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2015年河南省天一大联考高考数学二模试卷(理科)


2015 年河南省天一大联考高考数学二模试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2015?河南二模)已知集合 M={x| ≤1},N={x|y=lg(1﹣x)},则下列关系中正确的是( A.(?RM)∩ N=? N=R B.M∪ C.M?N D.(?RM)∪ N=R )

2. (5 分) (2015?河南二模)将函数 y=sin(x﹣ 所得函数的图象向左平移 A. y=cos x

)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变) ,再将 ) D.y=cos2x

个单位,则最终所得函数图象对应的解析式为( B.y=sin2x C. y=sin x

3. (5 分) (2015?河南二模)已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=( A.138 B.135 C.95 D.23



4. (5 分) (2015?河南二模)在△ ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=3,c=8,B=60°,则△ ABC 的周长是( ) A.18 B.19 C.16 D.17

5. (5 分) (2015?河南二模)正项等比数列{an}中,an+1<an,a2?a8=6,a4+a6=5,则 A. B. C.

=( D.



6. (5 分) (2015?河南二模)与向量 =( A. (﹣ , ) 或 ( B. , ) (﹣ ,﹣ ﹣ )

﹣1,

+1)夹角角为

的单位向量是(

) ) 或 (﹣ , )

C. )或( , (﹣ , ﹣ )

D. ) 或 (﹣ , ( ,

7. (5 分) (2015?河南二模)已知 f(x)= ( ) A.(﹣∞,﹣1)

为偶函数,则 y=loga(x ﹣4x﹣5)的单调递增区间为

2

B.(﹣∞,2)

C.(2,+∞)

D.(5,+∞)

8. (5 分) (2015?河南二模)已知等比数列{an}的首项为 ,公比为﹣ ,其前 n 项和为 Sn,则 Sn 的最大值为( A. B. C. D.



9. (5 分) (2015?河南二模)已知函数 y=b+ 则 a +b =( A .2
2 2

(a,b 是常数)在区间[﹣ ,0]上有 ymax=3,ymin= ,

) B.10
x

C .8

D.5

10. (5 分) (2015?河南二模)已知 f(x)=e ,x∈R,a<b,记 A=f(b)﹣f(a) ,B= (b﹣a) (f(a)+f(b) ) , 则 A,B 的大小关系是( A.A>B ) B.A≥B

C.A<B

D.A≤B

11. (5 分) (2015?河南二模)若平面向量 , 满足|3 ﹣ |≤1,则 ? 的最小值是( A. ﹣ B. ﹣ C. ﹣

) D. ﹣

12. (5 分) (2015?河南二模)已知函数 f(x)=(asinx+bcosx)?e 象可能是( A. ) B. C.

﹣x

在 x=

处有极值,则函数 y=asinx+bcosx 的图

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13. (5 分) (2015?河南二模)在平面直角坐标系中 A 点坐标为( 点,则| + |的最大值是 _________ .
2 2

,1) ,B 点是以原点 O 为圆心的单位圆上的动

14. (5 分) (2015?河南二模)直线 y=3x 和圆 x +y =1 交于 A、B 两点,以 Ox 为始边,OA、OB 为终边的角分别 为 α,β,则 sin(α+β)的值为 _________ . 15. (5 分) (2015?河南二模)若 x∈[1,100],则函数 f(x)=x
2﹣lgx

的值域为 _________ .
n

16. (5 分) (2015?河南二模) 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, 且 Sn= (﹣1) an﹣

, n∈ N , 则 a4a5 等于

*

_________ .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (2015?河南二模)公差不为零的等差数列{an}中,a3=7,又 a2,a4,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

18. (12 分) (2015?河南二模)已知函数 f(x)=sin( (Ⅰ )若 f(α)= ,α∈[﹣π,π],求 α 的取值集合; (Ⅱ )求函数 y=f(x)﹣cos(ωx+

﹣ωx) (ω>0)任意两个零点之间的最小距离为



)的单调递增区间.

19. (12 分) (2015?河南二模) 已知向量 =(cosA, ﹣sinA) , =(cosB,sinB) , ? =cos2C,其中 A、 B、C 为△ ABC 的内角. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 AB=6,且 ,求 AC、BC 的长.
2

20. (12 分) (2015?河南二模)已知函数 f(x)=x +2alnx,a∈R. (Ⅰ )若函数 f(x)的图象在(2,f(2) )处的切线斜率为 1,求函数 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ )若函数 g(x)= +f(x)在[1,2]上是减函数,求 a 的取值范围.

21. (12 分) (2015?河南二模)数列{an}满足 a1=
2 2

,an∈(﹣



) ,且 tanan+1?cosan=1(n∈N ) .

*

(Ⅰ )证明数列{tan an}是等差数列,并求数列{tan an}的前 n 项和; (Ⅱ )求正整数 m,使得 11sina1?sina2?…?sinam=1. 22. (12 分) (2015?河南二模)已知 f(x)的定义域为(0,+∞) ,满足 f(x)>0,f′ (x)为其导函数, <﹣1. (Ⅰ )讨论函数 F(x)=e f(x)的单调性; (Ⅱ )设 0<x<1,比较函数 xf(x)与 f( )的大小.
x

2015 年河南省天一大联考高考数学二模试卷(理 科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2015?河南二模)已知集合 M={x| ≤1},N={x|y=lg(1﹣x)},则下列关系中正确的是( A.(?RM)∩ N=? 考点: 专题: 分析: 解答: N=R B.M∪ C.M?N D.(?RM)∪ N=R )

交、并、补集的混合运算. 集合. 求出 M 中不等式的解集确定出 M,求出 N 中 x 的范围确定出 N,即可做出判断. 解:M 中的不等式,当 x>0 时,解得:x≥1;当 x<0 时,解得:x≤1,即 x<0,
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∴ M=(﹣∞,0)∪ [1,+∞) ,?RM=[0,1) , 由 N 中 y=lg(1﹣x) ,得到 1﹣x>0,即 x<1, ∴ N=(﹣∞,1) ,?RN=[1,+∞) , 则 M∪ N=R, (?RM)∩ N=[0,1) , 故选:B. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2. (5 分) (2015?河南二模)将函数 y=sin(x﹣ 所得函数的图象向左平移 A. y=cos x

)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变) ,再将 ) D.y=cos2x

个单位,则最终所得函数图象对应的解析式为( B.y=sin2x C. y=sin x

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论. 解答: 解:函数 y=sin(x﹣ )的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变) ,得到 y=sin(2x﹣
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) ,

再将所得函数的图象向左平移

个单位,得到 y=sin[2(x+

)﹣

]=sin(2x+

)=cos2x,

故选:D 点评: 本题主要考查函数解析的求解,根据函数关系和函数解析式之间的关系是解决本题的关键. 3. (5 分) (2015?河南二模)已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=( A.138 B.135 C.95 D.23 )

考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前 n 项和,根据 a2+a4=4,a3+a5=10 我们构造关于基本量 (首项及公差)的方程组,解方程组求出基本量(首项及公差) ,进而代入前 n 项和公式,即可求解. 解答: 解:∵ (a3+a5)﹣(a2+a4)=2d=6,
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∴ d=3,a1=﹣4, ∴ S10=10a1+ =95.

故选 C 点评: 在求一个数列的通项公式或前 n 项和时,如果可以证明这个数列为等差数列,或等比数列,则可以求出其 基本项(首项与公差或公比)进而根据等差或等比数列的通项公式,写出该数列的通项公式,如果未知这 个数列的类型,则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关,间接求其通项公式. 4. (5 分) (2015?河南二模)在△ ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=3,c=8,B=60°,则△ ABC 的周长是( ) A.18 B.19 C.16 D.17 考点: 专题: 分析: 解答: 余弦定理. 解三角形. 利用余弦定理列出关系式,把 a,c,cosB 的值代入求出 b 的值,即可确定出三角形 ABC 周长. 解:∵ △ ABC 中,a=3,c=8,B=60°, 2 2 2 ∴ b =a +c ﹣2accosB=9+64﹣24=49,即 b=7, 则△ ABC 周长为 3+8+7=18, 故选:A. 点评: 此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
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5. (5 分) (2015?河南二模)正项等比数列{an}中,an+1<an,a2?a8=6,a4+a6=5,则 A. B. C.

=( D.



考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 通过已知条件,求出 a4,a6,通过等比数列的性质推出
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的值.

解答: 解:因为正项等比数列{an}中,an+1<an,a2?a8=6,a4+a6=5, 所以 a4?a6=6,a4+a6=5,解得 a4=3,a6=2, = .

故选 D. 点评: 本题考查等比数列的基本运算,性质的应用,考查计算能力.

6. (5 分) (2015?河南二模)与向量 =( A. (﹣ , ) 或 ( B. , ) (﹣ ,﹣ ﹣ )

﹣1,

+1)夹角角为

的单位向量是(

) ) 或 (﹣ , )

C. )或( , (﹣ , ﹣ )

D. ) 或 (﹣ , ( ,

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用.

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分析: 设出单位向量 =(x,y) ,列出方程组 ,求出解即可.

解答: 解:设 =(x,y) ,则 ,





化简得



解得

,或



∴ =(﹣ ,

) ,或 =(

, ) .

故选:A. 点评: 本题考查了平面向量的应用问题,解题时应设出向量的坐标表示,列方程组求解,是基础题.

7. (5 分) (2015?河南二模)已知 f(x)= ( ) A.(﹣∞,﹣1)

为偶函数,则 y=loga(x ﹣4x﹣5)的单调递增区间为

2

B.(﹣∞,2)

C.(2,+∞)

D.(5,+∞)

考点: 复合函数的单调性;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先根据偶函数的性质求才 a=2,然后根据复合函数的内外同增则增的原则,因为 y=log2t 是定义域上的递 2 增函数,只要求 t=x ﹣4x﹣5 的递增区间即可,但要注意定义域. 解答: 解:∵ f(x)= 为偶函数,∴ f(﹣1)=f(1) ,∴ 1﹣a=1﹣2,∴ a=2
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则函数 y=loga(x ﹣4x﹣5)即 y=log2(x ﹣4x﹣5) ,令 t=x ﹣4x﹣5,x=2 是对称轴 2 由 x ﹣4x﹣5>0,得 x<﹣1 或 x>5,由复合函数的单调性,知(5,+∞)是所求函数 的递增区间. 故答案选:D 点评: 本题考查复合函数的单调区间,属于基础题.

2

2

2

8. (5 分) (2015?河南二模)已知等比数列{an}的首项为 ,公比为﹣ ,其前 n 项和为 Sn,则 Sn 的最大值为( A. B. C. D.



考点: 等比数列的前 n 项和.

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专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等比数列的前 n 项和公式 Sn= 解答: 解:∵ 等比数列{an}的首项为 ,公比为﹣ ,

,对 n 分奇数偶数讨论即可得出.

∴ Sn=

=



当 n 取偶数时,Sn= 当 n 取奇数时,Sn=1+ ∴ Sn 的最大值为 .

<1; = .

故选:D. 点评: 本题考查了等比数列的前 n 项和及其分类讨论思想方法,属于基础题. 9. (5 分) (2015?河南二模)已知函数 y=b+ 则 a +b =( A .2
2 2

(a,b 是常数)在区间[﹣ ,0]上有 ymax=3,ymin= ,

) B.10 C .8 D.5

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 2 t 分析: 转化为函数 y=b+(a +1) ,t∈[﹣1,0](a,b 是常数) ,根据函数的单调性求出最大值,最小值,解方程即 可. 解答: 2 2 解:∵ a +1>1,t(x)=x +2x,x∈[﹣ ,0],
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∴ 根据二次函数的性质得出:t∈[﹣1,0] 函数 y=b+
2 t

(a,b 是常数)

∴ 函数 y=b+(a +1) ,t∈[﹣1,0](a,b 是常数)单调递增 ∴ ymax=b+1=3,ymin=b
2

= ,

b=2,a =1 2 2 ∴ a +b =5, 故选:D 点评: 本题考查了指数函数的单调性,换元法求解复合函数的最值问题,属于中档题. 10. (5 分) (2015?河南二模)已知 f(x)=e ,x∈R,a<b,记 A=f(b)﹣f(a) ,B= (b﹣a) (f(a)+f(b) ) , 则 A,B 的大小关系是( A.A>B ) B.A≥B
x

C.A<B

D.A≤B

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用特殊值验证,推出 A,B 的大小,然后利用反证法推出 A=B 不成立,得到结果.
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解答:

解:考查选项,不妨令 b=1,a=0,则 A=e﹣1,B= (e+1) . ∵ e<3,?2e﹣2<e+1?e﹣1< (e+1) . 即 A<B.排除 A、B 选项. 若 A=B,则 e ﹣e = (b﹣a) (e +e ) ,
b a b a

整理得: (2﹣b+a)e =(b﹣a+2)e 观察可得 a=b,与 a<b 矛盾,排除 D. 故选:C. 点评: 本题考查函数的单调性的应用,选择题的解法,如果常用直接法,解答本题难度比较大.考查学生灵活解 题能力.

b

a

11. (5 分) (2015?河南二模)若平面向量 , 满足|3 ﹣ |≤1,则 ? 的最小值是( A. ﹣ B. ﹣ C. ﹣

) D. ﹣

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由平面向量 , 满足|3 ﹣ |≤1,知 9
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+

≤1+6

,故 9

+

≥2

=6

≥﹣6



由此能求出 解答:

的最小值.

解:∵ 平面向量 , 满足|3 ﹣ |≤1, ∴ 9 ∵ 9 ∴ 1+6 ∴ ≥ + + ≤1+6 ≥2 ≥﹣6 . , , =6 ≥﹣6 ,

故选 B. 点评: 本题考查平面向量数量积的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
﹣x

12. (5 分) (2015?河南二模)已知函数 f(x)=(asinx+bcosx)?e 象可能是( A. ) B. C.

在 x=

处有极值,则函数 y=asinx+bcosx 的图

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 先对 f(x)求导,再利用极值的性质求出 a,b 的关系式,代入 y=asinx+bcosx,再利用函数的性质(特殊
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点、单调性等)进行筛选. ﹣x ﹣x ﹣x 解答: 解:∵ f′ (x)=(acosx﹣bsinx)?e ﹣(asinx+bcosx)?e =e [(a﹣b)cosx﹣(a+b)sinx], 又∵ f(x)=(asinx+bcosx)?e
﹣x

在 x=

处有极值,

∴ f 整理得

= , 代入 y=asinx+bcosx 后得 y=

, ① , ∴ y′ =b[ (2+ 分别代入① ② ,经计算 f( )<0,f ) cosx﹣sinx]② , <0,与

对于 A 项,∵ f(0)<0,所以 b<0,此时将 x= 图象相符,所以 A 选项符合题意; 对于 B 项,∵ f(0)>0,所以 b>0,此时将 x= 是减函数不符,所以 B 选项不符合题意; 对于 C 项,∵ f(0)<0,所以 b<0,此时将 x= 是增函数不符,所以 C 选项不符合题意; 对于 D 项,∵ f(0)<0,所以 b<0,此时将 x=

分别代入① ② ,经计算 f

>0,与图象在 x=



分别代入① ② ,经计算 f

<0,与图象在 x=



代入① ,经计算 f(

)<0,与图象不符,所以 D 选项

不符合题意. 故选 A 点评: 由函数式确定图象的问题,一般从函数的性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期、渐近线 等)分析入手,注意结合特殊点、极值点的应用. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13. (5 分) (2015?河南二模)在平面直角坐标系中 A 点坐标为( 点,则| + |的最大值是 3 .

,1) ,B 点是以原点 O 为圆心的单位圆上的动

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可知向量| |=1 的模是不变的,当
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同向时,|

+

|的最大,所以|

+

|的最大值

= 解答:

. |=1 的模是不变的,当 = 与 同向时,| =2+1=3. + |的最大,

解:由题意可知向量| | + |的最大值=

故答案为:3. 点评: 本题考查了向量共线定理的应用,属于基础题. 14. (5 分) (2015?河南二模)直线 y=3x 和圆 x +y =1 交于 A、B 两点,以 Ox 为始边,OA、OB 为终边的角分别 为 α,β,则 sin(α+β)的值为 ﹣ .
2 2

考点: 两角和与差的正弦函数;任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题;三角函数的求值.

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分析: 联立直线方程和圆的方程,解出交点,得到 A,B 的坐标,再由任意角的定义,得到 α,β 的正弦和余弦, 再由两角和的正弦公式,即可得到所求值. 解答: 解:联立直线方程和圆的方程,得

,解得





即有 A( 则 sinα=

, cosα=

) ,B(﹣ ,sinβ=﹣

,﹣

) , ,

,cosβ=﹣

则 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= =﹣ . 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查三角函数的求值,考查任意角的正弦、余弦的定义和两角和的正弦公式的运用,考查运算能力, 属于中档题. 15. (5 分) (2015?河南二模)若 x∈[1,100],则函数 f(x)=x
2﹣lgx

的值域为 [1,10] .

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由于 x∈[1,100],则 y=f(x)>0,两边取常用对数,再由对数的运算法则,得到 lgy=(2﹣lgx)lgx,令
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t=lgx(0≤t≤2) ,则 lgy=t(2﹣t)=﹣(t﹣1) +1,再由二次函数的值域,即可得到所求值域. 解答: 解:由于 x∈[1,100],则 y=f(x)>0, 则有 lgy=lgx , 即 lgy=(2﹣lgx)lgx, 令 t=lgx(0≤t≤2) , 2 则 lgy=t(2﹣t)=﹣(t﹣1) +1, 由于 t=1∈[0,2], 则 lgy 的最大值为 1,即有 ymax=10, 当 t=0 或 2 时,lgy 取最小值 0,即有 ymin=1. 故值域为:[1,10]. 故答案为:[1,10]. 点评: 本题考查函数的值域的求法,考查对数函数的性质以及换元法,考查运算能力,属于中档题. 16. (5 分) (2015?河南二模)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn=(﹣1) an﹣
n 2﹣lgx

2

,n∈N ,则 a4a5 等于 ﹣

*



考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. n * 分析: 由于 S = , n∈N , 可得当 n≥2 时, an=Sn﹣Sn﹣1= n (﹣1) an﹣
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﹣ (﹣1)

n﹣1

an﹣1+



分别令 n=3,4,5,6 即可得出.
n 解答: 解:∵ Sn=(﹣1) an﹣

,n∈N ,

*

∴ a1=﹣a1﹣ ,解得 a1=﹣ . 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= ∴ ,a3=﹣ ,a5=﹣ ∴ a4a5=﹣ . . ,a2= . ,a4= . ﹣(﹣1)
n﹣1

an﹣1+



故答案为:﹣

点评: 本题考查了递推式的意义,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (2015?河南二模)公差不为零的等差数列{an}中,a3=7,又 a2,a4,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

考点: 等比数列的性质;等差数列的通项公式;等比数列的前 n 项和. 专题: 综合题. 2 分析: (1)设数列的公差为 d,根据 a3=7,又 a2,a4,a9 成等比数列,可得(7+d) =(7﹣d) (7+6d) ,从而可 得 d=3,进而可求数列{an}的通项公式; (2)先确定数列{bn}是等比数列,进而可求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (1)设数列的公差为 d,则
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∵ a3=7,又 a2,a4,a9 成等比数列. 2 ∴ (7+d) =(7﹣d) (7+6d) 2 ∴ d =3d ∵ d≠0 ∴ d=3 ∴ an=7+(n﹣3)×3=3n﹣2 即 an=3n﹣2; (2)∵ ,∴

∴ ∴ 数列{bn}是等比数列, ∵

∴ 数列{bn}的前 n 项和 Sn=



点评: 本题考查等差数列与等比数列的综合,考查等差数列的通项,等比数列的求和公式,属于中档题.

18. (12 分) (2015?河南二模)已知函数 f(x)=sin(

﹣ωx) (ω>0)任意两个零点之间的最小距离为



(Ⅰ )若 f(α)= ,α∈[﹣π,π],求 α 的取值集合; (Ⅱ )求函数 y=f(x)﹣cos(ωx+ )的单调递增区间.

考点: 正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ )首先根据任意两个零点之间的距离求出最小正周期,进一步确定 α 的集合. (Ⅱ )通过三角恒等变换求出正弦型函数的解析式,进一步利用整体思想求单调区间. 解答: 解: (Ⅰ )因为 f(x)=sin( ﹣ωx)=cosωx,任意两个零点之间的最小距离为 ,
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所以:f(x)的最小正周期为 π,故 T= 又 ω>0, 故 ω=2 由 f(α)= ,得 cos2α= , 所以 即 又 α∈[﹣π,π], 所以 (Ⅱ )函数 y=cos2x﹣cos(2x+ 令 解得: 所以函数的单调递增区间为:[ )= , (k∈Z) ,

=π,

. =

(k∈Z) ,

](k∈Z) .

点评: 本题考查的知识要点:正弦函数的最小正周期的求法,正弦型函数的单调区间.

19. (12 分) (2015?河南二模) 已知向量 =(cosA, ﹣sinA) , =(cosB,sinB) , ? =cos2C,其中 A、 B、C 为△ ABC 的内角. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 AB=6,且 ,求 AC、BC 的长.

考点: 数量积的坐标表达式;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 2 (I) ? =cos2C,由向量数量积公式,结合二倍角的余弦公式化简得 2cos C+cosC﹣1=0,解出 cosC= ,
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结合 C∈(0,π)可得角 C 的大小; (II)由 利用向量的数量积公式算出 ? =36,根据余弦定理 AB =AC +BC ﹣
2 2 2

2AC?BCcosC=36,化简得 AC+BC=12,两式联解即可算出 AC、BC 的长.

解答:

解: (Ⅰ )∵ =(cosA,﹣sinA) , =(cosB,sinB) , ∴ ? =cos2C,即 cosAcosB﹣sinAsinB=cos(A+B)=﹣cosC=cos2C,…(2 分) 化简得:2cos C+cosC﹣1=0,…(4 分) 故 cosC= (cosC=﹣1 舍去) ∵ C∈(0,π) ,∴ C= (Ⅱ )∵
2 2

. ,∴
2

…(7 分) ?
2

cos

=36,即

?

=36. ① …(9 分)

由余弦定理得 AB =AC +BC ﹣2AC?BCcos60°=36, 化简得:AC+BC=12 ② …(12 分) 联解① ② ,可得 AC=BC=6. …(14 分) 点评: 本题给出向量含有三角函数的坐标, 在已知数量积的情况下解三角形 ABC. 着重考查了向量的数量积公式、 解三角形等知识,属于中档题. 20. (12 分) (2015?河南二模)已知函数 f(x)=x +2alnx,a∈R. (Ⅰ )若函数 f(x)的图象在(2,f(2) )处的切线斜率为 1,求函数 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ )若函数 g(x)= +f(x)在[1,2]上是减函数,求 a 的取值范围.
2

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )f′ (x)=2x+ = ,由 f'(2)=1,能求出 a,再求出 f(1) ,f′ (1) ,由点斜式写出切线方程;
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(Ⅱ )由 g(x)= +x +2aln x 得 g′ (x)=﹣ 解答: 解: (Ⅰ )f′ (x)=2x+ = ,

2

+2x+

,建立新函数,求出其最小值,解出即可.

由已知 f′ (2)=1,解得 a=﹣3.…(2 分) 所以 f(x)=x ﹣6lnx,f′ (x)=2x﹣ ,因为 f′ (1)=﹣4,f(1)=1, 所以函数 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣1=﹣4(x﹣1) ,即 4x+y﹣5=0.…(6 分) (Ⅱ )由 g(x)= +x +2aln x 得 g′ (x)=﹣ 因为函数 g(x)为[1,2]上的单调减函数, 则 g′ (x)≤0 在[1,2]上恒成立,即﹣ 即 a≤ 令 h(x)= +2x+ ≤0 在[1,2]上恒成立.
2 2

+2x+

,…(7 分)

在[1,2]上恒成立.…(9 分) ,在[1,2]上 h′ (x)=﹣ ﹣2x=﹣( )<0,

所以 h(x)在[1,2]上为减函数,h(x)min=h(2)=﹣ ,所以 a≤﹣ .…(12 分) 点评: 本题考察了函数的单调性,导数的应用,渗透了数形结合思想,是一道综合题,属于中档题. ,an∈(﹣ ) ,且 tanan+1?cosan=1(n∈N ) .
*

21. (12 分) (2015?河南二模)数列{an}满足 a1=



(Ⅰ )证明数列{tan an}是等差数列,并求数列{tan an}的前 n 项和; (Ⅱ )求正整数 m,使得 11sina1?sina2?…?sinam=1. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ ) 由于对任意正整数 n, an∈ (﹣
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2

2



) , 且 tanan+1?cosan=1 (n∈N ) . 可得 tan an+1=

*

2

=1+tan an,

2

即可证明数列{tan an}是等差数列,再利用通项公式及其前 n 项和公式即可得出. (II)由 cosan>0,tanan+1>0, .可得 tanan,cosan,利用同角三角函数基本关系式可

2

得 sina1?sina2?…?sinam= (tana2?cosa1) ? (tana3cosa2) ?…? (tanam?cosam﹣1) ? (tana1?cosam) = (tana1?cosam) , 即可得出. 解答: (Ⅰ )证明:∵ 对任意正整数 n,an∈(﹣ 故 tan an+1=
2 2



) ,且 tanan+1?cosan=1(n∈N ) .

*

=1+tan an,
2

2

∴ 数列{tan an}是等差数列,首项 tan a1= ,以 1 为公差. ∴ ∴ 数列{tan an}的前 n 项和=
2

= +

. = . .

(Ⅱ )解:∵ cosan>0,∴ tanan+1>0, ∴ tanan= , ,

∴ sina1?sina2?…?sinam=(tana1cosa1)?(tana2?cosa2)?…?(tanam?cosam) =(tana2?cosa1)?(tana3cosa2)?…?(tanam?cosam﹣1)?(tana1?cosam) =(tana1?cosam)= 由 ,得 m=40. = ,

点评: 本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能 力,属于难题.

22. (12 分) (2015?河南二模)已知 f(x)的定义域为(0,+∞) ,满足 f(x)>0,f′ (x)为其导函数, <﹣1. x (Ⅰ )讨论函数 F(x)=e f(x)的单调性; (Ⅱ )设 0<x<1,比较函数 xf(x)与 f( )的大小.

考点: 利用导数研究函数的单调性;不等式比较大小. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )求导,利用导数即可得出函数的单调性;

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(Ⅱ )由题意得即证当 0<x<1 时,有 xf(x)> f( ) ,由(Ⅰ )可得 e f(x)>

x

f( ) ,即 f(x)>

f

( ) ,证明



即证

+2lnx>0,构造函数设函数 g(x)=

+2lnx,利用导数可得 g(x)

>g(1)=0,即有 f(x)>

f( )>

f( ) ,即可得出结论.

x x x 解答: 解: (Ⅰ )因为 F′ (x)=e f(x)+e f′ (x)=e [f(x)+f′ (x)].…(2 分)



<﹣1 知 f(x)+f′ (x)<0,
x x x

所以 F′ (x)=e f(x)+e f′ (x)=e [f(x)+f′ (x)]<0,所以 F(x)在(0,+∞)上单调递减.…(4 分) (Ⅱ )当 0<x<1 时,有 xf(x)> f( )…(5 分) 证明如下: 当 0<x<1 时,x ,故由(Ⅰ )可得 e f(x)>
x

f( ) ,即 f(x)>

f( )…(8 分)

下面证明



即证

+2lnx>0,

设函数 g(x)=

+2lnx,

当 0<x<1 时,有 g′ (x)=﹣

﹣1

=﹣

0,

所以 g(x)在(0,1)上单调递减.…(10 分) 故 g(x)>g(1)=0,所以 即 xf(x)> f( )…(12 分) 点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性,比较大小等知识,考查学生分析问题、解决问题的能力及运算 求解能力,属于中档题. > ,于是 f(x)> f( )> f( ) ,


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