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【步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第7讲 立体几何中的向量方法(一)(含解析)新人教A版


第 7 讲 立体几何中的向量方法(一)
一、选择题 1.直线 l1,l2 相互垂直,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( A.s1=(1,1,2),s2=(2,-1,0) B.s1=(0,1,-1),s2=(2,0,0) C.s1=(1,1,1),s2=(2,2,-2) D.s1=(1,-1,1),s2=(-2,2,-2) 解析 两直线垂直,其方向向量垂直,只有选项 B 中的两个向量垂直. 答案 B 3 5? 15? ? ? 2.已知 a=?1,- , ?,b=?-3,λ ,- ?满足 a∥b,则 λ 等于( 2 2? 2? ? ? 2 A. 3 9 B. 2 9 C.- 2 2 D.- 3 ). )

3 5 - 2 2 1 9 解析 由 = = ,可知 λ = . -3 λ 15 2 - 2 答案 B 3.平面 α 经过三点 A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面 α 的法向量不 垂直的是 1 ? A.? ?2,-1,-1? C.(4,2,2) B.(6,-2,-2) D.(-1,1,4) ( ).

→ → → → → → 解析 设平面 α 的法向量为 n,则 n⊥AB,n⊥AC,n⊥BC,所有与AB(或AC、BC)平行 → → 的向量或可用AB与AC线性表示的向量都与 n 垂直,故选 D. 答案 D 4.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 2,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 A.2 B. 3 C. 2 ( ). D.1

解析 连接 AC, 交 BD 于点 O, 连接 EO, 过点 O 作 OH⊥AC1 于点 H,因为 AB=2,所以 AC=2 2,又 CC1=2 2,所以 OH= 2sin 45° =1. 答案 D

1

5.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5, 则实数 λ 等于( 62 A. 7 ). 63 B. 7 60 C. 7

λ ),若 a,b,c 三向量共面,

65 D. 7

解析 由题意得 c=ta+μ b =(2t-μ ,-t+4μ ,3t-2μ ),

7=2t-μ ? ? ∴?5=-t+4μ , ? ?λ =3t-2μ

? ? 17 ∴?μ = 7 65 ? ?λ = 7
t=
33 7

.

答案 D → 1 → 6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且AM= MC1,N 为 B1B 的中点, 2 → 则|MN|为 A. 21 a 6 B. 6 a 6 C. 15 a 6 D. ( 15 a 3 ).

解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz, a? 则 A(a,0,0),C1(0,a,a),N? ?a,a,2?. 设 M(x,y,z), → 1→ ∵点 M 在 AC1 上且AM= MC1, 2 1 ∴(x-a,y,z)= (-x,a-y,a-z) 2 2 a a ∴x= a,y= ,z= . 3 3 3 2a a a? 得 M? ? 3 ,3,3?, → ∴|MN|= 答案 A 二、填空题 8 7.若向量 a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 ,则 λ=________. 9 2-λ+4 8 a· b 解析 由已知得 = = , 9 |a||b| 5+λ2· 9

?a-2a?2+?a-a?2+?a-a?2= 21a. ? 3 ? ? 3? ?2 3? 6

2

2 ∴8 5+λ2=3(6-λ),解得 λ=-2 或 λ= . 55 2 答案 -2 或 55 8.在四面体 PABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,设 PA=PB=PC=a,则点 P 到平面 ABC 的距离为________. 解析 根据题意, 可建立如图所示的空间直角坐标系 P-xyz, 则 P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).过点 P 作 PH ⊥平面 ABC,交平面 ABC 于点 H,则 PH 的长即为点 P 到平 面 ABC 的距离. ∵PA=PB=PC, ∴H 为△ABC 的外心. 又∵△ABC 为正三角形, a a a? ∴H 为△ABC 的重心,可得 H 点的坐标为? ?3,3,3?. ∴PH=

?0-a?2+?0-a?2+?0-a?2= 3a. ? 3? ? 3? ? 3? 3
3 a. 3

∴点 P 到平面 ABC 的距离为 答案 3 a 3

9.平面 α 的一个法向量 n=(0,1,-1),如果直线 l⊥平面 α ,则直线 l 的单位方向向量 是 s=________. 解析 直线 l 的方向向量平行于平面 α 的法向量,故直线 l 的单位方向向量是 s= ±?0,

? ?

2 2? ,- ?. 2 2 ?

答案 ±?0,

? ?

2 2? ,- ? 2 2?

10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为正方形 A1B1C1D1 四边 上的动点, O 为底面正方形 ABCD 的中心, M, N 分别为 AB, BC 的中点,点 Q 为平面 ABCD 内一点,线段 D1Q 与 OP 互 → → 相平分,则满足MQ=λMN的实数 λ 的有____________个. 解析 建立如图的坐标系,设正方体的边长为 2,则 P(x, y,2),O(1,1,0),∴OP 的中点坐标为? x+1 y+1 ? ? 2 , 2 ,1?,又

知 D1(0,0,2),∴Q(x+1,y+1,0),而 Q 在 MN 上,∴xQ

3

+yQ=3, ∴x+y=1,即点 P 坐标满足 x+y=1.∴有 2 个符合题意的点 P,即对应有 2 个 λ. 答案 2 三、解答题 11.已知:a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:

a,b,c.
解 因为 a∥b,所以 解得 x=2,y=-4, 这时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 又因为 b⊥c, 所以 b·c=0,即-6+8-z=0, 解得 z=2,于是 c=(3,-2,2). 12.如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2,AF=1, M 是线段 EF 的中点. 求证:(1)AM∥平面 BDE; (2)AM⊥平面 BDF. 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,

x 4 1 = = , -2 y -1

设 AC∩BD=N,连接 NE. 则 N? 2 2 ?,E(0,0,1), ? 2 , 2 ,0? 2 2 ? ? 2 , 2 ,1?

A( 2, 2,0),M?

→ 2 2 ∴NE=?- ,- ,1?. 2 ? 2 ? → 2 2 AM=?- ,- ,1?. 2 ? 2 ? → → ∴NE=AM且 NE 与 AM 不共线.∴NE∥AM. 又∵NE?平面 BDE,AM?平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE. → 2 2 (2)由(1)知AM=?- ,- ,1?, 2 ? 2 ? ∵D( 2,0,0),F( 2, 2,1), → ∴DF=(0, 2,1) → → ∴AM· DF=0,∴AM⊥DF. 同理 AM⊥BF.
4

又 DF∩BF=F,∴AM⊥平面 BDF. 13.在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、F 分 别是 AB、PB 的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论. (1)证明 如图,以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴,y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设 AD=a,则 D(0,0,0)、 a ? A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E? ?a,2,0?、P(0,0,a)、 a a a? F? ?2,2,2?. → a a? → EF=? ?-2,0,2?,DC=(0,a,0). → → → → ∵EF· DC=0,∴EF⊥DC,即 EF⊥CD. → a a a? (2)解 设 G(x,0,z),则FG=? ?x-2,-2,z-2?, 若使 GF⊥平面 PCB,则由 → → ? a a a a? a FG· CB=?x-2,-2,z-2? (a,0,0)=a? ?· ?x-2?=0,得 x=2; → → ? a a a 由FG· CP=?x-2,-2,z-2? (0,-a,a) ?· a a z- ?=0, = 2+a? ? 2? 2 得 z=0. a ? ∴G 点坐标为? ?2,0,0?,即 G 点为 AD 的中点. 14.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4, BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90° ,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的 角相等,求四棱锥 P-ABCD 的体积. 解 如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.设 PA =h,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(4,0,0),C(4, 3,0),D(0,5,0),E(2,4,0), P(0,0,h).

5

→ → → (1)易知CD=(-4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h). → → → → 因为CD· AE=-8+8+0=0, CD· AP=0, 所以 CD⊥AE, CD⊥AP.而 AP, AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE. → → (2)由题设和(1)知,CD· PA分别是平面 PAE,平面 ABCD 的法向量.而 PB 与平面 PAE 所 → → → → 成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,所以|cos〈CD,PB〉|=|cos〈PA,PB〉|, → → ? ? → → ? ? CD · PB PA· PB 即? → → ?=? → → ?. ? ? ? ? |PB|? ?|PA|· |PB|? ?|CD|· → → 由(1)知,CD=(-4,2,0),PA=(0,0,-h), → 又PB=(4,0,-h),

? -16+0+0 ? ? 0+0+h ? 故? ?=? ?. ?2 5× 16+h2? ?h× 16+h2?
8 5 解得 h= . 5 1 又梯形 ABCD 的面积为 S= ×(5+3)×4=16, 2 1 1 8 5 128 5 所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 V= ×S×PA= ×16× = . 3 3 5 15

2

6


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