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函数的图像与性质的综合应用


专题一

函数图象与性质的综合应用

1.函数的性质 (1)函数的性质是高考的必考内容,它是函数知识的核心部分.函数的性质包括函数 的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性与最大值、最小值等,在历年 的高考试题中函数的性质都占有非常重要的地位. (2)考查函数的定义域、 值域的题型, 一般是通过具体的问题(实际应用题与几何问题) 找出

函数的关系式,再研究函数的定义域与值域. (3)中档题常考题型 利用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、求二次函数的最值问题, 同时也考查考生能否用运动变化的观点观察问题、分析问题、解决问题. (4)函数的最值问题在高考试题中几乎年年出现,它是高考中的重要题型之一,特别 是函数在经济生活中的应用问题,大多数都是最值问题,所以要掌握求函数最值的 几种常用方法与技巧,灵活、准确地列出函数模型. 2.函数的图象 (1)函数图象是高考的必考内容,其中作图、识图、用图也是学生必须掌握的内容. (2)作图一般有两种方法:描点法、图象变换法.特别是图象变换法,有平移变换、 伸缩变换和对称变换,要记住它们的变换规律. (3)识图时,要留意它们的变化趋势,与坐标轴的交点及一些特殊点, 特别是对称性、 周期性等特点,应引起足够的重视. (4)用图,主要是数形结合思想的应用.

题型一 函数求值问题 例1
?log3(x2+t),x<0, ? 设 f(x)=? x ? ?2×(t+1) ,x≥0

且 f(1)=6,则 f(f(-2))的值为________.

探究提高 本题的难点有两个, 一是准确理解分段函数的定义, 自变量在不同取值范 围内对应着不同的函数解析式; 二是对数与指数的综合运算问题. 解决此类问题的关

键是要根据分段函数的定义, 求解函数值时要先判断自变量的取值区间, 然后再代入 相应的函数解析式求值,在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值.
?-cos(πx), x>0, ? 4? ? 4? - 已知 f(x)=? 则 f? 3?+f? 3?的值等于 ? ?f(x+1)+1, x≤0, ?

(

)

A.-2

B.1

C.2

D.3

题型二 函数与不等式问题 例2 f(-x)-f(x) 设奇函数 f(x)在(0, +∞)上为单调递增函数, 且 f(2)=0, 则不等式 ≥0 x ( B.(-∞,-2]∪(0,2] D.[-2,0)∪(0,2] )

的解集为 A.[-2,0]∪[2,+∞) C.(-∞,-2]∪[2,+∞)

探究提高 解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象函数的性质, 利用函数的单调性 去掉函数符号是解决问题的关键, 由函数为奇函数可知, 不等式的解集关于原点对称, 所以只需求解 x>0 时的解集即可. 1 ? ?log2x,x>0, f(x) = ? ? ?log2(-x),x<0, ( ) A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) 题型三 函数的图象问题 例3 函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=21 x 在同一直角坐标系下的图象大致是


若 f(m)<f( - m) ,则实数 m 的取值范围是

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

(

)

探究提高 本题的难点是在坐标系中并没有标出图象对应的函数解析式, 需要我们根 据图象的特征确定与其相应的函数解析式,并判断另一个图象是否与函数解析式对 应.破解此类问题可从函数图象上的本质——点的集合入手,结合函数的单调性、奇 偶性、周期性等性质,通过一些特殊点(常用函数图象与两坐标轴的交点)排除干扰项 即可找到答案.

(2011· 安徽)函数 f(x)=axm(1-x)n 在区间[0,1]上的 图象如图所示,则 m,n 的值可能是 A.m=1,n=1 C.m=2,n=1 B.m=1,n=2 D.m=3,n=1 ( )

题型四 函数的最值与不等式恒成立问题 例4 定义在 R 上的增函数 y=f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求 f(0); (2)求证:f(x)为奇函数; (3)若 f(k· 3x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 探究提高 对于恒成立问题,若能转化为 a>f(x) (或 a<f(x))恒成立,则 a 必须大于 f(x) 的最大值(或小于 f(x)的最小值).因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值 的问题进行求解.若不能分离参数,可以将参数看成常数直接求解. 1 已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),如果对于任意的 x∈[ ,2]都有|f(x)|≤1 成 3 立,试求 a 的取值范围. 题型五 以形助数数形结合问题 例5 1? 已知不等式 x2-logax<0,当 x∈? ?0,2?时恒成立,求实数 a 的取值范围.

探究提高 本题是函数与不等式的综合题, 运用数形结合的思想及函数的思想, 抓住 函数图象的本质特征是解决本题的关键所在. 1 已知 a>0 且 a≠1,f(x)=x2-ax,当 x∈(-1,1)时均有 f(x)< ,则实数 a 2 的取值范围是____________________________________________________________.

3.作图用图要规范 试题:(12 分)已知函数 f(x)=|x2-4x+3| (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)若关于 x 的方程 f(x)-a=x 至少有三个不相等的实数根,求实数 a 的取值范围. 审题视角 (1)化简 f(x)并作出 f(x)的图象,由图象确定单调区间.

(2)方程 f(x)-a=x 的根的个数等价于 y=f(x)与 y=x-a 的交点的个数, 所以可以借助 图象进行分析. 规范解答 解
2 ? ?(x-2) -1, x∈(-∞,1]∪[3,+∞), ? f(x)= 2 ?-(x-2) +1, x∈(1,3), ?

作出图象如图所示. (1)递增区间为[1,2],[3,+∞), 递减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)原方程变形为 |x2-4x+3|=x+a,

[2 分]

[4 分]

于是,设 y=x+a,在同一坐标系下再作出 y=x+a 的图象.如图.则当直线 y=x +a 过点(1,0)时, a=-1; 当直线 y=x+a 与抛物线 y=-x2+4x-3 相切时,
?y=x+a ? 由? ?x2-3x+a+3=0. 2 ? y =- x + 4 x - 3 ?

[6 分]

[8 分] [10 分] [12 分]

3 由 Δ=9-4(3+a)=0, 得 a=- . 4 3 -1,- ?时方程至少有三个不等实根. 由图象知当 a∈? 4? ? 批阅笔记

(1)函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等),为研究

数量关系问题提供了“形”的直观性,因此常用函数的图象研究函数的性质. (2)有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解. (3)方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解. (4)本题比较突出的问题,是作图不规范.由于作图不规范,导致第(2)问的思路出现 错误.

方法与技巧 1.利用复合函数求函数值是一类重要问题,解题关键是利用已知的函数值,通过解析 式的变化特点进行代入求值,有时也可以利用周期性来解题. 2.抽象函数奇偶性的判断关键在于构造 f(-x),使之与 f(x)产生等量关系,即比较 f(- x)与± f(x)是否相等,此时赋值比较多的是-1、1、0 等. 3.作图、识图和用图是函数图象中的基本问题.作图的基本途径:求出函数的定义域; 尽量求出值域;变换(化简、平移、对称、伸缩等)出图象的形状;描点作图.识图 就是从图形中发现或捕捉所需信息,从而使问题得到解决.用图就是根据需要,作 出函数的图形,使问题求解得到依据,使函数、方程、不等式中的许多问题化归为 函数图象问题. 失误与防范

1.函数求值问题一定要关注自变量的取值范围,尤其是分段函数,以防代错解析式. 2.对于抽象函数不等式向具体不等式转化的过程中,一定要注意单调区间,需将自变 量转化到同一个单调区间上去. 3.识图要抓性质特征,关键点;作图要规范,一般从基本图形通过平移、对称等变换 来作图.

专题一

函数图象与性质的综合应用
(时间:60 分钟)

A 组 专项基础训练题组 一、选择题 1.(2011· 北京)如果 log 2 x< log2 y<0,那么 A.y<x<1 C.1<x<y B.x<y<1 D.1<y<x ( )
1 1

(

)

5 - ?等于 2. 设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 时, f(x)=2x(1-x), 则 f? ? 2? 1 A.- 2 1 C. 4 1 B.- 4 1 D. 2

3.若函数 y=f(x)的图象如右图所示,则函数 y=-f(x+1)的图象大致为 ( )

二、填空题 4.设 a>0,a≠1,函数 f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值,则不等式 loga(x-1)>0 的解集 为_________.

5.已知 x > x ,则实数 x 的取值范围是________. a ?x>6?, ? ? 6.已知函数 f(x)=?? a? 在 R 上是单调递增函数,则实数 a 的取值范 4- x+4 ?x≤6?, ? ?? 2? 围为________. 三、解答题 1 a x- ?. 7.已知 a>0,且 a≠1,f(logax)= 2 ? a -1? x ? (1)求 f(x); (2)判断 f(x)的单调性; (3)求 f(x2-3x+2)<0 的解集. 1 8.设函数 f(x)=x+ 的图象为 C1,C1 关于点 A(2,1)对称的图象为 C2,C2 对应的函数为 x g(x). (1)求 g(x)的解析式; (2)若直线 y=m 与 C2 只有一个交点,求 m 的值和交点坐标. B 组 专项能力提升题组 一、选择题 1. 函数 f(x)=(m-1)x2+2mx+3 为偶函数, 则 f(x)在区间(-5, -3)上 A.先减后增 C.单调递减 B.先增后减 D.单调递增 ( ) ( )
x-5

2

1 3

2a-1 2. 设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 3 的奇函数, 若 f(1)<1, f(2)= , 则 a+1 1 A.a< 且 a≠-1 2 C.a<-1 或 a>0 B.-1<a<0 D.-1<a<2

3.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意的 x∈R,都有 f(x-2)=f(x+2),且当 x∈[- 1?x 2,0]时,f(x)=? ?2? -1,若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f(x)-loga(x+2)=0 (a>1) 恰有 3 个不同的实数根, 则 a 的取值范围是 A.(1,2) C.(1, 3 4 ) 二、填空题 π? 4.设函数 F(x)=f(x)+f(-x),x∈R,其中? ?-π,-2?是函数 F(x)的一个单调递增区间, 将函数 F(x)的图象向右平移 π 个单位,得到一个新的函数 G(x)的图象,则 G(x)的一 B.(2,+∞) D.( 3 4 ,2) ( )

个单调递减区间是__________. 5.已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1),且 x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则函数 y =f(x)与 y=log5x 的图象交点的个数为________. 6.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实 数 a 的取值范围是__________. 7.已知 f(x)=asin x+b 3 x +4 (a,b∈R),且 f[lg(log210)]=5,则 f[lg(lg 2)]=________. 三、解答题 1-mx 8.已知函数 f(x)=loga (a>0,a≠1)的图象关于原点对称. x-1 (1)求 m 的值; (2)判断函数 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明; (3)当 a>1,x∈(t,a)时,f(x)的值域是(1,+∞),求 a 与 t 的值. 答案 题型分类· 深度剖析 例1 12

变式训练 1 D 例2 D

变式训练 2 C 例3 C

变式训练 3 B 例4 (1)解 令 x=y=0,

得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. (2)证明 令 y=-x, 得 f(x-x)=f(x)+f(-x), 又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x), 即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立, 所以 f(x)是奇函数. (3)解 方法一 因为 f(x)在 R 上是增函数,又由(2)知 f(x)是奇函数.

f(k· 3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),所以 k· 3x<-3x+9x+2, 32x-(1+k)· 3x+2>0 对任意 x∈R 成立. 令 t=3x>0,问题等价于 t2-(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立. 令 f(t)=t2-(1+k)t+2, 1+k 其对称轴为 x= , 2



1+k <0 即 k<-1 时,f(0)=2>0,符合题意; 2

1+k ? ? ≥0, 1+k 当 ≥0 即 k≥-1 时,对任意 t>0,f(t)>0 恒成立?? 2 2 ? ?Δ=?1+k?2-4×2<0, 解得-1≤k<-1+2 2. 综上所述,当 k<-1+2 2时,f(k· 3x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立. 方法二 由 k· 3x<-3x+9x+2, 2 得 k<3x+ x-1. 3 2 u=3x+ x-1≥2 2-1,3x= 2时,取“=”,即 u 的最小值为 2 2-1, 3 2 要使对 x∈R 不等式 k<3x+ x-1 恒成立, 3 只要使 k<2 2-1. 变式训练 4 解 ∵f(x)=logax, 则 y=|f(x)|的图象如右图. 1 由图示,可使 x∈[ ,2]时恒有|f(x)|≤1, 3 1 1 只需|f( )|≤1,即-1≤loga ≤1, 3 3 1 - 即 logaa 1≤loga ≤logaa, 3 1 - 亦当 a>1 时,得 a 1≤ ≤a,即 a≥3; 3 1 - 当 0<a<1 时,得 a 1≥ ≥a, 3 1 得 0<a≤ . 3 综上所述,a 的取值范围是 1 (0, ]∪[3,+∞). 3 例5 解 由 x2-logax<0,

得 x2<logax. 设 f(x)=x2, g(x)=logax. 1? 由题意知,当 x∈? ?0,2?时,函数 f(x)的图象在函数 g(x)的图象的下方,

0<a<1, ? ? 如图,可知? ?1? ?1? ? ?f?2?≤g?2?, 0<a<1, ? ? 1 即??1?2 解得 ≤a<1. 1 16 ? ??2? ≤loga2, 1 ? ∴实数 a 的取值范围是? ?16,1?. 1 ? 变式训练 5 ? ?2,1?∪(1,2]

课时规范训练 A组 1.D 2.A 3.C 4.(2,+∞)

5.x<0 或 x>1 6.[7,8) 7.解 (1)令 t=logax (t∈R),则 x=at, 且 f(t)= ∴f(x)= a ? t 1? a- t . a? a -1?
2

a - (ax-a x) (x∈R). a2-1


(2)当 a>1 时,ax-a x 为增函数, 又 a >0,∴f(x)为增函数; a -1
2


当 0<a<1 时,ax-a x 为减函数, 又 a <0,∴f(x)为增函数. a2-1

∴函数 f(x)在 R 上为增函数. (3)∵f(0)= a (a0-a0)=0, a -1
2

∴f(x2-3x+2)<0=f(0). 由(2)知:x2-3x+2<0,∴1<x<2. ∴不等式的解集为{x|1<x<2}. 8.解 (1)设点 P(x,y)是 C2 上的任意一点,则 P(x,y)关于点 A(2,1)对称的点为 P′(4 1 1 1 -x,2-y),代入 f(x)=x+ ,可得 2-y=4-x+ ,即 y=x-2+ , x 4-x x-4 ∴g(x)=x-2+ 1 . x-4

y=m, ? ? (2)由? 1 y=x-2+ ? x - 4 ? 消去 y,得 x2-(m+6)x+4m+9=0, Δ=(m+6)2-4(4m+9). ∵直线 y=m 与 C2 只有一个交点, ∴Δ=0,解得 m=0 或 m=4. 当 m=0 时,经检验合理,交点为(3,0); 当 m=4 时,经检验合理,交点为(5,4). B组 1.D 2.C 3.D 3π ? 4.? ? 2 ,2π?

5.4 6.(-2,1) 7.3 8.解 (1)∵函数 f(x)=loga ∴f(-x)+f(x)=0, 1+mx 1-mx 即 loga +loga -x-1 x-1 ?1-mx??1+mx? =loga =0, ?-x-1??x-1? 由 ?1-mx??1+mx? =1, ?-x-1??x-1? 1-mx (a>0,a≠1)的图象关于原点对称, x-1

得 m2=1,∴m=1 或 m=-1. 1-mx 当 m=1 时, =-1<0,舍去; x-1 1-mx 1+x 1+x 当 m=-1 时, = ,令 >0, x-1 x-1 x-1 解得 x<-1 或 x>1. ∴符合条件的 m 的值为-1. x+1 (2)由(1)得 f(x)=loga ,任取 1<x1<x2, x-1 x2+1 x1+1 f(x2)-f(x1)=loga -loga x2-1 x1-1 ?x2+1??x1-1? =loga . ?x2-1??x1+1? ∵1<x1<x2, ∴(x2+1)(x1-1)-(x2-1)(x1+1)

=2(x1-x2)<0, ?x2+1??x1-1? ∴0< <1, ?x2-1??x1+1? ?x2+1??x1-1? ∴当 0<a<1 时,loga >0, ?x2-1??x2+1? 即 f(x2)-f(x1)>0,此时 f(x)为增函数; ?x2+1??x1-1? 当 a>1 时,loga <0, ?x2-1??x1+1? 即 f(x2)-f(x1)<0,此时 f(x)为减函数. (3)由(2)知,当 a>1 时,f(x)在(1,+∞)上为减函数; 同理在(-∞,-1)上也为减函数. 当(t,a)?(-∞,-1)时,f(a)<f(x)<f(t)<0 与已知矛盾,舍去; 当(t,a)?(1,+∞)时,∵函数 f(x)的值域为(1,+∞), t+1 ∴f(a)=1 且 =0, t-1 解得 t=-1,a=1+ 2.


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