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2012年江苏各地高考数学模考试题汇编第5部分 圆锥曲线 苏教版


圆锥曲线
(2012 年栟茶高级中学高三阶段考试)以知 F 是双曲线 是双曲线右支上的动点,则 PF ? PA 的最小值为 答案: 9 ▲

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, (1, 4), P A 4 12
.

x y (南师附中最后 1 卷)已知 F 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,B1B2 是双 a b → → 曲线的虚轴,M 是 OB1 的中点,过 F、M 的直线交双曲线 C 于 A,且FM=2MA,则双曲线 C 离 心率是______________. 5 答案: 2 (江苏最后 1 卷)7.已知双曲线

2

2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点到一条渐近线的距离等于实 a 2 b2
▲ .

轴长,那么该双曲线的离心率为 【答案】 5 (苏锡常二模) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A , 上顶点为 B , 右焦点为 F . a 2 b2
2

设 线 段 AB 的 中 点 为 M , 若 2MA ? MF ? BF ? 0 , 则 该 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 为 .

答案: (0, 3 ?1)

3 x2 y2 ? ? 1(m ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x ,则 m 的值 (苏锡常二模)已知双曲线 m 3 2
为 答案:4 .

(南京二模)已知双曲线 率 e=_______

x2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心 a2

1

答案:

5 2

x2 y 2 ? ? 1 有公共的渐近线,且经过点 A(?3, 2 3) 的双曲线方程是 (苏州调研)与双曲线 9 16
__________.

答案:

4 2 y2 x ? ?1 9 4


(南通一模)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 y 2 ? x2 ? 1 的离心率为 答案: 2

2 ( 南 通 二 模 ) 若 抛 物 线 y ? 2 px( p ? 0) 上 的 点 A(2, m) 到 焦 点 的 距 离 为 6 , 则 p ?



.

解析:考查抛物线的定义。 可知:抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的点 ?x0 , y0 ? 到焦点的距离 为 x0 ? 答案:8 (2012 年常州)已知双曲线 为 答案: 3 3 。

p 2

? x2 y 2 ? 2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线的倾斜角为 ,则 b 的值 3 9 b

(常州期末)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A, a 2 b2


上顶点为 B, 为线段 AB 的中点, ?MOA ? 30 , M 若 则该椭圆的离心率的值为
o

答案:

6 3
x2 y2 ? ? 1 的左,右焦点的距离之比为 2 : 3 ,则点 M 16 9

(苏锡常一模)已知点 M 与双曲线 的轨迹方程为 .

2

答案: x2 ? y 2 ? 26x ? 25 ? 0

(天一) 14.在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y =2x 的焦点为 F. 设 M 是抛物线上的动点, 则

2

MO 的最大值为 ▲ . MF
2 3 . 3

答案:

x2 y 2 (天一)6.已知 B 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左准线与 x 轴的交点, a b ??? ? ??? ? 点 A(0, b) ,若满足 AP ? 2 AB 的点 P 在双曲线上,则该双曲线 的离心率为 ▲ .
答案: 2

15.(南通期末)设 F 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,双曲线两条渐近线分别为 l1 ,l 2 ,过 a2 b2

F 作直线 l1 的垂线, 分别交 l1 ,l 2 于 A、B 两点。 OA, AB, OB 成等差数列, 若 且向量 BF
与 FA 同向,则双曲线离心率 e 的大小为___________. 解析:本题考查双曲线的几何性质,等差数列的概念,基本运算能力,数型结合思想等.

设 OA=m - d , AB=m , OB=m+d,由勾股定理,得 2 2 2 (m - d) +m =(m+d) .解得 m=4d. 设 ∠ AOF=α , 则
3

cos2α =

OA 3 ? OB 5

. cosα =

1 ? cos 2? 2 ? 2 5



所以,离心率 e=
为椭圆

1 5 ? cos ? 2



16.(南通一模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F1 , F2 分别

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,B,C 分别为椭圆 a 2 b2 的 上 、 下 顶 点 , 直 线 BF2 与 椭 圆 的 另 一 个 交 点 为 D , 若 7 ,则直线 CD 的斜率为 . cos ?F1 BF2 ? 25
【答案】 12 25 解法一:由 cos ?F1 BF2 ?

4 b 4 7 得 cos ?OBF2 ? ? ,进一步求得直线 BD 的斜率为 ? , 5 a 3 25

4 ? 9 ( y ? b) 2 ?y ? ? 3 x ?b b2 ? y 2 b? y 9 ? ? 16 2 ? ? ? 由? 2 , 2 2 a b b ? y 25 ? x ? y ?1 ? a 2 b2 ? y ?b y ?b 9 4 12 ∴直线 CD 的斜率为 。 ? ? ? ? 3 x 25 3 25 ? ( y ? b) 4
2 解 法 二 : 由 cos ?F1 BF2 ? 7 得 e ? 3 , 因 为 ? b 2 ? kBD ? kCD ? ? b ? kCD , 所 以 kCD ? bc , 25 5 c a2 a 故 kCD ? bc ? 12 . a 2 25 说明:解法一中,在明确条件和目标的过程中,发现能整体代换是简化运算的关键,否则计

算量较大;解法二中,要注意体会椭圆中“ kBD ? kCD ? ? b 2 ”这一重要结论. a 17.(南师大信息卷)已知点 P 是双曲线

2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支 a 2 b2

上一点, F 、 F2 分别是双曲线的左、右焦点. I 为 ?PF F2 内心,若 1 1

S ?IPF1 ? S ? IPF2 ?

1 S ? IF1 F2 ,则双曲线的离心率为 2 . 2

4

提示:

1 PF1 ? PF2 ? .2c ? c 2

,

? 2 a ? c, ? e ?

c ?2 a

.

18.(南京二模)如图,在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 以原点为圆心, 椭 2 2 a b
圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1),Q(0,2),设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对 称的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T。求证:点 T 在椭 圆 C 上。

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意知 b= 2 = 2. 2 3 b ,所以 = 2 a ?????????? 3 分

因为离心率 e= = 所以 a=2 2.

c a

c 2 1 1-( ) = . a 2

所以椭圆 C 的方程为 + =1. 8 2

x2 y2

?????????? 6 分

(2)证明:由题意可设 M,N 的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则 直线 PM 的方程为 y= 直线 QN 的方程为 y=

y0-1 x+1, x0 y0-2 x+2. -x0

① ② ?????????? 8 分

x0 3y0-4 x0 3y0-4 证法一 联立①②解得 x= ,y= ,即 T( , ).??? 11 分 2y0-3 2y0-3 2y0-3 2y0-3


x02 y02
8 + 2

=1 可得 x0 =8-4y0 .
2 2

2

2

1 x0 1 3y0-4 2 x0 +4(3y0-4) 2 因为 ( )+ ( )= 2 8 2y0-3 2 2y0-3 8(2y0-3)
2

8-4y0 +4(3y0-4) 32y0 -96y0+72 8(2y0-3) = = = 2 2 2=1, 8(2y0-3) 8(2y0-3) 8(2y0-3)

2

2

2

5

所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上.??????? 14 分 证法二 设 T(x,y).

x 3y-4 联立①②解得 x0= ,y0= . 2y-3 2y-3
因为

????????? 11 分

x02 y02
8 +
2

2

1 x 1 3y-4 2 2 =1,所以 ( )+ ( ) =1. 8 2y-3 2 2y-3
2 2 2

x (3y-4) x 9y 2 2 整理得 + =(2y-3) ,所以 + -12y+8=4y -12y+9, 8 2 8 2
即 + =1. 8 2 所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上.??????? 14 分

x2 y2

(盐城二模)已知椭圆

x2 y 2 2 1 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 且过点 P( , ), 2 a b 2 2 2

记椭圆的左顶点为 A . (1) 求椭圆的方程; (2) 设垂直于 y 轴的直线 l 交椭圆于 B, C 两点, 试求 ?ABC 面积的最大值; (3) 过点 A 作两条斜率分别为 k1 , k2 的直线交椭圆于 D, E 两点, 且 k1k2 ? 2 , 求证: 直线 DE 恒过一个定点. y P · A ? c ? 2 ? ? ? a ?1 2 ? a ? 2 1 ? ? 1 18. 解:(1)由 ? 2 ? 2 ? 1 ,解得 ?b ? ,所以椭圆 C 的方 2 2a 4b ? ? 2 ? ? a ? b2 ? c2 2 ?c ? ? ? 2 ? 2 2 程为 x ? 2 y ? 1 ?????????4 分 B(m, n) C (?m, n) (2) 设 , 1 S?ABC ? ? 2 | m | ? | n |?| m | ? | n | ???????????????6 分 2 2 又 1 ? m2 ? 2n2 ? 2 2m2 n2 ? 2 2 | m | ? | n | , 所以 | m | ? | n |? , 4 当 且 仅 当 时 | m |? 2 | n | 号????????????????????????????8 分 从 而 O x

第 18 题

,







S?ABC ?

2 4

,



?ABC















6

2 ???????????????????? 9 分 4 (3)因为 A(-1,0),所以 AB : y ? k1 ( x ? 1), AC : y ? k2 ( x ? 1) ,
由 ?

? y ? k1 ( x ? 1) , 消 去 y, 得 (1 ? 2k12 ) x2 ? 4k12 x ? 2k12 ?1 ? 0 , 解 得 x= - 1 或 2 2 ?x ? 2y ?1 1 ? 2k12 , 1 ? 2k12
同理,有 C (

x?

1 ? 2k12 2k1 , ) ?????11 分 1 ? 2k12 1 ? 2k12 而 k1k2 ? 2 ,
∴点 B( ∴

1 ? 2k22 2k2 , ), 1 ? 2k22 1 ? 2k22

k12 ? 8 4k1 ∴ 直 线 , ) ? 12 分 8 ? k12 8 ? k12 4k1 2k1 ? 2 2k1 8? k 1 ? 2k12 1 ? 2k12 y? ? 2 1 ? (x ? ), 1 ? 2k12 k1 ? 8 1 ? 2k12 1 ? 2k12 ? 8 ? k12 1 ? 2k12 C(

BC









2k1 3k1 1 ? 2k12 , 即 y? ? ? (x ? ) 1 ? 2k12 2(k12 ? 2) 1 ? 2k12 3k1 5k1 ?????????14 分 y? x? 2 2(k1 ? 2) 2(k12 ? 2) ? y?0 所 以 2 yk12 ? (3x ? 5) k1 ? y ? 0 , 则 由 ? , 得 直 线 BC 恒 过 定 点 ?3x ? 5? 0


5 (? , 0) ???????16 分 3
(注: 第(3)小题也可采用设而不求的做法,即设 D( x1, y1 ), E( x2 , y2 ) ,然后代入找关系)

20.(南京三模)在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A(-2,-1)椭圆 C : 的左焦点为 F,短轴端点为 B1 、 B2 , FB1 ? FB2 ? 2b2 。 (1)求 a 、 b 的值;

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

???? ???? ?

(2)过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一交点为 Q,与 y 轴的交点为 R.过原点 O 且平行于 l 的 直线与椭圆的一个交点为 P.若 AQ ? AR=3 OP ,求直线 l 的方程。
2

7

(百校联考) 已知中心在原点 O 、 焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 M (2,1) , 离心率为 图,平行于 OM 的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 A, B . (1)当直线 l 经过椭圆 C 的左焦点时,求直线 l 的方程; (2)证明:直线 MA, MB 与 x 轴总围成等腰三角形.

3 . 如 2

解: (1)根据 e ?

x2 y2 c 3 ? ,可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , 4b b a 2

将 M (2,1) 代入可得 b2 ? 2 ,

8

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 8 2

因此左焦点为 (? 6,0) ,斜率 kl ? kOM ?

1 2
1 6 x? 2 2

所以直线 l 的方程为 y ? ( x ? 6) ,即 y ?

1 2

(2) 设直线 MA, MB 的斜率分别为 k1 , k2 ,A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , k1 ? 则

y1 ? 1 y ?1 ,k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

k1 ? k2 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
? x1 x2 ? (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
(*)

1 ? ?y ? 2 x ? m 1 ? 设 l : y ? x ? m ,由 ? 2 ,得 x 2 ? 2mx ? 2m2 ? 4 ? 0 2 2 ? x ? y ?1 ?8 2 ?
所以, x1 ? x2 ? ?2m , x1 x2 ? 2m2 ? 4 代入(*)式,得

k1 ? k2 ?

2m2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

?

?0
所以直线 MA, MB 与 x 轴总围成等腰三角形.

(南师大信息卷)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1, 6 2

(1)求以双曲线的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆 E 的方程. (2)点 P 在椭圆 E 上,点 C(2,1)关于坐标原点的对称点为 D,直线 CP 和 DP 的斜率都存在

9

且不为 0,试问直线 CP 和 DP 的斜率之积是否为定值?若是,求此定值;若不是,请说明理 由. (3)平行于 CD 的直线 l 交椭圆 E 于 M、 两点, ?CMN 面积的最大值, N 求 并求此时直线 l 的方程.

( 解: 1)设椭圆E方程为

x2 y 2 ? 2 ? 1, a ? b ? 0, 则a 2 ? 6 ? 2 ? 8,c2 ? 6. 2 a b

? 椭圆E方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 2

(2)依题意得 D 点的坐标为(-2,-1) ,且 D 点在椭圆 E 上,直线 CP 和 DP 的斜率 KCP 和

KDP 均存在,设 P(x,y),

则KCP ?

y ?1 y ?1 y ?1 y ?1 y2 ?1 , K DP ? ,? KCP ? K DP ? ? ? . x?2 x?2 x ? 2 x ? 2 x2 ? 4

又?点P在椭圆E上, x 2 ? 8 ? 4 y 2,KCP ? K DP ? ?
1 ? 直线CP和DP的斜率之积为定值 ? . 4 1 (3)? 直线 CD 的斜率为 ,CD 平行于直线 l , 2 1 ? 设直线 l 的方程为 y ? x ? t , 2

y2 ?1 1 ?? . 2 x ?4 4

1 ? ?y ? 2 x ? t ? 由? 2 , 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?
消去 y ,整理得 x ? 2tx ? 2t ? 4 ? 0 ,
2 2

? x1, 2 ?

? 2t ? 16 ? 4t 2 2 (t ? 4) , 2

? MN ?

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2

1 ? 1 ? ( ) 2 ? x1 ? x2 2

10

? 5 ? 4 ? t 2 (?2 ? t ? 2) .
点 C 到直线 MN 的距离为 d ?

t 1 ?1 4

?

2t 5

,

? S ?CMN ?

2t 1 1 MN ? d ? ? 5 ? 4 ? t 2 ? ? t ? 4?t2 2 2 5
4 ? 2. 2

? t 2 (4 ? t 2 ) ?
2 2 2

当且仅当 t ? 4 ? t ,即t ? 2时取等号,

?CMN 面积得最大值为 2,此时直线 l的方程为 y ?

1 x ? 2. 2

23.(南通三模)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F1 (2,0) ,离心率为 e 。 a 2 b2

(1)若 e ?

2 ,求椭圆的方程; 2

(2)设 A、B 为椭圆上关于原点对称的两点, AF1 的中点为 M, BF1 的中点为 N,若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上。 ①证明点 A 在定圆上; ②设直线 AB 的斜率为 k ,若 k ≥ 3 ,求 e 的取值范围。 分析: (2)①证明点 A 在定圆上,本质是证明 OM ? ON 可设点 A 的坐标,用点的坐标表 示 OM ? ON 的位置关系,从而得出结论;

? ? y 0 ? kx0 ? 2 1 k2 1 ? 2 2 ②由 ? x0 ? y 0 ? 4 推出 2 ? 2 ? (1 ? k ) , 也可由前两个方程解出 x0 , y0 后代入第三个 4 a b ? 2 2 ? x0 ? y 0 ? 1 ?a2 b2 ?
方程得到。 解: (1)由 e ? 所
2 ,c=2,得 a= 2 2 ,b=2. 2













11

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????????4 分 8 4
(2)设 A( x0,y0 ) ,则 B(? x0,- y0 ) , 故
? x ? 2 y0 ? M? 0 , ? 2 ? ? 2



y ? ? 2 ? x0 N? , 0 ? .??????????????????6 分 ? 2 ? ? 2 uuur uuu r ① 由题意,得 OM ? ON ? 0 .

化简, x02 ? y02 ? 4 , 得 所以点 A 在以原点为圆心, 为半径的圆上. ???? 2 8分
? y0 ? kx0 2 ? x0 2 k 2x0 ? 2 y0 2 1 k2 1 ? x0 ? 2 ? 2 ?1 设 A( x0,y0 ) , ? 2 ? 2 ? 1 ? ? a 则 ? 2 ? 2 ? (1 ? k 2 ) . b b a b 4 ? x2 ? k 2 x2 ? 4 ?a 2 2 0 ? 0 ? x0 ? y0 ? 4 ?



将 e ? c ? 2 , b2 ? a 2 ? c 2 ?
a a
k 2 (2e2 ? 1) ? e4 ? 2e2 ? 1 .

4 ? 4 ,代入上式整理,得 e2

?????????????

?????????10 分 因为 e
e? 2 2
4

? 2e2 ? 1 ? 0 ,k

2

>0,所以

2e2 ? 1 ? 0 ,

.??????????12 分
k2 ?
2 ? 4 e4 ? 2e2 ? 1 ?e ? 8e ? 4 ≥ 0, ≥3 .化简,得 ? 2 2e2 ? 1 ?2e ? 1 ? 0. ?

所以

解之,得 1 < e2 ≤ 4 ? 2 3 ,
2

2 < e ≤ 3 ?1 . 2


? 2 ? ? ,3 ? 1? . ? 2 ? ?



















??????????????????14 分

(说明:不讨论 2e2 ? 1 ? 0 ,得 0 ? e ≤ 3 ? 1 的扣 2 分)

12

(苏锡常一模)如图,已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1的上顶点为 A ,直线 y ? ?4 交椭圆 E 于点 100 25

B , C (点 B 在点 C 的左侧) ,点 P 在椭圆 E 上.
(1)若点 P 的坐标为 (6,4) ,求四边形 ABCP 的面积; (2)若四边形 ABCP 为梯形,求点 P 的坐标; (3)若 BP ? m ? BA ? n ? BC ( m , n 为实数) ,求 m? n 的最大值.

13

14


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