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惠东高级中学高二文科数学试卷


惠东高级中学 2014-2015 学年度上学期高二年级 第一次阶段考试 文科数学试题
命题人:刘整东 审题人:陈必禄

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的) 2 1.若 a ? R ,则“ a =1”是“ a =1”的( )条件 A.充要 B.必要而不充分 C.充分而不

必要 D.既不充分又不必要 2.从一批产品中取出三件产品,设 A:“三件产品全不是次品”, B:“三件产品全是次 品”, C:“三件产品不全是次品”,则下列结论中正确的是( A.A 与 C 互斥 C.任何两个均不互斥 B.B 与 C 互斥 D.任何两个均互斥 )

3.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率是( ) 1 1 2 A. B. C. D. 1 2 3 3 4.我校高二年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分) 的茎叶图如图, 其中甲班学生成绩的平均分是 85, 乙班学生成绩的中位数是 83, 则 x ? y 的值为 乙 甲 A. 7 B. 8 C. 9 D.168

5

8 x 6

9 0 2

7 8 9

6 1 1

1 y 1 6

第 4 题图 5.集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于 4 的概率是( ) A.

2 3

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

6.下列命题正确的是
2 2 A. 对于命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ?x ? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0

2 B. 命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0, 则 x ? 1 ”

2 C. “ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的必要不充分条件

D. 若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 7.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 i 值等于( ) A.2 B.3 C .4 D.5

第 7 题图

8.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况,采用分层抽样的方法从高一 600 人、高二 780 人、高三 n 人中,抽取 35 人进行问卷调查,已知高二被抽取的人数为 13 人,则 n =( ) A.660 B.720 C.780 D.800 9.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 AB 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q , 则点 Q 取自 ?AED 或 ?BEC 内部的概率等于( A. )
D

C

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

2 3
A
E 第 9 题图
B

?x ? y ? 4 ? 0 ? 10.设点 ( a, b) 是区域 ? x ? 0 内的随机点,函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 在区间 [1, ??) ?y ? 0 ?
上是增函数的概率为 ( A. ) C.

2 3

B.

1 2

1 4

D.

1 3

二、填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中横线上)
2 11.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆否命题为_________

12.在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为________. 13. 将一枚硬币连掷三次,出现“2 个正面,1 个反面”的概率是 . 14.一组数据 9.8, 9.9, 10,a, 10.2 的平均数为 10,则该组数据的方差为 . 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委 员会第二次会议,2014 年 3 月在北京开幕.期间为了了解国企员工的工资收入状况,从 108 名相关人员中用分层抽样方法抽取若干人组成调研小组,有关数据见下表: (单位:人) 相关人数 一般职工 中层 高管 (1)求 x , y ; 63 27 18 抽取人数

x
y
2

(2)若从中层、高管抽取的人员中选 2 人,求这二人都来自中层的概率.

2 2 16.(本小题满分 13 分) 设命题 p:实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q : 实数

2 ? ? x ? x ? 6 ? 0, x 满足 ? 2 . ? ? x ? 2 x ? 8 ? 0.

(1)若 a ? 1, 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分)随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获 得身高数据的茎叶图如图 (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学 被抽中的概率.

第 17 题图

18. (本小题满分 14 分) 中国共产党第十八次全国代表大会期间, 某报刊媒体要选择两名记 者去进行专题采访,现有记者编号分别为 1,2,3,4,5 的五名男记者和编号分别为 6,7,8,9 的四名女记者.要从这九名记者中一次随机选出两名,每名记者被选到的概率是相等的,用 符号(x,y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为 x、y,且 x<y”. (1)共有多少个基本事件?并列举出来; (2)求所抽取的两名记者的编号之和小于 17 但不小于 11 或都是男记者的概率.

19. (本小题满分 14 分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据.

x
y

1 0.5

2 1

3 2

4 2.5

? ?a ?; (1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx
(2)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(1)求出的线性回 归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? 其中线性回归方程公式:

20. (本小题满分 13 分)某射击运动员进行射击训练, 前三次射击在靶上的着弹点 A, B, C 刚 好是边长为 3CM 的等边三角形的三个顶点. (Ⅰ)第四次射击时,该运动员瞄准 ?ABC 区域射击(不会打到 ?ABC 外) ,则此次射击的 着弹点距 A, B, C 的距离都超过 1CM 的概率为多少?(弹孔大小忽略不计) (Ⅱ) 该运动员前三次射击的成绩(环数)都在区间 [7.5,8.5) 内,调整一下后,又连打三枪, 其成绩(环数)都在区间 [9.5,10.5) 内.现从这 6 次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩(记 为 a 和 b )进行技术分析.求事件“ | a ? b |? 1 ”的概率.

第 20 题图

惠东高级中学 2014-2015 学年度上学期高二年级 第一次阶段考试 文科数学答题卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 C D 2 C 3 B 4 C 5 A 6 C 7 B 8 A 9 D 10

二、填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 11、若 x ? 2, 则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0

12、

1 3

13、

3 8

14、

0.02

三、解答题 三、解答题(写出必要的文字解答过程,共 80 分) 15.全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议, 2014 年 3 月在北京开幕.期间为了了解国企员工的工资收入状况,从 108 名相关人员中用 分层抽样方法抽取若干人组成调研小组,有关数据见下表: (单位:人) 相关人数 一般职工 中层 高管 (1)求 x , y ; 63 27 18 抽取人数

x
y
2

(2)若从中层、高管抽取的人员中选 2 人,求这二人都来自中层的概率. 【答案】 (1) x ? 7 , y ? 3 . (2) 0.3 . 解: (1)由题意可得

x y 2 ? ? ,所以 x ? 7 , y ? 3 . 63 27 18

3分

(2)记从中层抽取的 3 人为 b1 , b2 , b3 ,从高管抽取的 2 人为 c1 , c 2 , 则抽取的 5 人中选 2 人的基本事件有: (b1 , c1 ) , (b2 , b3 ) , (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b1 , c2 ) , (b2 , c1 ) ,

(b2 , c2 ) , (b3 , c1 ) , (b3 , c2 ) , (c1 , c2 ) 共 10 种.
设选中的 2 人都来自中层的事件为 A , 则 A 包含的基本事件有: (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) 共 3 种. 因此 P ( A) ?

8分

10 分

3 ? 0.3 . 10

故选中的 2 人都来自中层的概率为 0.3 .

12 分

2 2 16 . 设 命 题 p: 实 数 x 满 足 x ? 4ax ? 3a ? 0 , 其 中 a ? 0 , 命 题 q : 实 数 x 满 足

2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 , . ? 2 ? ? x ? 2 x ? 8? 0 .

(1)若 a ? 1, 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) 2 ? x ? 3 (2) 1 ? a ? 2
2 2 解:由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a ,

当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 .
2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 由? 2 ,得 2 ? x ? 3 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . ? ?x ? 2x ? 8 ? 0

若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 .?????7 分 (Ⅱ) ?p 是 ?q 的充分不必要条件,即 ?p ? ?q ,且 ?q 设 A= {x | ?p} ,B= {x | ?q} ,则 A

? ? ?p ,

B,

又 A= {x | ?p} = {x | x ? a或x ? 3a} ,B= {x | ?q} = {x ? 2或x ? 3 }, 则 0< a ? 2 ,且 3a ? 3 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 .?????13 分 (2009 年高考广东卷第 18 小题) 17.随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm), 获得身高数据的茎叶图如图 (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学, 求身高为 176cm 的同学被抽中的概率. 17 题

解:(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160 : 179 之间,而乙班身高集中于 170 : 180 之 间。因此乙班平均身高高于甲班; (2) x ? ?????4 分

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10 1 2 2 2 2 2 甲班的样本方差为 [(158 ? 170) ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? 10

? ?1 7 0? 1 7 ?0 ? ?
2

17 ?1 ? 1 7?? 0
2

1 ? 7?9

2

70 ?1?

?? 179 1 57 82 ? ?1 7 0 ? ? =
2 2

170

]

??9 分 (3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181,173) (181,176) (181, 178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173)(178, 176)(176, 173)共 10 个基本事件, 而事件 A 含有 4 个基本事件; ? P ? A ? ?

4 2 ? 10 5

;?????14 分

18.中国共产党第十八次全国代表大会期间,某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访, 现有记者编号分别为 1,2,3,4,5 的五名男记者和编号分别为 6,7,8,9 的四名女记者. 要从这 九名记者中一次随机选出两名, 每名记者被选到的概率是相等的, 用符号(x, y)表示事件 “抽 到的两名记者的编号分别为 x、y,且 x<y” . (1)共有多少个基本事件?并列举出来; (2)求所抽取的两名记者的编号之和小于 17 但不小于 11 或都是男记者的概率. 【答案】 (1)共 36 个,列举见解析(2)

25 36

解:(1)共有 36 个基本事件, 列举如下: (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7), (3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7), (6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9),共 36 个. ?????7 分 (2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于 17 但不小于 11”为事件 A,即事件 A 为“x,y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且 11≤x+y<17,其中 x<y” ,由(1)可知事件 A 共含有 15 个基 本事件,列举如下:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8), (5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),共 15 个. “都是男记者”记作事件 B,则事 件 B 为“x<y≤5” ,包含:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5),共 10 个.故 P(A)+P(B)=

15 10 25 + = ?????14 分 36 36 36

19.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生 产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据.

x
y

1 0.5

2 1

3 2

4 2.5

? ?a ?; (1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx
(2)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(1)求出的线性回 归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
2 2 2 2 (参考数值: 1? 0.5 ? 2 ?1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2.5 ? 18.5 , 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 30 )

19.解: (1)

? X iYi ? 18.5
i ?1

4

?X
i ?1

4

2 i

?1 2 ? 2 2 ?3 2 ? 4 2 ? 3 0 X ? 2 . 5

Y ?1 . 5


?

? ? 18.5 ? 4 ? 2.5 ?1.5 ? 18.5 ? 15 ? 0.7 b 30 ? 4 ? 2.52 30 ? 25

? ? 1.5 ? 0.7 ? 2.5 ? ?0.25 ? ? Y ? bX a
所求的回归方程为 (2) ????? 8分 y?0.7 x? 0.2 5

当 x ? 100 时 y ? 0.7 ?100 ? 0.25 ? 69.75

预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90 ? 69.75 ? 20.25 (吨) ??14 分 20.(本小题满分 12 分) 某射击运动员进行射击训练,前三次射击在靶上的着弹点 A, B, C 刚好是边长为 3CM 的等边 三角形的三个顶点. (Ⅰ)第四次射击时,该运动员瞄准 ?ABC 区域射击(不会打到 ?ABC 外) ,则此次射击的 着弹点距 A, B, C 的距离都超过 1CM 的概率为多少?(弹孔大小忽略不计) (Ⅱ) 该运动员前三次射击的成绩(环数)都在区间 [7.5,8.5) 内,调整一下后,又连打三枪, 其成绩(环数)都在区间 [9.5,10.5) 内.现从这 6 次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩(记 为 a 和 b )进行技术分析.求事件“ | a ? b |? 1 ”的概率.

18 题 【答案】 (Ⅰ) 因为着弹点若与 A、B、C 的距离都超过 1cm, 则着弹点就不能落在分别以 A、B、C 为中心,半径为 1cm 的三个扇形区域内,只能落在图中阴影部分内. 因 为

1 S?ABC = ? ?3 2

3

9 3 中 阴 影, 部 分 的 面 积 为 ? s i n 图 6 0 4

1 ? 9 3 ? S? 2 3? .??7 分 S ? ? S?ABC ? 3 ? ?12 ? ? ? ,故所求概率为 p ? ? 1? 2 3 4 2 S?ABC 27
(Ⅱ)前三次射击成绩依次记为 x1、x2、x3 ,后三次成绩依次记为 y1、y2、y3 ,从这 6 次射 击成绩中随机抽取两个, 基本事件是: {x1, x2},{x1, x3},{x2 , x3}, { y1 , y2},{ y1, y3},{ y2 , y3},

{x1, y1},{x1, y2},{x1, y3}, {x2 , y1},{x2 , y2},{x2 , y3}, {x3 , y1},{x3 , y2},{x3 , y3} ,共 15 个,

其中可使 | a ? b |? 1 发生的是后 9 个基本事件.故 P(| a ? b |? 1) ?

9 3 ? .?????13 分 15 5


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