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2017版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲 集合及其运算课件 理


第1讲

集合及其运算

最新考纲

1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;

2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;

3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并
集与交集;4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求 给定子

集的补集;5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关 系及运算.

知识梳理

1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特征:确定性、 互异性 、 无序性 . (2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种: 属于 (用符号 “∈”表示)和 不属于 (用符号“?”表示). (3)集合的表示法:列举法、 描述法 、图示法.

2.集合间的基本关系 表示 文字语言 集合A与集合B中的所有元素都相同 A中任意一个元素均为B中的元素 符号

关系
相等 集合 间的 子集

语言
A=B A?B

基本
关系 真子集

A中任意一个元素均为B中的元素,且
B中至少有一个元素不是A中的元素

A?B

空集

空集是任何集合的 子集 ,是任何非空集合的 真子集

3.集合的基本运算

集合的并集 符号
表示 A∪B

集合的交集
A∩B

集合的补集 若全集为U,则集
合A的补集为?UA

图形 表示

意义

{x|x∈A,或

{x|x∈A,且x∈B}

x∈B}

{x|x∈U,且x?A}

4.集合的运算性质 (1)并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;

A∪B=A? B?A .
(2)交集的性质:A∩? =?;A∩A=A;A∩B=B∩A; A∩B=A? A?B . (3)补集的性质:A∪(?UA)= U ;A∩(?UA)= ? ;?U(?UA) = A ;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},C={y|y=x2},则

A=B=C.( × )
(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( × ) (3)已知集合A={x|mx=1},B={1,2},且A?B,则实数 1 m=1或m= 2 .( ×) (4)含有n个元素的集合的子集个数是 2n ,真子集个数是 2n

-1,非空真子集的个数是2n-2.( √ )

2.(2015· 全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6, 8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( A.5 B.4 C.3 D.2 )

解析

由已知得A={2,5,8,11,14,17,?},又B=

{6,8,10,12,14},所以A∩B={8,14}.故选D. 答案 D

3.(2015· 浙江 卷 ) 已 知 集 合 P = {x|x2 - 2x≥0} , Q = {x|1 <

x≤2},则(?RP)∩Q=(
A.[0,1) 解析 B.(0,2]

)
C.(1,2) D.[1,2]

∵P = {x|x≥2 或 x≤0} , ? RP = {x|0 < x < 2} ,

∴(?RP)∩Q=(1,2). 答案 C

4.(2015· 九江二模)设集合 则 A∪B=(
? ?1 ? ? A. x?2≤x<1? ? ? ?

? ? ? ?2x+1 ? A= x? ? ? ? x-2

? ? ?, ≤0 B={x||x|<1}, ? ?

) B.{x|-1<x≤2}

C.{x|-1<x<2 且 x≠1}D.{x|-1<x<2}

解析

易得

? ? 1 ? A=?x?-2≤x<2?,B={x|-1<x<1}, ? ? ?

∴A∪B={x|-1<x<2}.

答案 D

5.( 北师大必修 1P15A6 改编 ) 已知集合 A = {x|3≤x < 7} , B =

{x|2<x<10},则(?RA)∩B=________.
解析 ∵?RA={x|x<3或x≥7} ,∴(?RA)∩B={x|2<x<3 或7≤x<10}. 答案 {x|2<x<3或7≤x<10}

考点一 集合的含义

【例1】 (1)若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+
y,x∈A,y∈B}中元素的个数为( A.5 B.4 C.3 D.2 )

(2)已知

? b ? a∈R,b∈R,若?a,a,1?={a2,a+b,0},则 ? ?

a2 017+b2 017=________.

解析

(1)因为 x∈A,y∈B,所以当 x=-1,y=0,2 时,z=x

+y=-1,1;当 x=1,y=0,2 时,z=x+y=1,3,所以集合 {z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},共 3 个元素,选 C. b (2)由已知得a=0 及 a≠0,所以 b=0,于是 a2=1,即 a=1 或 a=-1,又根据集合中元素的互异性可知 a=1 应舍去,因此 a=-1,故 a2 017+b2 017=-1.

答案 (1)C

(2)-1

规律方法

(1) 用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代

表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型, 是数集、点集还是其他类型集合. (2) 集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大,

特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验
集合中的元素是否满足互异性.

【训练1】 (1)(2016· 西安调研) 已知集合A={x∈N|x2+ 2x -
3≤0},B={C|C?A},则集合B中元素的个数为( A.2 B.3 C.4 D.5 )

(2) 已知集合 A = {m + 2 , 2m2 + m} ,若 3∈A ,则 m 的值为 ________.

解析

(1)A={x∈N|(x+3)(x-1)≤0}={x∈N|-3≤x≤1}={0,

1},共有 22=4 个子集,因此集合 B 中元素的个数为 4,选 C. 3 (2)由题意得 m+2=3 或 2m +m=3,则 m=1 或 m=-2,当 m=1 时,m+2=3 且 2m2+m=3,根据集合中元素的互异性 3 1 可知不满足题意;当 m=-2时,m+2=2,而 2m2+m=3, 3 故 m=-2.
2

答案

(1)C

3 (2)- 2

考点二 集合间的基本关系

【例2】 (1)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则
( ) B.B?A C.A=B D.A∩B=? A.A?B

(2)(2016· 蚌埠一模 ) 已知集合 A = {x|x2 - 3x - 10≤0} , B = {x|m + 1≤x≤2m-1},若A∪B=A,则实数m的取值范围为________.

解析

(1)由题意知 A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},

则 B?A,故选 B. (2)A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}, 因为 A∪B=A,所以 B?A.当 B=?时,m+1>2m-1, 则 m<2;当 B≠?时,根据题意作出如图所示的数轴,可得 ?2m-1≥m+1, ? ?m+1≥-2, 解得 2≤m≤3. ?2m-1≤5, ? 综上可得,实数 m 的取值范围是(-∞,3].

答案 (1)B (2)(-∞,3]

规律方法

(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,

必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解 .(2) 已知两个集

合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点
间的关系,进而转化为参数所满足的关系 .常用数轴、 Venn 图来直观解决这类问题.

【 训练 2 】 (1) 已知集合 A = {x|log2x ≤ 2} , B = {x|x < a} ,若

A?B,则实数a的取值范围是__________.
(2) 已知集合 A = {x|1≤x < 5} , C = {x| - a < x≤a + 3}. 若 A∩C=C,则a的取值范围是________. 解析 (1)由log2x≤2,得0<x≤4, 即A={x|0<x≤4},而B={x|x<a},

由于A?B,如图所示,则a>4.

(2)由 C∩A=C,得 C?A. 3 当 C=?时,-a≥a+3,得 a≤-2;

当 C≠?时,根据题意作出如图所示的数轴, ?-a<a+3, ? 3 - a ≥ 1 , ? 可得 解得- <a≤-1. 2 ?a+3<5, ? 综上,a 的取值范围为(-∞,-1].

答案 (1)(4,+∞) (2)(-∞,-1]

考点三 集合的基本运算
【例3】 (1)(2015· 天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5,6, 7 , 8} ,集合 A = {2 , 3 , 5 , 6} ,集合 B = {1 , 3 , 4 , 6 , 7},则集合A∩(?UB)=( A.{2,5} C.{2,5,6} ) B.{3,6} D.{2,3,5,6,8}

(2)(2016· 九江一模)若集合A={x|1≤3x≤81},B={x|log2(x2

-x)>1},则A∩B=(
A.(2,4] C.(-∞,0)∪(0,4]

)
B.[2,4] D.(-∞,-1)∪[0,4]

(3)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x
+m=0},若(?UA)∩B=?,则m=__________. 解析 (1) 由已知得 ?UB = {2 , 5 , 8} ,则 A∩(?UB) = {2 , 5} ,

故选A.
(2)因为A={x|1≤3x≤81}={x|30≤3x≤34}={x|0≤x≤4}, B = {x|log2(x2 - x) > 1} = {x|x2 - x > 2} = {x|x <- 1 或 x > 2} , 所以A∩B={x|0≤x≤4}∩{x|x<-1或x>2}={x|2<x≤4}= (2,4].

(3)A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得B?A,

∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式
Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠?. ∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}. ①若B={-1},则m=1; ②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4, 且m=(-2)· (-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2}; ③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,

且m=(-1)· (-2)=2,由这两式得m=2.
经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或2. 答案 (1)A (2)A (3)1或2

规律方法

(1) 一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用

Venn 图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表 示,此时要注意端点的情况 .(2)已知集合的运算结果求参数, 要注意分类讨论思想的灵活应用.

【训练 3】(1)设全集 U 是实数集 R, 集合 M={x|x2>2x}, N={x|log2(x-1)≤0},则(?UM)∩N 为( A.{x|1<x<2} C.{x|1<x≤2} B.{x|1≤x≤2} D.{x|1≤x<2} )

(2)设集合 M={x|-1≤x<2}, N={y|y<a}, 若 M∩N≠ ?,则实数 a 的取值范围一定是( A.[-1,2) C.[-1,+∞) B.(-∞,2] D.(-1,+∞) )

解析 (1)∵x2>2x,∴x>2或x<0, ∴M={x|x<0或x>2}.∵log2(x-1)≤0, ∵ 0 < x - 1≤1 , ∴ 1 < x≤2 , ∴ N = {x|1 < x≤2} , ∴(?UM)∩N={x|1<x≤2}. (2)∵M = {x| - 1≤x < 2} , N = {y|y < a} ,且 M∩N≠ ? ,如图

只要a>-1即可.

答案 (1)C (2)D

[思想方法]
1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素 的互异性能顺利找到解题的切入点;另一方面,在解答完毕 时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确. 2. 求集合的子集 ( 真子集 ) 个数问题,需要注意的是:首先,过

好转化关,即把图形语言转化为符号语言;其次,当集合的
元素个数较少时,常利用枚举法解决,枚举法不失为求集合 的子集(真子集)个数的好方法,使用时应做到不重不漏.

[易错防范]
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性 (是数集、点集还 是其他类型集合),要对集合进行化简. 2.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的 常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还

是空心.
3. 空集不含任何元素,但它是存在的,在利用 A?B 解题时, 若不明确集合A是否为空集时应对集合A的情况进行分类 讨论.


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