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33利用均值不等式求最值的方法


利用均值不等式求最值的方法
均值不等式

a +b ≥ ab (a > 0,b > 0, 当且仅当 a=b 时等号成立) 是一个重要的不 2

等式,利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目,可以直接利用公式求解。但是有些题 目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。

一、配凑 1. 凑系数 例 1. 当 0 < x < 4 时,求 y = x (8 ? 2 x ) 的最大值。 解析:由 0 < x < 4 知, 8 ? 2 x > 0 ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定 值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到 2 x + (8 ? 2 x ) = 8 为定值,故只需 将 y = x (8 ? 2 x ) 凑上一个系数即可。

1 1 2x + 8 ? 2x 2 y = x (8 ? 2 x ) = [2 x· (8 ? 2 x )] ≤ ( ) =8 2 2 2
当且仅当 2 x = 8 ? 2 x ,即 x=2 时取等号。 所以当 x=2 时, y = x (8 ? 2 x ) 的最大值为 8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均 值不等式求最大值。

2. 凑项 例 2. 已知 x <

5 1 ,求函数 f ( x ) = 4 x ? 2 + 的最大值。 4 4x ? 5 1 不是定值,故需 4x ? 5

解析:由题意知 4 x ? 5 < 0 ,首先要调整符号,又 (4 x ? 2) · 对 4 x ? 2 进行凑项才能得到定值。 ∵x <

5 ,5 ? 4 x > 0 4 1 1 = ? (5 ? 4 x + )+3 4x ? 5 5 ? 4x

∴ f ( x) = 4 x ? 2 +

≤ ?2 (5 ? 4 x ) ·
当且仅当 5 ? 4 x =

1 + 3 = ?2 + 3 = 1 5 ? 4x
1 ,即 x = 1 时等号成立。 5 ? 4x

评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。

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3. 分离

x 2 + 7 x + 10 ( x≠ ? 1) 的值域。 例 3. 求 y = x +1
解析:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其 分离。

x 2 + 7 x + 10 ( x + 1) 2 + 5( x + 1) + 4 4 y= = = ( x + 1) + +5 x +1 x +1 x +1
当 x + 1 > 0 ,即 x > ?1 时

y ≥ 2 ( x + 1)·

4 + 5 = 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号) 。 x +1

当 x + 1 < 0 ,即 x < ?1 时

y ≤ 5 ? 2 ( x + 1)·
∴y=

4 = 1 (当且仅当 x=-3 时取“=”号) 。 x +1

x 2 + 7 x + 10 ( x≠-1) 的值域为 ( ?∞,1] U[9 , + ∞) 。 x +1 A + B( A > 0,m > 0) ,g(x)恒正 g( x)

评注:分式函数求最值,通常化成 y = mg ( x ) + 或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。

二、整体代换 例 4. 已知 a > 0,b > 0,a + 2b = 1 ,求 t = 解法 1:不妨将

1 1 + 的最小值。 a b

1 1 + 乘以 1,而 1 用 a+2b 代换。 a b

1 1 1 1 ( + ) ·1 = ( + ) · (a + 2b) a b a b

2b a + +2 a b 2b a = 3+ + a b 2b a ≥ 3+ 2 · a b = 1+ = 3+ 2 2

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?a = 2 ? 1 ? 2b a 2b a ? = ? 当且仅当 = 时取等号,由 ? a b ,得 ? 2 a b ?a + 2b = 1 ?b = 1 ? ? 2 ? ?a = 2 ? 1 1 1 ? 即? 2 时, t = a + b 的最小值为 3 + 2 2 。 ?b = 1 ? 2 ?
解法 2:将

1 1 + 分子中的 1 用 a + 2b 代换。 a b

a + 2b a + 2b 2b a + = 1+ + +2 a b a b 2b a = 3+ + ≥ 3+ 2 2 a b
评注:本题巧妙运用“1”的代换,得到 t = 3 + 可用均值不等式求得 t =

2b a 2b a + ,而 与 的积为定值,即 a b a b

1 1 + 的最小值。 a b

三、换元 例 5. 求函数 y =

x+2 的最大值。 2x + 5

解析:变量代换,令 t = 当 t=0 时,y=0 当 t > 0 时, y =

x + 2 ,则 x = t 2 ? 2(t ≥ 0) ,则y =

t 2t + 1
2

1 2t + 1 t



1 2 2 t· 1 t

=

2 4

当且仅当 2t = 故x = ?

1 2 ,即 t = 时取等号。 t 2

3 2 时,y max = 。 2 4

评注:本题通过换元法使问题得到了简化,而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最 值问题,从而为构造积为定值创造有利条件。

四、取平方

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例 6. 求函数 y =

5 1 2 x ? 1 + 5 ? 2 x ( < x < ) 的最大值。 2 2

解析:注意到 2 x ? 1与5 ? 2 x 的和为定值。

y2 = ( 2x ? 1 + 5 ? 2x )2 = 4 + 2 (2 x ? 1)(5 ? 2 x ) ≤ 4 + (2 x ? 1) + (5 ? 2 x ) = 8
又 y > 0 ,所以 0 < y ≤ 2 2 当且仅当 2 x ? 1 = 5 ? 2 x ,即 x = 故 y max = 2 2 。 评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值” ,为利用均值不等式创造了条件。 总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等” ,同时还要注意 一些变形技巧,积极创造条件利用均值不等式。

3 时取等号。 2

[练一练] 练一练] 1. 若 0 < x < 2 ,求 y = 2. 求函数 y = 3. 求函数 y =

x (6 ? 3x ) 的最大值。

1 + x ( x > 3) 的最小值。 x?3 x2 + 8 ( x > 1) 的最小值。 x ?1 1 1 + = 9 ,求 x + y 的最小值。 x y 4 9

4. 已知 x > 0,y > 0 ,且

参考答案:1.

3

2. 5 3. 8 4.

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