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3 .2 .2 函数模型的应用实例(第二课时)


3 .2 .2 函数模型的应用实例(第二课时)

教学目标
知识目标: 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问 题. 能力目标: 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问 题. 情感目标:体会用数学的方法来解决实际问题,明确数学的应用性,增 强学好数学的信心. 教学重点难点 重 点:利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题. 难 点: 将实际问题转化为数学模型, 并对给定的函数模型进行简单的 分析评价. 课堂教与学互动设计 [创设情景,引入新课] 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的, 但需我们利 用问题中的数据及其蕴含的关系来建立. 对于已给定数学模型的问题, 我们要对所确定的数学模型进行分析评价, 验证数学模型的与所提供的 数据的吻合程度. [师生互动,探究新知] 例1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.

一方面巩 固上节课 所学知识, 另一方面 培养学生 对信息、图 象的处理 能力.根据 图象,写出 分段函数, 并画出相 应图象.

1、写出速度 v 关于时间 t 的函数解析式; 2、求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; 3、 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km, 试 建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s 与时间 t 的函数解析式,并 作出相应的图象. 分析:理解条形图的意义,并根据图形写出相应的函数关系式.

1

?50(0 ? t ? 1) ?80(1 ? t ? 2) ? ? 解: (1) v ? ?90( 2 ? t ? 3) ?75(3 ? t ? 4) ? ? ?65( 4 ? t ? 5) (2)阴影部分面积为 50 ? 1 ? 80 ? 1 ? 90 ? 1 ? 75 ? 1 ? 65 ? 1 ? 360 .
阴影部分面积表示汽车在5小时内行驶的路程为360km. (3)根据图3.2-7,有

, (0 ? t ? 1) ?50t ? 2004 ?80(t ? 1) ? 2054 , (1 ? t ? 2) ? ? s ? ?90(t ? 2) ? 2134 , (2 ? t ? 3) ?75(t ? 3) ? 2224 , (3 ? t ? 4) ? ? , (4 ? t ? 5) ?65(t ? 4) ? 2299
图象如下:

点评: 本例所涉及的数学模型是确定的, 需要利用问题中的数据及其蕴 含的关系建立数学模型,此例是分段函数模型刻画实际问题.分段函数 是刻画现实问题的重要模型.关键是分段函数的书写与画图. 例 2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的 变化规律, 可以为有效控制人口增长提供依据. 早在 1798, 英国经济家 马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型:

y ? y0ert
其中 t 表示经过的时间, y0 表示 t ? 0 时的人口数, r 表示人口的年均 增长率.

2

下表是 1950~1959 年我国的人口数据资料: (单位:万人) 年份 人数 年份 人数 1950 55196 1955 61456 1951 56300 1956 62828 1952 57482 1957 64563 1953 58796 1958 65994 1954 60266 1959 67207 本 型 给 数 型 例 是 定 函 的 利 的 数 题 用 指 模

1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长 率(精确到 0.0001) ,用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的 具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符; 2)如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的人口将达到 13 亿? 探索以下问题: 1、本例中所涉及的数量有哪些? 2、描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的,确定这种 模型需要几个因素? 3、根据表中数据如何确定函数模型? 4、对于所确定的函数模型怎样进行检验,根据检验结果对函数模 型又应做出如何评价? 5、如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数,用 的是何种计算方法? 分析: 根据已知的数据, 确定函数模型, 再应用此模型来解决实际问题. 解: (1)设 1951~1959 年的人口增长率分别为 r1 , r2 ,?r9 ,由

y ? y0ert
解决实际 问题的一 类问题,由 于数据计 算比较繁, 要用到计 算器或计 算机,提高 学生这方 面的能力。

55196 (1 ? r1 ) ? 56300 . 可得 1951 年人口增长率 r1 ? 0.0200.同理可
得: r2 ? 0.0210 . r3 ? 0.0229, r4 ? 0.0250, r5 ? 0.0197, 于是, 1951~ r6 ? 0.0223,r7 ? 0.0276,r8 ? 0.0222,r9 ? 0.0184. 1959 年 期 间 , 我 国 人 口 的 年 平 均 增 长 率 为

r ? (r1 ? r2 ? ? ? r9 ) ? 9 ? 0.0221.令 y0 ? 55196,则我国在
1950~1959 年期间的人口增长率模型为 y ? 55196 e
0.0221t

,t ? N .

根据表中的数据作出散点图,并作出函数 y ? 55196 e 0.0221t , t ? N 的 图象.

3

由图可看出,所得模型与 1950~1959 年的实际人口数据基本吻合. (2) 将y=130000 代入,y ? 55196 由计算器可得 t ? 38.76 . e 0.0221t 。 所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在 1950 年后的第 39 年(即 1989 年)我国的人口就已达到 13 亿. 点评:根据收集到的数据,作出散点图,然后通过观察图象判断问题所 适用的函数模型, 利用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数 解析式, 再用得到的函数模型解决相应的问题, 这是函数应用的一个具 体过程.应注意的是,用已知的函数模型刻画实际问题时,由于实际问 题的条件与得出已知模型的条件会有所不同, 因此往往需要对模型进行 修正. [随堂练习] 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 1 万件, 1.2 万件,1.3 万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产品数 量为依据用一个函数模拟该产品的月产量 t 与月份的 x 关系,模拟函数 可以选用二次函数或函数 y ? abx ? c(其中a, b, c为常数) .已知 4 月份 该产品的产量为 1.37 万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好, 并说明理由. 探索以下问题: 1.本例给出两种函数模型,如何根据已知数据确定它们? 2.如何对所确定的函数模型进行评价? 解:设二次函数为 y1 ? f ( x) ? px2 ? qx ? r , y2 ? g ( x) ? abx ? c , 利 用 指数函数 模型对人 口增长情 况的预测, 实质上是 通过求一 个对数值 来确定 t 的 近似值. 本 题 是不同函 数的比较 问题,要引 导学生利 用待定系 数法确定 具体的函 数模型 . 引 导学生认 识到比较 函数模型 优劣的标 准是 4 月份 产量的吻 合程度,这 也是对函 数模型评 价的依据.

?ab ? c ? 1 ?p ? q ? r ?1 ? p ? ?0.05 ? ? ? 2 则 ?4 p ? 2q ? r ? 1.2 , ?ab ? c ? 1.2 得到: ?q ? 0.35 ?9 p ? 3q ? r ? 1.3 ? 3 ? r ? 0 .7 ? ? ?ab ? c ? 1.3
? a ? ? 0 .8 ? 所以 y1 ? ?0.05x 2 ? 0.35x ? 0.7 ,y2 ? ?0.8 ? 0.5 x ? 1.4 ?b ? 0.5 , ?c ? 1.4 ?
? f (4) ? 1.3, g (4) ? 1.35,g (4) 接近于 1.37,故选 y2 ? ?0.8 ? 0.5 x ? 1.4
作为模拟函数较好. [课时小结] 利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法; 1 .根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关 系; 2.利用待定系数法,确定具体函数模型; 3.对所确定的函数模型进行适当的评价; 4.根据实际问题对模型进行适当的修正.

4

课外同步训练 [轻松过关] 1. 按复利计算,若存入银行 5 万元,年利率 2%,3 年后支取,则可得利息 (单位:万元) ( C ) A. 5(1+0.02)
3 3

B. 5(1+0.02) C. 5(1+0.02)

2

C. 5(1+0.02) -5

2

-5
1 ,现价为 6000 2

2. 计算机成本不断降低,若每隔 4 年计算机价格就降低 元的计算机,则 6 年后的价格为 A. 2100 元 B. 2250 元 C. 2500 元 D. 2000 元

( A )

3.已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y=a· (0.5)x+b,现已知该厂今年 1 月、2 月生产该产品分别为 1 万件、 1 . 5 万件.则此厂 3 月份该产品的产量为 ___1 . 75 万件 ____________. 4.某工厂 1992 年底某种产品年产量为 a,若该产品的年平均增长率 为 x,2000 年底该厂这种产品的年产量为 y,那么 y 与 x 的函数关系式 8 是__ y=a(1+x) _____. 5.一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b%, 则 n 年后这批设备的价值为 ( D ) A. na(1-b%) B.a(1-nb%) C. a 1 ? (b%)

?

n

?

D.a(1-b%)

n

6.在本市投寄平信,每封信不超过 20 克付邮资 0.8 元, 超过 20 克但 不超过 40 克付 1.6 元,依此类推,每增加 20 克增加 0.8 元(信的质量在 100 克以内),某人所寄一封信 72.5 克,则应付邮资 A.2.4 [适度拓展] 7.算机成本不断降低,如每隔 3 年价格降低 B.2.8 C.3 D 元.

D.3.2

1 ,现在价格是 8100 元 3
D.3600 元

的计算机 9 年后的价格为( A ) A.2400 元 B.900 元 C.300 元

8.A、B 两地相距 150 公里,某人以 60 公里时速开车从 A 往 B,在 B 停留 1 小时后再以 50 公里时速返回 A,则汽车离开 A 地的距离 x 与 时间 t 的函数关系式为( B A. x ? 60t )

?150 ? 50(t ? 3.5)(3.5 ? t ? 6.5) ? B. x ? ?150(2.5 ? t ? 3.5) ?60t (0 ? t ? 2.5) ?
5

C. x ? ?

?150 ? 50(t ? 3.5)(6.5 ? t ? 3.5) ?150(2.5 ? t ? 3.5)

D.

x?60 t? 50

9.某产品生产件数 x 与成本 y (万元)之间有函数关系为

y ? 3000? 20x ? 0.1x 2 ,若每件产品成本平均不超过 25 万元,且每
件产品用料 6 吨,现有库存原料 30 吨,旺季可进料 900 吨,则旺季的 最高产量为 155 件 [综合提高] 10.光线每通过一块玻璃,强度损失 10%,要使光线强度减弱到原 来的三分之一以下, 至少需要重叠这样的玻璃 (取 lg3=0. 4771) ( D ) A.8 块 B.9 块 C.10 块 D.11 块 .

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