞)上时,f(x)>0,f(x)﹣f(﹣x)>0 则不等式 x[(f(x)﹣f(﹣x)]<0 的解集为(﹣1,0)∪(0,1) 故答案为: (﹣1,0)∪(0,1) 本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合应用,其中奇函数在对称区间上单调性相同,是解答本 题的关键.
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解答:

点评:

11. 分)已知 f(3 )=2xlog23 则 f(2 (5 2008 . 考点: 专题: 分析: 解答:

x

1004

)的值等于

点评:

函数的值;对数的运算性质. 计算题. x 1004 利用对数的运算性质将对数的真数凑出 3 ,求出 f(x)的解析式,将 x 用 2 代替求出函数值. x x 解:f(3 )=2xlog23=2log23 ∴f(x)=2log2x 1004 1004 ∴f(2 )=2log22 =2008 故答案为 2008 本题考查通过凑形式求出函数的解析式,由函数解析式求函数值.
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6

12. 分)某人 2008 年 1 月 1 日到银行存入一年期存款 a 元,若按年利率为 x,并按复利计算,到 2011 年 1 月 1 (5 日可取回款 a(1+x) 考点: 专题: 分析: 解答:
3

元. 函数模型的选择与应用. 应用题. 本题选择指数函数型的函数模型解决.分别写出一年后,二年后,三年后,可取回款数,观察所得 式子即可得出答案. 2 解:一年后,可取回款 a(1+x) ,二年后,可取回款 a(1+x) , 3 三年后,可取回款 a(1+x) , 3 故答案为:a(1+x) 本小题主要考查函数模型的选择与应用、增长率的概念、指数函数等基础知识,考查数学建模能力, 属于基础题.解决实际问题通常有四个步骤: (1)阅读理解,认真审题; (2)引进数学符号,建立 数学模型; (3)利用数学的方法,得到数学结果; (4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立 数学模型.
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点评:

13. 分)已知函数 f(x)=mx ﹣6x+2,∈R,若 f(x)=0 只有一正根,则实数 m 的范围为 (5 考点: 专题: 分析: 根的存在性及根的个数判断. 计算题. f(x)=0 只有一正根,即函数 f(x)的图象和 x 轴的正半轴只有一个交点, 当 m=0 时函数为一次函数,图象是一条直线,经检验满足条件, 当 m≠0 时,函数是二次函数,分判别式等于 0 和判别式大于 0 两种情况来考虑.
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2

m≤0,或 m=



解答:

解:当 m=0 时,函数 f(x)=mx ﹣6x+2,是一次函数,图象是一条直线,与 x 轴有唯一的交点( , 0) ,满足条件. 当 m≠0 时,由△ =36﹣8m=0 得,m= ,方程有唯一实根 x= , 由△ =36﹣8m>0,且两根之积 <0 得,m<0, 综上,则实数的范围为 m≤0,或 m= ,故答案为 m≤0,或 m= .

2

点评:

f(x)=0 只有一正根,即函数 f(x)的图象和 x 轴的正半轴只有一个交点,分函数为一次函数和函 数为二次函数两种情况研究.

14. 分)函数 y=f(x)为偶函数且在[0,+∞)上是减函数,则 f(4﹣x)的单调递增区间为 (﹣∞,4] . (5 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;综合题. 分析: 先根据题意可求出函数 f(x)的递减区间,然后令 t=4﹣x,进而可求出当 t>0 时的 x 的范围,再结 合函数 t=4﹣x 的单调性可判断函数函数 f(4﹣x)在(﹣∞,4]上单调递增. 解答: 解:∵函数 y=f(x)为偶函数且在[0,+∞)上是减函数, 令 t=4﹣x,则 t=4﹣x≥0 时,x≤4,且函数 t 在 x∈(﹣∞,4]上单调递减, 根据复合函数的同增异减可知:函数 f(4﹣x)在(﹣∞,4]上单调递增 故答案为: (﹣∞,4]. 点评: 本题主要考查复合函数的单调性问题、 奇偶性与单调性的综合问题. 考查对基础知识的理解和运用, 属基础题.
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二、解答题(共 6 小题,满分 90 分)
7

15. (14 分)计算: (1) (2)log2.56.25+lg0.01+ln

+

﹣(

﹣1) +(

﹣1

考点: 专题: 分析:

有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质. 计算题.

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(1)根据有理数指数幂的运算性质,我们根据(a ) =a , (2)根据对数的运算性质,我们由 logaa =n,
n

m

n

mn

及 a =1,易得到结论.

0

化简式子,即可得到结果.

解答: 解(1)原式= + (4 分) (6 分) (7 分)
﹣2



+1

= = =

(2)原式=log2.52.52+lg10 +ln =2﹣2+ +2×3 = 点评: (7 分) (5 分)

+2×

本题考查的知识点有理数指数幂的化简求值,对数的运算性质,熟练掌握对数的运算性质和指数运 算的性质是解答本题的关键.

16. (14 分)已知幂函数 y=f(x)经过点



(1)试求函数解析式; (2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间; (3)试解关于 x 的不等式 f(3x+2)+f(2x﹣4)>0. 考点: 专题: 分析: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域;函数的单调性及单调区间;函数单调性的性质;函数奇偶 性的判断. 计算题;数形结合.
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(1)设 y=a ,代入

x

可得 a 值,从而得到幂函数的解析式.

(2)根据函数解析式求出定义域,在考查 f(﹣x)与 f(x)的关系,依据函数奇偶性的定义作出 判断. (3)将不等式化为 f(3x+2)>f(4﹣2x) ,分 3x+2 与 2x﹣4 都是正数、都是负数、异号三种情况, 依据函数的单调性及函数值范围列出不等式组,最后把各个不等式组的解集取并集. 解答: 解: (1)设 y=a ,代入 得 a=﹣1,∴ .
x



8

(2)定义域(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,又 ∴f(x)为奇函数. 单调区间(﹣∞,0)(0,+∞) , (3)由 f(3x+2)+f(2x﹣4)>0 得 f(3x+2)>﹣f(2x﹣4) , 即 f(3x+2)>f(4﹣2x) ,



①当 3x+2>0,4﹣2x>0 时,





②当 3x+2<0,4﹣2x<0 时,

,x 无解,

③当 3x+2 与 4﹣2x 异号时,

,x>2,

综上所述, 点评:

或 x>2.

本题考查用待定系数法求函数解析式、奇偶性,求函数单调区间、定义域,以及利用单调性、奇偶 性解不等式.

17. (15 分) (2010?许昌模拟)已知函数 f(x)=1+ (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域、单调区间. 考点: 专题: 分析:

(﹣2<x≤2)

函数的图象;分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的单调性及单调区间. 作图题;数形结合. (1)根据 x 的符号分﹣2<x≤0 和 0<x≤2 两种情况,去掉绝对值求出函数的解析式; (2)根据(1)的函数解析式,画出函数的图象; (3)根据函数的图象求出函数的值域和函数单调区间.
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解答:

解(1)由题意知,f(x)=1+

(﹣2<x≤2) ,

当﹣2<x≤0 时,f(x)=1﹣x,当 0<x≤2 时,f(x)=1, 则 f(x)= (4 分)

(2)函数图象如图: (3)由(2)的图象得,函数的值域为[1,3) , 函数的单调减区间为(﹣2,0].

9

点评:

本题考查了由函数解析式画出函数图象,根据图象求出函数的值域和单调区间,考查了作图和读 图能力.

18. (15 分)已知函数 f(x)=loga(x+1) ,g(x)=loga(4﹣2x) (a>0,且 a≠1) . (1)求函数 f(x)﹣g(x)的定义域; (2)求使函数 f(x)﹣g(x)的值为正数的 x 的取值范围. 考点: 专题: 分析: 对数函数的定义域;对数函数的单调性与特殊点. 综合题. (1)分别把 f(x)和 g(x)的解析式代入到 f(x)﹣g(x)中,根据负数和 0 没有对数得到 x+1 和 4﹣2x 都大于 0,列出关于 x 的不等式组,求出不等式组的解集即为函数 f(x)﹣g(x)的定 义域; (2)f(x)﹣g(x)的值正数即为 f(x)﹣g(x)大于 0,即 f(x)大于 g(x) ,将 f(x)和 g (x)的解析式代入后,分 a 大于 0 小于 1 和 a 大于 1 两种情况由对数函数的单调性即可列出 x 的不等式,分别求出不等式的解集,即可得到相应满足题意的 x 的取值范围. 解: (1)由题意可知,f(x)﹣g(x)=loga(x+1)﹣loga(4﹣2x) ,
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解答:





解得



点评:

∴﹣1<x<2, ∴函数 f(x)﹣g(x)的定义域是(﹣1,2) . (2)由 f(x)﹣g(x)>0,得 f(x)>g(x) ,即 loga(x+1)>loga(4﹣2x) ,① 当 a>1 时,由①可得 x+1>4﹣2x,解得 x>1,又﹣1<x<2, ∴1<x<2; 当 0<a<1 时,由①可得 x+1<4﹣2x,解得 x<1,又﹣1<x<2, ∴﹣1<x<1. 综上所述:当 a>1 时,x 的取值范围是(1,2) ; 当 0<a<1 时,x 的取值范围是(﹣1,1) . 此题考查学生会求对数函数的定义域,掌握对数函数的单调性,是一道综合题.
x x+1 x

19. (16 分)已知函数 y=4 +2 +5,x∈[0,2],若 t=2 x (1)若 t=2 ,把 y 写成关于 t 的函数,并求出定义域; (2)求函数的最大值. 考点: 函数解析式的求解及常用方法;复合函数的单调性. 专题: 计算题. x 2 x 分析: 把函数变形可得 y=(2 ) +2?2 +5 x x (1)由 x∈[0,2]可得 t=2 ∈[1,4],把 t=2 代入到①可求 y 关于 t 的函数, 2 (2)由(1)可把已知转化为求函数 y=t +2t+5 在区间[1,4]的最值,配方结合二次函数的最值求
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解. 解答: 解. (1)原函数化为 y=(2 ) +2?2 +5..(2 分)∵t=2 ∴y=t +2t+5 又. 分)x∈[0,2]∴t∈[1, (4 2 4]∴y=t +2t+5 函数定义域为 t∈[1,4]..(6 分) 2 (2)由(1)知原函数可化为 y=t +2t+5t∈[1,4](8 分) 2 2 y=t +2t+5=(t+1) +4(10 分) 函数在区间[1,4]为增函数, (12 分) 当 t=4 即 x=2 时,函数取到最大值 ymax=29(16 分) 本题以指数函数的值域的求解为载体,综合考查了二次函数在闭区间上的最值的求解,对于二次 函数在闭区间上的最值的求解,常先对函数进行配方,然后结合函数的图象,判断函数在所给区 间上的单调性,从而求出函数的最值.
x 2 x x 2

点评:

20. (16 分)已知定义在集合(0,+∞)的函数 y=f(x)满足条件:对于任意的 x,y∈(0,+∞) ,f(x?y)=f(x) +f(y) ,且当 x>1 时,f(x)>0 (1) 试举出满足条件的一个函数 (2) 证明 f(1)=0; (3) 讨论函数 y=f(x)在(0,+∞)上的单调性. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;新定义;对应思想. 分析: (1)对于任意的 x,y∈(0,+∞) ,f(x?y)=f(x)+f(y) ,且当 x>1 时,f(x)>0 想到底数大 于 1 的对数函数满足此运算性质,故可以举一个底数大于 1 的对数函数; (2)分别对 x=y=1 赋值,即可证 f(1)=0; (3)根据函数单调性的定义讨论函数的单调性. x 解答: 解. (1)y=log2 . (2)证明:因为对于任意 x,y∈(0,+∞) ,有 f(x?y)=f(x)+f(y) 所以可令 x=y=1,则有 f(1)=f(1)+f(1) ,即 f(1)=0.
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(3)设任意实数 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x2<x1, 则 = =

. 因为 x1,x2∈(0,+∞) 2<x1 ,x 所以 ,又当 x>1 时有 f(x)>0

所以

即 f(x1)﹣f(x2)>0

点评:

所以 f(x1)>f(x2)函数在(0,+∞)是单调增函数. 考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题,对于解决抽象函数的一般采用赋值法,求 某些点的函数值和证明不等式等,属中档题.

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