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高中数学 第六章 第24课时《方差与标准差》教案(学生版) 苏教版必修3


第 24 课时 方差与标准差
【学习导航】

学习要求
1.体会方差与标准差也是对调查数据 的一种简明的描述,要求熟练记忆 公式,并能用于生产实际和科学实 验中; 2.体会方差与标准差对数据描述中的 异同。 【课堂互动】

故不宜直接相加. 可以考虑将各个离差的绝对值 相加,研究| x ? a1 |+| x ? a2 |+?+| x ? an |取最 小值时 x 的值. 但由于含绝对值, 运算不太方便, 所 以 考 虑 离 差 的 平 方 和 , 即 2 2 2 ( x ? a1 ) +( x ? a2 ) +?+( x ? an ) ,当此和最小 时,对应的 x 的值作为近似值,因为 2 2 2 ( x ? a1 ) +( x ? a2 ) +?+( x ? an ) = 2 2 2 nx ? 2(a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ) x ? a12 ? a2 ? ? ? ? ? an ,

自学评价
案例 有甲乙两种钢筋现从中各抽取一个 样本(如下表)检查它们的抗拉强度(单 2 位:kg/mm ),通过计算发现,两个样本的平 均数均为 125. 110 120 130 125 120 甲 125 135 125 135 125 115 100 125 130 115 乙 125 125 145 125 145 哪种钢筋的质量较好? 【分析】 在平均数相同的情况下,观察上述数 据表,发现乙样本的最小值 100 低于甲样本 的最小值 110,最大值 145 高于甲样本的最 大值 135,这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的 抗拉强度稳定. 在平均数相同的情况下, 比较两组数据 的极差能大概判断它们的稳定程度. 极差: . 从数据表上可以看出,乙的极差较大, 数据较分散;甲的极差小,数据较集中,这 就说明甲比乙稳定. 运用极差对两组数据进行比较, 操作简 单方便,但如果两组数据的集中程度差异不 大时,就不容易得出结论.这时,我们考虑 用更为精确的方法——方差. 在上一课时中, 学习了总体平均数的估 计,其中提到平均数是“最理想”近似值的 缘由.同样我们可以考虑每一抗拉强度与平 均抗拉强度的离差,离差越小,稳定性就越 高. 那么, 怎样来刻画一组数据的稳定程度 呢? 在上一课时中,设 n 个实验值 a i ( i =1, 2,?,n)的近似值为 x ,那么它与这 n 个实 验值 a i ( i =1, ?, 2, n)的离差分别为 x ? a1 ,

1 (a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ) 时离差的平 n 1 方和最小,故可用 (a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ) 作为表示 n
所以当 x ? 这个物理量的理想近似值,称其为这 n 个数据 a1 , a2 ,?, an 的平均数或均值,一般记为

1 a ? (a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ) . n
在上述过程中,可以发现, 最小,考虑用与其平均数的离 差的平方和来刻画一组数据的稳定程度是可行 的. 即本案例中, 可用各次抗拉强度与平均抗拉 强度的差的平方和表示. 由于比较的两组数据的 容量可能不同, 因此应将上述平方和除以数据的 个数,我们把由此所得的值称为这组数据的方 差. 因为方差与原始数据的单位不同,且平方 后可能夸大了离差的程度, 我们将方差开方后的 值称为这组数据的标准差. 标准差也可以刻画数 据的稳定程度. 一般地,设一组样本数据 x1 , x2 ,? ? ?, xn ,其 平均数为 x ,则称 为这个样本的方差,其算术平方根 为样本的标准差, 分别简称样 本方差,样本标准差. 根据上述方差计算公式可算得甲、乙两个 样本的方差分别为 50 和 165,故可认为甲种钢 筋的质量好于乙种钢筋. 【经典范例】 例 1 甲、乙两种冬水稻试验品种连续 5 年的平 2 均单位面积产量如下(单位:t/hm ), 试根据 这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳? 品 第1 第2 第3 第4 第5 种 年 年 年 年 年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 【解】
专心 1

x ? a2 , ?,x ? an . 由于上述离差有正有负,
用心 爱心

甲 乙 丙 丁 例 2 为了保护学生的视力, 教室内的日光灯 在使用一段时间后必须更换。已知某校使用 的 100 只日光灯在必须换掉前的使用天数如 下,试估计这种日光灯的平均使用寿命和标 准差. 151 ~ 180 1 181 ~ 210 11 211 ~ 240 18 241 ~ 270 20 271 ~ 300 25 301 ~ 330 16 331 ~ 360 7 361 ~ 390 2

1 11 10 3

2 12 20 5

3 13 30 7

4 14 40 9

5 15 50 11

6 16 60 13

7 17 70 15

8 18 80 17

9 19 90 19

(2)比较计算结果,各组方差和标准差的关系 是什么? 【解】

天 数 灯 泡 数

【分析】用每一区间内的组中值作为相应日 光灯的使用寿命,再求平均寿命。 【解】

例 4 某市共有 50 万户居民,城市调查队按千分 之一的比例进行入户调查, 抽样调查的结果如下 家庭人均月收入 (元) 工作人员 数 20 60 200 80 40 400 管理人员 数 5 10 50 20 15 100

?200,500? ?500,800?
?800,1100?
?1100,1400?

?1400,1700?
合 计

(1)一般工作人员家庭人均月收入的估计 x1 及 其方差的估计 s1 ; (2)管理人员家庭人均月收入的估计 x2 及其方 差的估计 s2 例 3 1) ( 求下列各组数据的方差与标准差 (结 果精确到 0.1) :
用心
2 2

(3)平均数的估计 x 及总体方差的估计 s 【解】
爱心 专心

2

2

追踪训练
1.若样本 a1 , a2 , a3 , . , an 的平均数 ..
2 方差 S ? 0.025 , 则样本 4a1 ,4a2 , x ? 5,

4a3 ,..., 4an 的 平 均 数 x? = 2 ___________ , S ? =_________.
2. k1 , k 2 , k8 的方差为 3, 2(k1 ? 3) , 若 ?, 则

2(k 2 ? 3) ,?, 2(k8 ? 3) 的方差为
3.计算下列两组数据的平均数和标准差. 甲 9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10.0 9.8 9.7 乙 10.2 10.0 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1 解:



用心

爱心

专心

3


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