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突破数学命题难点很简单


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突破数学命题难点很简单
一、定位整体 新课程标准对“常用逻辑用语”的定位为 :“正确使用逻辑用语是现代 社会公民应该具备的基本素质,无论是进行思考、交流,还是从事各项工 作,都需要正确的运用逻辑用语表达自己的思想 . 在本模块中,同学们将在 义务教育的基础上,学习常用逻辑用语,体会逻辑用语在表述和论证中的 作用,利用这些逻辑用语准确地表达数学内容,更好地进行交流 . ”因此, 学习逻辑用语,不仅要了解数理逻辑的有关知识,还要体会逻辑用语在表 述或论证中的作用,使以后的论证和表述更加准确、清晰和简洁 . 二、明确重点 “常用逻辑用语”分成三大节,分别为:命题及其关系,简单的逻辑 联结词,全称量词与存在量词 . “命题及其关系” 分两小节:一、 “四种命题” ,此节重点在于四种命 题 形 式及其关系,互为逆否命 题的等价性;二、 “充分条件和必要条件” , 此节重点在于充分条件、必要条件、充要条件的准确理解以及正确判断 . “简单的逻辑联结词” 重点在于“且” 、 “或” 、 “非”这三个逻辑联结 词的理解和应用 . “全称量词与存在量词” 重点在于理解全称量词与存在量词的意义, 以及正确做出含有一个量词的命题的否定 . 三、突破难点 1. “四种命题”的难点在于分清命题的条件和结论以及判断命题的真 假 例 1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的 真假 . ( 1 )全等三角形的面积相等;

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( 2 ) m >时,方程 mx2-x+1=0 无实根; ( 3 )若 sin α ≠,则 α ≠ 30 ° . 解析( 1 )条件为两个三角形全等,结论为它们的面积相等 . 因此,原 命 题 即为“若两个三角形全等 ,则它们的面积相等” ,逆命题为“若两个 三 角 形面积相等,则它们全等 ” ,否命题为“若两个三角形不全等,则它 们 的 面积不相等” ,逆否命题为“若两个三角形面积不相等,则它们不全 等”. 根据平面几何知识,易得原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命 题为假命题 . ( 2 )原命题即为“若 m >,则方程 mx2-x+1=0 无实根” ,逆命题为 “ 若 方程 mx2-x+1=0 无实根,则 m >” ,否命题为“若 m ≤,则方程 mx2-x+1=0 有实根” , 逆否命题为 “若方程 mx2-x+1=0 有实根, 则 m ≤” . 根据判别式 Δ =1-4m 的正负可知,原命题、逆命题、否命题、逆否命题均 为真命题 . ( 3 )原命题即为“若 sin α ≠,则 α ≠ 30 °” ,逆命题为“若 α ≠ 30 °,则 sin α ≠” ,否命题为“若 sin α = ,则 α =30 °” ,逆否命题为“若 α =30 °,则 sin α = ” . 直接判断原命题与逆命题真假有些困难,但考虑到原命题与逆否 命题等价,逆命题与否命题等价,因此可以先考虑逆否命题和否命题;由 三角函数的知识,可知原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假 命题 . 突破对于判断命题的真假,我们需要先弄清何为条件、何为结论,然 后根据相应的知识进行判断,当原命题不容易直接判断时,可以先判断其 逆否命题的真假性,从而得到原命题的真假性 . 2. “充分条件和必要条件”的难点在于充要性的判断 例 2 在下列命题中,判断 p 是 q 的什么条件 .( 在“充分不必要条件” 、 “必要不充分条件” 、 “充要条件” 、 “既不充分又不必要条件” 中选出一种) ( 1 ) p:|p| ≥ 2 , p ∈ R ; q: 方程 x2+px+p+3=0 有实根 . ( 2 )p :圆 x2+y2=r2 与直线 ax+by+c=0 相切;q :c2=( a2+b2 ) r2 ,其中 a2+b2 ≠ 0 , r ≠ 0.

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( 3 )设集合 M={x|x > 2} , N={x|x < 3} , p : x ∈ M ∩ N ; q:x ∈ M ∪ N. 解析( 1 )当 |p| ≥ 2 时,例如 p=3 ,此时方程 x2+px+p+3=0 无实根, 因此“若 p 则 q ”为假命题;当方程 x2+px+p+3=0 有实根时,根据判别 式有 p ≤ -2 或 p ≥ 6 ,此时 |p| ≥ 2 成立,因此“若 q 则 p ”为真命题 . 故 p 是 q 的必要不充分条件 . ( 2 )若圆 x2+y2=r2 与直线 ax+by+c=0 相切,则圆心( 0 , 0 )到 直线 ax+by+c=0 的距离等于 r ,即 r= ,化简可得 c2=( a2+b2 ) r2 ,因 此“若 p 则 q ”为真命题;反过来,由 c2= ( a2+b2 ) r2 ,可得 r= ,即 圆心( 0 , 0 )到直线 ax+by+c=0 的距离等于 r ,由解析几何知识得圆与 直线相切,因此“若 q 则 p ”为真命题 . 故 p 是 q 的充要条件 . ( 3 )M ∩ N=( 2 ,3 ) ,M ∪ N=R ,若 x ∈( 2 ,3 ) ,此时显然有 x ∈ R , 因此“若 p 则 q ”为真命题;反过来,若 x ∈ R ,例如 x=5 ,此时 x? 埸( 2 , 3) ,因此“若 q 则 p ”为假命题 . 故 p 是 q 的充分不必要条件 . 突破①从逻辑的观点理解:判断充分性、必要性的 前提是判断给定命 题的真假性,若“若 p 则 q ”为真命题,则 p 是 q 的充分条件;若“若 q 则 p ”为真命题,则 p 是 q 的必要条件;若两者都是真命题,则 p 是 q 的充要条件;若两者都是假命题,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 . ② 从集合的观点理解:建立命题 p ,q 相应的集合 .p :A={x|p ( x )成立 } ,q : B={x|q( x )成立 }. 那么 : 若 A? 哿 B ,则 p 是 q 的充分条件;若 B? 哿 A ,则 p 是 q 的必要条件; 若 A=B , 则 p 是 q 的充要条件 . 若 A? 芫 B 且 B? 芫 A , 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 . 例 3 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn=pn+q ( p ≠ 0 且 p ≠ 1 ) ,求证 : 数列 {an} 为等比数列的充要条件为 q=-1. 解析充分性 : 当 q=-1 时, a1=p-1 ;当 n ≥ 2 时, an=Sn-Sn-1=pn-1 ( p-1 ) . 于是当 n ≥ 1 时, =p ,即数列 {an} 为等比数列 . 必要性:当 n=1 时, a1=S1=p+q ;当 n ≥ 2 时, an=Sn-Sn-1 =pn-1 ( p-1 ) . 因为 p ≠ 0 且 p ≠ 1 ,于是 =p. 又因为数列 {an} 为等比数 列,所以 ==p ,即 =p ,解之得 q=-1. 综上所述, q=-1 为数列 {an} 为等比数列的充要条件 .
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突破证明 p 是 q 的充要条件需要分两步:①充分性,把 p 作为已知条 件,结合命题的前提条件,推出 q ;②必要性,把 q 作为已知条件,结合 命题的前提条件,推出 p. 最后综上所述,可得 p 是 q 的充要条件 . 特别注 意 : 充分条件的意义只在于保证结论成立,而不管它对结论成立是否必要; 必要条件的意义只在于要使结论成立它必不可少,而不管它对结论成立是 否充分 . 因此,在进行恒等变形或探求充要条件的过程中,只注意推导过程 的充分性,其结果有可能缩小范围;只注意推导过程的必要性,其结果有 可能扩大范围 . 3. “简单逻辑联结词”的难点在于复合命题的真假性判断以及“命题 的否定”与“否命题”的区分 例 4 指出下列命题的真假 . ( 1 ) -1 是奇数或偶数; ( 2 )属于集合 Q ,也属于集合 R ; ( 3 ) A? 埭( A ∪ B ) . 解析( 1 )此命题为“ p 或 q ”的形式,其中 p : -1 是奇数; q : -1 是偶数 . 因为 p 为真命题,所以原命题为真命题 . ( 2 )此命题为“ p 且 q ”的形式,其中 p :属于集合 Q ; q :属于集 合 R. 因为只有 q 为真命题,所以原命题为假命题 . ( 3 )此命题为“非 p ”的形式,其中 p : A? 哿( A ∪ B ) . 因为 p 为真 命题,所以原命题为 假命题 . 突破判断如“ p 或 q ” 、 “ p 且 q” 、 “非 p ”形式的复合命题的真假时, 首先要确定命题的构成形式,然后判断其中各简单命题的真假,最后再利 用真值表判断复合命题的真假 . 例 5 写出下列各命题的否定和否命题 . ( 1 )若 x+y 是偶数,则 x , y 都是奇数;

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( 2 )若 xy=0 ,则 x=0 或 y=0. 解析( 1 )命题的否定:若 x+y 是偶数,则 x ,y 不都是奇数;否命题: 若 x+y 不是偶数,则 x , y 不都是奇数 . ( 2 )命题的否定 : 若 xy=0 ,则 x ≠ 0 且 y ≠ 0 ;否命题 : 若 xy ≠ 0 ,则 x ≠ 0 且 y ≠ 0. 突破命题的否定只是否定命题的结论,而否命题既否定题设,又否定 结论 . 需注意“ x=0 或 y=0 ”的否定是“ x ≠ 0 且 y ≠ 0 ”而不是“ x ≠ 0 或 y ≠ 0” ; “ x ,y 都是奇数”的否定是“ x ,y 不都是奇数”而不是“ x ,y 都不是 奇数” . 4. “全称量词与存在量词”的难点在于全称命题和存在性命题的真假 性判断以及含有一个量词的命题的否定 例 6 判断下列命题是否为全称命题或存在性命题,并判断真假 . ( 1 )有一个实数 α , tan α 无意义; ( 2 )任何一条直线都有斜率; ( 3 ) ? 埚 x < 0 ,使 x2+x+5 < 0 ; ( 4 )自然数的平方是正数 . 解析( 1 )存在性命题,当 α = 时,tan α 无意义,因此原命题为真命题 . ( 2 )全称命题,当倾斜角为时,该直线斜率不存在,因此原命题为 假命题 . ( 3 )存在性命题,由判别式可知 Δ =1-4 × 5=-19 < 0 ,所以对 ? 坌 x ∈ R , x2+x+5 > 0 ,因此原命题为假命题 . ( 4 )全称命题,存在自然数 0 ,其平方不是正数,因此原命题为假命 题. 突破①要判定全称命题“ ? 坌 x ∈ M , p ( x ) ”为真命题,需要对集合
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M 中每个元素 x ,证明 p( x )成立;如果集合 M 中找到一个元素 x0 ,使 得 p( x )不成立,那么这个全称命题为假命题 . ②要判定存在性命题“ ? 埚 x0 ∈ M , p ( x ) ”为真命题,只需在集合 M 中找到一个元素 x0 ,使得 p ( x0 )成立即可;如果在集合 M 中,使 p ( x )成立的元素 x 不存在,那 么这个存在性命题是假命题 . 例 7 写出下列命题的否定 . ( 1 )面积相等的三角形是全等三角形; ( 2 )有些质数是奇数; ( 3 )对 ? 坌 x ∈ R , x2+x+1=0 都成立; ( 4 ) ? 埚 x ∈ R , x2+2x+5 > 0. 解析( 1 )原命题是全称命题,故其否定为 : 存在面积相等的三角形不 是全等三角形 . ( 2 )原命题是存在性命题,故其否定为 : 所有的质数都不是奇数 . ( 3 )原命题是全称命题,故其否定为 :? 埚 x ∈ R ,使 x2+x+1 ≠ 0. ( 4 )原命题是存在性命题,故其否定为 : 对 ? 坌 x ∈ R , x2+2x+5 ≤ 0 都成立 . 突 破 全称 命 题 与 存在 性 命 题的 区 别 在 于构 成 两 种命 题 的 量 词不 同 . 实 质上, “全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述,因此在 书 写 全称命题 与存在性命题的否定时,一定要抓住决定命题性质的量词, 从对量词的否定入手书写命题的否定 . 全称命题的否定是存在性命题, 而存 在性命题的否定是全称命题 . 1. ( 2011 年安徽理科卷)命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的 否定是 ______________. 2. ( 2011 年山东文科卷)已知 a , b , c ∈ R ,命题“若 a+b+c=3 , 则 a2+b2+c2 ≥ 3 ”的否命题是 ________.

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3. ( 2011 年湖南文科卷) “ x > 1 ”是“ |x| > 1 ”的 __________ 条件 . 4.( 2011 年福建理科卷)若 a ∈ R ,则“ a=2 ”是“ ( a-1 ) ( a-2 )=0 ” 的 ______________ 条件 . 5.( 2011 年浙江理科卷) “ α = ”是“ cos2 α = ”的 ______________ 条件 . 6. ( 2011 年山东理科卷)对于函数 y=f ( x ) , x∈ R, “ y=|f ( x ) | 的 图像关于 y 轴对称”是“ y=f ( x )是奇函数”的 ____________ 条件 . 7.( 2011 年浙江文科卷)若 a ,b 为实数,则“ 0 < ab < 1 ”是“ b <” 的 ______________ 条件 . 8. ( 2011 年四川文科卷)设函数 f ( x )的定义域为 A ,若 x1 , x2 ∈ A 且 f( x1 ) =f( x2 )时,总有 x1=x2 ,则称 f( x )为单函数 . 例如,函数 f ( x ) =2x+1 ( x ∈ R )是单函数 .

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