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06安徽文科高考数学试题


2006年普通高等学校招生全国统一考试试卷 文科数学试题及答案(安徽卷)
参考公式: 如果时间A、B互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) 如果时间A、B相互独立,那么 P ( AAB ) ? P ( A)AP ( B ) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
k k Pn ?k ?

? Cn P ?1 ? P ? n?k

球的表面积公式 S ? 4? R ,其中R表示球的半径
2

球的体积公式 V ?

4 ? R 3 ,其中R表示球的半径 3

第Ⅰ卷(选择题

共60分)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)设全集 U ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} ,集合 S ? {1,3,5} , T ? {3, 6} ,则 CU ?S ? T ? 等于( ) A. ? B. {2, 4, 7,8} C. {1,3,5, 6} D. {2, 4, 6,8}

解: S ? T ? {1,3,5, 6} ,则 CU ?S ? T ? = {2, 4, 7,8} ,故选B

1 1 ? 的解集是( ) x 2 A. ( ??, 2) B. (2, ??) C. (0, 2) D. ( ??, 2) ? (2, ??) 1 1 1 1 2? x ? 0 ,即 x(2 ? x) ? 0 ,故选D。 解:由 ? 得: ? ? x 2 x 2 2x x ?1 (3)函数 y ? e ( x ? R ) 的反函数是(   ) A. y ? 1 ? ln x( x ? 0) B. y ? 1 ? ln x( x ? 0) C. y ? ?1 ? ln x( x ? 0) D. y ? ?1 ? ln x( x ? 0) x ?1 解:由 y ? e 得: x ? 1 ? ln y, 即x=-1+lny ,所以 y ? ?1 ? ln x( x ? 0) 为所求,故
(2)不等式 选D。 2 (4)“ x ? 3 ”是 x ? 4 “的(   ) A.必要不充分条件   B.充分不必要条件 C.充分必要条件      D.既不充分也不必要条件 解:条件集是结论集的子集,所以选B。 (5)若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
D. 4

) A. ?2
2 2

B. 2

C. ?4

解:椭圆

x y ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为(2,0),则 6 2

p ? 4 ,故选D。
(6)表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 A.

2 ? 3

B.

1 ? 3

C.

2 ? 3

D.

2 2 ? 3

解:此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形,所以由 8 ?

3a 2 ? 2 3 知, 4

a ? 1 ,则此球的直径为 2 ,故选A。 2 2 (7)直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 2ay ? 0( a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是
A. (0, 2 ? 1)   B. ( 2 ? 1, 2 ? 1)   C. ( ? 2 ? 1, 2 ? 1)
2 2

D. (0, 2 ? 1)

解:由圆 x ? y ? 2ay ? 0( a ? 0) 的圆心 (0, a ) 到直线 x ? y ? 1 大于 a ,且 a ? 0 ,选 A。 (8)对于函数 f ?x ? ?

sin x ? 1 (0 ? x ? ? ) ,下列结论正确的是( sin x



A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值 解:令 t ? sin x, t ? (0,1] ,则函数 f ?x ? ?

sin x ? 1 (0 ? x ? ? ) 的值域为函数 sin x

1 1 y ? 1 ? , t ? (0,1] 的值域,而 y ? 1 ? , t ? (0,1] 是一个减函减,故选B。 t t ? ? ? ? (9)将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象如图 ? 6 ?
所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( A. y ? sin( x ?

?



y ? sin( x ? ) 6
C. y ? sin(2 x ?

?

6

)

B.

?
3

)

D.

y ? sin(2 x ? ) 3
向量 a ? ? ?

?

解:将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按

?

? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象所对 ? 6 ?

应的解析式为 y ? sin ? ( x ? , ?(

?

7? ? 3? ? )? ,所以 ? ? 2 ,因此选C。 12 6 2 ?x ? y ?1 ? 0 ? (10)如果实数 x、y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?

6

) ,由图象知

,那么 2 x ? y 的最大值为(



A. 2 B. 1 C. ?2 D. ?3 解:当直线 2 x ? y ? t 过点(0,-1)时, t 最大,故选B。 (11)如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则 ( ) A. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形

B. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形

C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 解: ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值均大于0,则 ?A1 B1C1 是锐角三角形,若 ?A2 B2C2 是

? ? ? ? ? sin A2 ? cos A1 ? sin( 2 ? A1 ) ? A2 ? 2 ? A1 ? ? ? ? ? ? 锐角三角形,由 ? sin B2 ? cos B1 ? sin( ? B1 ) ,得 ? B2 ? ? B1 ,那么, 2 2 ? ? ? ? ? ? ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ?C2 ? 2 ? C1 ? ?
A2 ? B2 ? C2 ?

?

2

,所以 ?A2 B2C2 是钝角三角形。故选D。

(12)在正方体上任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的概 率为( )

3 4 D. 7 7 3 解:在正方体上任选3个顶点连成三角形可得 C8 个三角形,要得直角非等腰三角形, 24 则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线),共有24个,得 3 , C8
A. B. C. 所以选C。

1 7

2 7

2006年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(安徽卷)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 注意事项: 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效。 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填写在答题卡的相应位置 。 (13)设常数 a ? 0 , ? ax ?
2

? ?

3 1 ? 3 ? 展开式中 x 的系数为 2 ,则 a =_____。 x?

4

1 1 ? r ? r 3 1 r 4? r x8? 2 r x 2 ,由 x8? 2 r x 2 ? x 3 , 得r ? 2, 由知 C4 a= a = 。 2 2 ???? ? ??? ? ? ???? ? ???? ???? (14)在 A ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ? 3 NC ,M为BC的中点,则 MN ? _______。 ?? b 表示) (用 a、 ???? ? ? 1? ???? ???? ???? ???? ? ? 解:由得 AN ? 3 NC 4 AN ? 3AC =3(a ? b) , AM ? a ? b ,所以 2 ???? ? 3 ? ? ? 1? 1? 1? MN ? (a ? b) ? (a ? b) ? ? a ? b 。 4 2 4 4 1 (15)函数 f ?x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ?x ? 2 ? ? ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ?x ?

解: Tr ?1 ? C4 a
r

4? r

f ? f ?5 ?? ? __________。
解:由 f ?x ? 2 ? ?

1 1 ? f ( x) ,所以 f (5) ? f (1) ? ?5 , 得 f ?x ? 4 ? ? f ?x ? f ?x ? 2 ?

则f

? f ?5?? ? f (?5) ? f (?1) ?

1 1 ?? 。 f (?1 ? 2) 5

(16)平行四边形的一个顶点A在平面 ? 内,其余顶点在 ? 的同侧,已知其中有两个 顶点到 ? 的距离分别为1和2 ,那么剩下的一个顶点到平面 ? 的距离可能是: ①1; ②2; ③3; ④4; 以上结论正确的为______________。(写出所有正确结论的编号) 解:如图,B、D到平面 ? 的距离为1、2,则D、B的 C 3 中点到平面 ? 的距离为 ,所以C到平面 ? 的距离为3; B、C到平面 ? 的距离为1、2,D到平面 ? 的距离为 x ,则 x ? 1 ? 2或x ? 2 ? 1 ,即 x ? 1 ,所以D到平面 ? 的 距离为1; C、D到平面 ? 的距离为1、2,同理可得B到平面 ? 的 距离为1;所以选①③。 三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 (17)(本大题满分12分)已知 0 ? ? ?
2

2

D B

?
A1

A 第16题图

?

2

,sin ? ?

4 5

sin ? ? sin 2? 的值; cos 2 ? ? cos 2? 5? ) 的值。 (Ⅱ)求 tan(? ? 4 sin 2 ? ? sin 2? ? 4 3 解:(Ⅰ)由 0 ? ? ? ,sin ? ? ,得 cos ? ? ,所以 = cos 2 ? ? cos 2? 2 5 5 sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 20 。 3cos 2 ? ? 1 sin ? 4 5? tan ? ? 1 1 ? ,∴ tan(? ? ) ? ? 。 (Ⅱ)∵ tan ? ? cos ? 3 4 1 ? tan ? 7
(Ⅰ)求 (18)(本大题满分12分)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要 对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂。 现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理,通常首 先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。 (Ⅰ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率; (Ⅱ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率; 解:设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A,“所选用的两 种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B (Ⅰ)芳香度之和等于4的取法有2种:

(0, 4) 、 (1,3) ,故 P ( A) ?

2 。 15

P

(Ⅱ)芳香度之和等于1的取法有1种: (0,1) ;芳香度之和等于2的取法有1种:

(0, 2) ,故 P ( B ) ? 1 ? (

1 1 13 ? 2)? 。 2 C6 C6 15
H A O B

F

E

(19)(本大题满分12分)如图,P是边 长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点, PA ? 1 ,P在平面ABC内的射影为BF的中点O

D C 第19题图

。 (Ⅰ)证明 PA ⊥ BF ; (Ⅱ)求面 APB 与面 DPB 所成二面角的大小。 解:(Ⅰ)在正六边形ABCDEF中, A ABF 为等腰三角形, ∵P在平面ABC内的射影为O,∴PO⊥平面ABF,∴AO为PA在平面ABF内的射影;∵O为BF 中点,∴AO⊥BF,∴PA⊥BF。 (Ⅱ)∵PO⊥平面ABF,∴平面PBF⊥平面ABC;而O为BF中点,ABCDEF是正六边形 ,∴A、O、D共线,且直线AD⊥BF,则AD⊥平面PBF;又∵正六边形ABCDEF的边长为1,∴

AO ?

3 1 3 , DO ? , BO ? 。 2 2 2

过O在平面POB内作OH⊥PB于H,连AH、DH,则AH⊥PB,DH⊥PB,所以 ?AHD 为所求二 面角平面角。

1 AO 6 6 ? 2 = 在 A AHO 中,OH= , tan ?AHO ? 。 OH 4 6 3 4 3 DO ? 2 ? 6; 在 A DHO 中, tan ?DHO ? OH 6 4 6 ? 6 4 6 3 ?? 而 tan ?AHD ? tan(?AHO ? ?DHO ) ? 3 6 1? ? 6 3
(Ⅱ)以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,P(0,0,1),A(0, ? ,0),D(0,2,0),∴ PA ? (0, ?

3 1 ,0),B( ,0 2 2

??? ? ??? ? 3 1 , ?1) , PB ? ( , 0, ?1) , PD ? (0, 2, ?1) 2 2 ? 1 ? y1 ? 1 ? 0 ? ?? ?? ??? ? ?? ??? ? ? 2 设平面PAB的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 ,1) ,则 n1 ? PA , n1 ? PB ,得 ? , 3 ? x1 ? 1 ? 0 ? ? 2 ?? 2 3 n1 ? ( , ?2,1) ; 3 ? 2 y2 ? 1 ? 0 ?? ? ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? ? 设平面PDB的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 ,1) ,则 n2 ? PD , n2 ? PB ,得 ? 3 , x2 ? 1 ? 0 ? ? 2 ?? ? 2 3 1 n2 ? ( , ,1) ; 3 2 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? | n1 | ? | n2 |

??? ?

(20)(本大题满分12分)设函数 f ?x ? ? x ? bx ? cx( x ? R ) ,已知
3 2

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。

(Ⅰ)求 b 、 c 的值。 (Ⅱ)求 g ( x) 的单调区间与极值。 证明(Ⅰ)∵ f ?x ? ? x ? bx ? cx ,∴ f ? ?x ? ? 3 x ? 2bx ? c 。从而
3 2 2

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? (3 x 2 ? 2bx ? c) = x 3 ? (b ? 3) x 2 ? (c ? 2b) x ? c 是一 个奇函数,所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ; 3 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x ? 6 x ,从而 g ?( x) ? 3 x ? 6 ,由此可知,

(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g ( x) 是单调递增区间; (? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递减区间;
g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值
,极小值为 ?4 2 。 (21)(本大题满分12分)在等差数列 ?an ?中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 满足条件

S 2 n 4n ? 2 ? , n ? 1, 2,? , Sn n ?1
a

(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)记 bn ? an p n ( p ? 0) ,求数列 ? bn ?的前 n 项和 Tn 。

S 2 n 4n ? 2 a ? a2 ? ? 3 ,所以 得: 1 Sn n ?1 a1 an ? nd ? a1 ? 2n 2(a ? nd ? a ) 4n ? 2 S 2 n n 1 2 ? ? ? = a2 ? 2 ,即 d ? a2 ? a1 ? 1 ,又 an ? a1 n ?1 Sn an ? a1 ?n 2 2(an ? n ? 1) ,所以 an ? n 。 an ? 1
解:(Ⅰ)设等差数列 ?an ?的公差为 d ,由 (Ⅱ)由 bn ? an p n ,得 bn ? np 。所以 Tn ? p ? 2 p ? 3 p ? ? ? ( n ? 1) p
a n 2 3 n ?1

? np n

, 当 p ? 1 时, Tn ? 当 p ? 1 时,

n ?1 ; 2

pTn ? p 2 ? 2 p 3 ? 3 p 4 ? ? ? (n ? 1) p n ? np n ?1 ,
(1 ? P )Tn ? p ? p 2 ? p 3 ? ? ? p n ?1 ? p n ? np n ?1 ? p (1 ? p n ) ? np n ?1 1? p

? n ?1 , p ?1 ? 2 ? 即 Tn ? ? 。 n ? p (1 ? p ) ? np n ?1 , p ? 1 ? ? 1? p
(22)(本大题满分14分)如图,F为双曲线C:

x y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点。P为双曲线C右支上一点,且位于 x 轴上方,M为左准 a 2 b2 线上一点, O 为坐标原点。已知四边形 OFPM 为平行四边形, PF ? ? OF 。

2

(Ⅰ)写出双曲线C的离心率 e 与 ? 的关系式; (Ⅱ)当 ? ? 1 时,经过焦点F且平行于OP的直线交 双曲线于A、B点,若 AB ? 12 ,求此时的双曲线方程。 解:∵四边形 OFPM 是 A ,∴ | OF |?| PM |? c , M

y H

P x F

a2 , 作双曲线的右准线交PM于H,则 | PM |?| PH | ?2 c | PF | ? | OF | ?c ?c2 ? e2 ? ? ? ? 又e ? a2 a 2 c 2 ? 2a 2 e 2 ? 2 | PH | c?2 c?2 c c 2 , e ? ?e ? 2 ? 0 。
(Ⅱ)当 ? ? 1 时, e ? 2 , c ? 2a , b ? 3a ,双曲线为
2 2

N O 第22题图

x2 y2 ? ? 1 ,设P 4a 2 3a 2

15a a 2 3a 2 2 ? , y0 ?| MN |? | OM | ? | ON | ? ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?| MP | ? | ON |? c ? 2 c 2 15 15 ( x ? 2a ) ,代入到双曲线方程得 ,所以直线OP的斜率为 ,则直线AB的方程为 y ? 3 3 2 2 : 4 x ? 20ax ? 29a ? 0 ,
又 AB ? 12 ,由 AB ? 1 ? k
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 得:

y2 5 29a 2 2 2 2 ? 1 为所求。 12 ? 1 ? 25a ? 4 ? ? 12a ,解得 a ? 1 ,则 b ? 3 ,所以 x ? 3 3 4


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