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云南省昆明市第三中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


昆明三中 2015-2016 学年高一上学期期中数学试卷
命题人:熊坚

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1.集合 A ? x ? N 0 ? x ? 4 的真子集 个数为 ( ... A.3 2. 函数 f ( x) ? A. (2 , ? ?) 3. 设 a ?

log 2 A. c ? a ? b B.4 C.7 ) D. ? ?1, 2

?

?

) D.8

1 ? ln( x ? 1) 的定义域为( 2? x
B. (?1 , 2) ? (2, ? ?)

C. (?1 , 2)

?

3, b ? 30.01 , c ? ln
B. a ? b ? c

2 ,则( 2

) C. a ? c ? b D. b ? a ? c

4. 在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:任意 x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) ,有 ( ) B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f ( ?2)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 x2 ? x1

A. f (3) ? f (?2) ? f (1) C. f (?2) ? f (1) ? f (3) 5. 函数 f ? x ? ? ln( x ? 1) ? A. (0,1)

2 的零点所在的大致区间是( ) . x
C. ? 2,3? ) D. ? 3, 4 ?

B. (1,2)

6.函数 y ? x ? ln x 的大致图像是(

2 7.设 f ( x) ? ax ? bx ? 2 是定义在 1 ? a, 2 上的偶函数,则 f ( x) 的值域是(

?

?

).

A. [?10, 2]

B. [?12,0]

C. [?12, 2]

D.与 a , b 有关,不能确定 )

8.若函数 f(x), g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f(x) ? g(x) ? e x ,则有(

A. f(2) ? f(3) ? g(0) C. f(2) ?

B. g(0) ? f(3) ? f(2) D. g(0) ? f(2) ? f(3) )

g(0) ? f(3)

9.已知奇函数 f ( x) 在 x ? 0 时的图象如图所示,则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为( A. (1, 2) C. ( ?2, ?1) 10. 若函数 f ( x) ? ? A. ( ,1) B. (?2, ?1) ? (1, 2) D. (?1, 1)
0
y
? 1 ? 2

x

?a x , x ? 1 ?(2 ? 3a) x ? 1, x ? 1 3 B. [ ,1) 4

是 R 上的减函数,则实数 a 的取值范围是( C. ( , ]



2 3

2 3 3 4

D. ( ,?? )

2 3

11. 对于集合 M、N,定义: M ? N ? {x | x ? M 且 x ? N } , M ? N ? (M ? N ) ? ( N ? M ) , 设 A = { y | y ? x 2 ? 3x, x ? R) , B ? x y ? log2 (? x) ,则 A ? B =( A. (?

?

?



9 , 0] 4

B. [ ?

9 , 0) 4

9 C. (??,? ) ? (0,??) 4

9 D. (??,? ) ? [0,??) 4

12. 记实数 x1 ,x 2 , …,x n 中的最大数为 max ?x1, x2 ,…,xn ? , 最小数为 min ?x1 , x2 ,…,xn ? ,

,x ? x ? 1,? x ? 6 则 max min x ? 1
2

? ?

?? ? (

) C. 3 D.

A.

3 4

B. 1

7 2

二.填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡中相应位置. 13. 已知幂函数 f ( x) 的图象经过(3,27) ,则 f(2)=________. 14.函数 f ( x) ? loga (2x ? 3) ? 1的图像恒过定点 P ,则点 P 的坐标是___________ 15.函数 f(x) ? ax ? bx ?
3

c
x

? 2 ,满足 f( -3) ? -2015 ,则 f(3)的值为________

0 ? a ? b ? c ,f (a) f (b) f (c) ? 0 , 16.已知函数 f ( x) ? ( ) ? log 2 x , 实数 d 是函数 f ( x)
x

1 3

的一个零点.给出下列四个判断: ① d ? a ;② d ? b ;③ d ? c ;④ d ? c .其中可能成立的是 (填序号)

三、解答题:本大题共 6 道题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤,并请将答案写在答题卡相应的位置上.

17. (本小题满分 10 分) 已知集合 U ? ?x | 1 ? x ? 7?, A ? ?x | 2 ? x ? 5?, B ? ?x | 3 ? x ? 7?, 求:(1) A ? B ; (2) (CU A) ? B ; (3) A ? (CU B)

18. (本小题满分 12 分) 计算下列各题: (1) 0.001
? 1 3 3 7 ? ( )0 ? 16 4 ? ( 2 ? 3 3)6 ; 8

(2) log3 27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7

log7 2

? (?9.8)0 .

19. (本小题满分 12 分) 铁路运输托运行李,从甲地到乙地,规定每张客票托运费计算方法为:行李质量不超过 按 0.25 元 / kg 计算; 超过 50kg 而不超过 100kg 时, 其超过部分按 0.35 元 / kg 计算, 50kg , 超过 100kg 时,其超过部分按 0.45 元 / kg 计算.设行李质量为 xkg ,托运费用为 y 元. (Ⅰ)写出函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若行李质量为 56kg ,托运费用为多少?

20. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ? 1。

(1)求 f ( x) 的函数解析式,并用分段函数的形式给出; (2)作出函数 f ( x) 的简图; (3)写出函数 f ( x) 的单调区间及最值.

21. (本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? log a

1? x ?a ? 0, 且a ? 1? 1? x

(1)证明 f ?x ? 为奇函数;(2)求使 f ?x ? >0 成立的 x 的集合.

22. (本小题满分 12 分) 已知:定义在 R 上的函数 f ( x ) ,对于任意实数 a, b 都满足 f ( a ? b) ? f ( a) f (b) ,且

f (1) ? 0 , 当 x ? 0时, f ( x) ? 1 .
[来源:学科网

(Ⅰ)求 f (0) 的值; (Ⅱ)证明 f ( x ) 在 ? ??, ? ?? 上是增函数; (Ⅲ)求不等式 f ( x ? x) ?
2

1 的解集. f (2 x ? 4)

云南省昆明三中 2015-2016 学年高一上学期期中数学答案

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1 C 2 C 3 A 4 A 5 B 6 D 7 A 8 D 9 B 10 B 11 D 12 D

二.填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡中相应位置. 13. 8

1) 14.(2,
15.2019 16. ①②④ 三、解答题:本大题共 6 道题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤,并请将答案写在答题卡相应的位置上. 17. (本小题满分 10 分) (1) A ? B ? x 3 ? x ? 5 ; (2) (CU A) ? B ? x 1 ? x ? 2或3 ? x ? 7 ; (3) A ? (CU B) ? x 2 ? x ? 3 【解析】 试题分析:利用数轴,在数轴上画出全集 U ,集合 A,集合 B,即可求得. 试题解析: (1) A ? B ? ? x | 2 ? x ? 5? ? ? x | 3 ? x ? 7? ? x 3 ? x ? 5

?

?

?

?

?

?

?

?

(2) U ? ?x | 1 ? x ? 7?, A ? ?x | 2 ? x ? 5?, (CU A) ? B ? x 1 ? x ? 2或3 ? x ? 7 (3) A ? (CU B) ? x 2 ? x ? 3 18. (本小题满分 12 分) 试题解析: (1)原式= (0.13 )
3 2
? 1 3

?

?

?

?
1 1

? 1 ? (24 ) 4 ? (2 2 )6 ? (33 )6 = 89

3

6分

(2)原式= log 3 3 ? lg

100 ? lg 4 ? 2 ? 1 4
. 12 分

9分

=

3 13 ? 2 ? lg 4 ? lg 4 ? 3 ? 2 2

19. (本小题满分 12 分)

0 ? x ? 50 ?0.25 x ? (Ⅰ) y ? ?12.5 ? 0.35 ? ( x ? 50),50 ? x ? 100 ?30 ? 0.45 ? ( x ? 100), x ? 100 ?
(Ⅱ) 14.6 元 【解析】 试题分析:第一问根据题中的条件,结合题意,将函数值与自变量之间的关系找出来,注意

分类讨论思想的应用,注意分段函数的应用,第二问根据自变量所属的范围,带入相应的解 析式,从而求得对应的函数值. 试题解析: (Ⅰ) (1)若 0 ? x ? 50 ,则 y ? 0.25 x ; (2)若 50 ? x ? 100 ,则 y ? 12.5 ? ? x ? 50? ? 0.35 ; (3)若 x ? 100 ,则 y ? 30 ? 0.45 ? ? x ?100? . 所以,由(1) (2) (3)可知

0 ? x ? 50 ?0.25 x ? y ? ?12.5 ? 0.35 ? ( x ? 50),50 ? x ? 100 ?30 ? 0.45 ? ( x ? 100), x ? 100 ?
(Ⅱ)因为 50kg ? 56kg ? 100kg ,所以 y ? 12.5 ? 6 ? 0.35 ? 14.6 (元) . 考点:函数应用题,分类讨论的思想,分段函数的应用,已知自变量求函数值. 20. (本小题满分 12 分) (1)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,

f (? x) ? (? x) 2 ? 2(? x) ? 1 ? x 2 ? 2x ? 1
? f ( x) 是偶函数

? f ( x) ? f (? x) ? x 2 ? 2x ? 1

? f ( x) ?

? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0 ? 2 ?x ? 2 x ? 1, x ? 0

(如果通过图 象直接给对解析式得 2 分) (2)函数 f ( x) 的简图: (3)单调增区间为 ?? 1, 0? 和 ?1, ? ? ? 单调减区间为 ?? ?, ? 1? 和 ?0,1? 当 x ? 1 或 ? 1 时, f ( x) 有最小值-2

21. (本小题满分 12 分)

证:由题得

1? x ?0 1? x

?1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 0

?1 ? x ? 0 ? x ? -1 或? 化简得 ? ?1 ? x ? 0 ? x ?1

? x ? ?1 或? ? x ?1

得 -1 ? x ? 1 所以函数定义域为 ? x -1 ? x ? 1?

f ? ? x ? ? log a

1? x ? 1? x ? ? log a ? ? 1? x ? 1? x ?

-1

? 1? x ? = -log a ? ? = - f ? x? ? 1? x ?
所以 f ?x ? 为奇函数 (2) f ?x ? >0 即 log a

1? x ?0 1? x

由(1)得函数定义域为 x -1 ? x ? 1? 当 a ? 1时

?

log a
得?

1? x ? log a 1 1? x



1? x ?1 1? x

? 1? x ? 0 ?1 ? x ? 1 ? x

? 1? x ? 0 或? ?1 ? x ? 1 ? x

? x ?1 化简得 ? ?x ? 0 得 0 ? x ?1
当 0 ? a ? 1时

?x ?1 或? ?x ? 0

log a
得?

1? x 1? x ? log a 1 即 0 ? ?1 1? x 1? x

? -1 ? x ? 1 得 ?1 ? x ? 0 ? x ? 0或x ? 1

综上, a ? 1时 x 0 ? x ? 1?

?

0 ? a ? 1时 ? x ?1 ? x ? 0?
22. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:令 a ? 1, b ? 0 则

f (1) ? f (1 ? 0) ? f (1) f (0)

? f (1) ? 0 ? f (0) ? 1
(Ⅱ) 证明:当 x ? 0 时 -x>0

由 f ( x) f (? x) ? f ( x ? x) ? f (0) ? 1, f (? x) ? 0

得 f ( x) ? 0

? 对于任意实数x , f ( x) ? 0
设 x1 ? x2

则 x2 ? x1 ? 0

f ( x2 ? x1 ) ? 1

? f ( x2 ) ? f ( x1 ? ( x2 ? x1 )) ? f ( x1 ) f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 )
? 函数y ? f ( x)在(?? , ? ?)上是增函数。
(Ⅲ)解:?

1 f (0) ? ? f (?2 x ? 4) f (2 x ? 4) f (2 x ? 4) 1 ? f (?2 x ? 4) f (2 x ? 4)
2

? f ( x 2 ? x) ?

由(Ⅱ)可得: x ? x ? ?2 x ? 4 所以原不等式的解集是 (?4 , 1)

解得 ?4 ? x ? 1


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