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高考数学(理科)二轮配套课件:专题8(第2讲)数形结合思想


专题八 数学思想方法 第 2讲 数形结合思想 思想方法概述 热点分类突破 真题与押题 思想方法概述 1. 数形结合的数学思想:包含 “ 以形助数 ” 和 “ 以数辅形 ”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形 的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段, 数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性 质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些 属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程 来精确地阐明曲线的几何性质. 2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则: (1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换 必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的 局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只 能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代 数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错. (3)简单性原则 .不要为了“数形结合”而数形结合 . 具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要 选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好 转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值 范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与 定二次曲线. 3.数形结合思想解决的问题常有以下几种: (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围. (3) 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的 大小关系. (4) 构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最 值问题和证明不等式. (5)构建立体几何模型研究代数问题. (6) 构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研 究最值问题. (7)构建方程模型,求根的个数. (8)研究图形的形状、位置关系、性质等. 4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方 法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇 特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的 训练,以提高解题能力和速度 . 具体操作时,应注 意以下几点: (1)准确画出函数图象,注意函数的定义域. (2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的 个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要 把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 ( 有 时可能先作适当调整,以便于作图 ) ,然后作出两 个函数的图象,由图求解. 热点分类突破 ? 热点一 ? 热点二 利用数形结合思想讨论方程的根 利用数形结合思想解不等式、求参数范围 ? 热点三 利用数形结合思想解最值问题 热点一 利用数形结合思想讨论方程的根 例1 (2014· 山东)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx, 若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取 值范围是( 1 A.(0, ) 2 C.(1,2) ) 1 B.( ,1) 2 D.(2,+∞) 解析 先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象, 如图所示, 当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1, 1 当直线g(x)=kx过A点时斜率为 , 2 1 故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k的范围为( 2 1). 答案 B , 用函数的图象讨论方程 ( 特别是含参数的指数、 对数、根式、三角等复杂方程 ) 的解的个数是一 种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边 思 维 时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数 ) , 升 华 然后在同一坐标系中作出两个

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