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数列通项公式的十种求法(精品)


数列通项公式的十种求法

一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

an ?1 an 3 a a a 3 ? n ? ,则 n ?1 ? n ? ,故数列 { n } 是 n ?1 n ?1 n 2 2 2 2 2 2 2n a 3 a 2

3 以 1 ? ? 1 为首项, 以 为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式, n ? 1 ? (n ? 1) , 得 n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2
解:an?1 ? 2an ? 3? 2n 两边除以 2
n?1

,得

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 2n 转化为

an ?1 an 3 ? ? ,说明数列 2n ?1 2n 2 a a 3 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 n n 2 2 2

{an } 的通项公式。
二、累加法 例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 , 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转化为 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,进而求

出 (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 , 解 : 由

an?1 ? an ? 2 ?

n

? 3



1

an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1



an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3n ? n ?1. 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1转化为 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 , 进而求出 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 , 即得数列 {an } 的通 项公式。 例4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 ,
n?1

解: an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 则

,得

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,故 n ?1 3 3 3 3

an an a a an ? 2 an ? 2 a n ? 3 a2 a1 a ? ( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ( n ? 2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 n 3 3 an ?1 an ?1 3 3 3 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 (1 ? 3n?1 ) an 2(n ? 1) 3n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1 ? ? ? 3 3 1? 3 3 2 2 ? 3n

则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? . 3 2 2 an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 转化为 进而求出 (

an an ?1 an ?1 an ? 2 an ? 2 an ?3 a2 a1 a ? an ? ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ( n ? 2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 ,即得数列 ? n ? n 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ?3 ?

的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。 三、累乘法 例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? n!
n ?1

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2

?5

n ( n ?1) 2

? n!.
an ?1 进而求 ? 2(n ? 1)5n , an

评注: 本题解题的关键是把递推关系 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an 转化为



an an?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 an?1 an?2 a2 a1

例 6 (2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列 {an } 满足

a1 ? 1 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。 ,
解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) 所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 ? nan 用②式-①式得 an?1 ? an ? nan . ② ①

则 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2)



an ?1 ? n ? 1(n ? 2) an an an?1 a n! ? ??? 3 ? a2 ? [n(n ? 1) ??? 4 ? 3]a2 ? a2 . an?1 an?2 a2 2

所以 an ?



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又知

a1 ? 1 ,则 a2 ? 1 ,代入③得 an ? 1? 3 ? 4 ? 5 ?? ? n ?
所以, {an } 的通项公式为 an ?

n! 。 2

n! . 2

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为

an ?1 ? n ? 1(n ? 2) , an

进而求出

an an?1 a 从而可得当 n ? 2时,an 的表达式, 最后再求出数列 {an } 的 ? ?? ? 3 ? a2 , an?1 an?2 a2

通项公式。 四、待定系数法 例 7 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n ) ④

将 an?1 ? 2an ? 3? 5n 代入④式,得 2an ? 3? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 n ? 2 ? 5 ,等式两边消去 a x n

x n 代 , 2an , 得 3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 ? 5, 两 边 除 以 5n , 得 3 ? 5x ? 2x 则 x ? ? 1, 入 ④ 式 得

an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n )



由 a1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5n ? 0 ,则

an?1 ? 5n?1 ? 2 ,则数列 {an ? 5n } 是以 n an ? 5

a1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 5n 转化为 an?1 ? 5
n?1

? 2(an ? 5n ) ,

从而可知数列 {an ? 5n }是等比数列,进而求出数列 {an ? 5n } 的通项公式,最后再求出数列

{an } 的通项公式。
例 8 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y) 将 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 代入⑥式,得 ⑥

3an ? 5 ? 2n ? 4 ? x ? 2n?1 ? y ? 3(an ? x ? 2n ? y)
整理得 (5 ? 2 x) ? 2n ? 4 ? y ? 3x ? 2n ? 3 y 。

令?

?5 ? 2 x ? 3x ?x ? 5 ,则 ? ,代入⑥式得 ?4 ? y ? 3 y ?y ? 2


an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2)
由 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式,

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 得 an ? 5 ? 2 ? 2 ? 0 ,则 ? 3, an ? 5 ? 2n ? 2
n

故数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是以 a1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为首项,以 3 为公比的等比数列, 因此 an ? 5 ? 2n ? 2 ? 13? 3n?1 ,则 an ? 13? 3n?1 ? 5 ? 2n ? 2 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 转化为

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ,从而可知数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列,进而求
出数列 {an ? 5 ? 2 ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。
n

例 9 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。
2

解:设 an?1 ? x(n ? 1) ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn ? yn ? z)
2 2



将 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 代入⑧式,得

2an ? 3n2 ? 4n ? 5 ? x(n ?1)2 ? y(n ?1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) ,则 2an ? (3 ? x)n2 ? (2x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2an ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z
等式两边消去 2an ,得 (3 ? x)n2 ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2xn2 ? 2 yn ? 2z ,

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 解方程组 ?2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ? z ? 18 ? ?

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ?1) ?18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ⑨
由 a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 0



an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2 ,故数列 {an ? 3n2 ?10n ?18} 为以 2 an ? 3n ? 10n ? 18

a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ?10n ?18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n?4 ? 3n2 ?10n ?18 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5 转化为

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ?1) ?18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ,从而可知数列
进而求出数列 {an ? 3n2 ? 10n ? 18} 的通项公式, 最后再 {an ? 3n2 ?10n ?18} 是等比数列, 求出数列 {an } 的通项公式。 五、对数变换法
5 例 10 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

5 解:因为 an?1 ? 2 ? 3 ? an,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an?1 ? 0 。在 an?1 ? 2 ? 3n ? an 式两边取 n 5

常用对数得 lg an?1 ? 5lg an ? n lg3 ? lg 2



设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y)

11 ○

将 ⑩ 式 代 入 ○ 式 , 得 5 lgan ? n lg 3 lg ? x n( 11 ? 2 ?

?y? 1)

两 5(lg xn ? y , ) 边 消 去 an ?

5 lgan 并整理,得 (lg3 ? x)n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5 y ,则
lg 3 ? ?x ? 4 ?lg 3 ? x ? 5 x ? ,故 ? ? ? x ? y ? lg 2 ? 5 y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
代入○式,得 lg an ?1 ? 11 由 lg a1 ? 得 lg an ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) 4 16 4 4 16 4

12 ○

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○式, 12 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ? 0, 4 16 4

lg an ?1 ?


lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ?5, lg 3 lg 3 lg 2 lg an ? n? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 为首项,以 5 为公比的等 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 比数列,则 lg an ? 4 16 4 4 16 4
所以数列 {lg an ?

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 1 1 n 1 1

? (lg 7 ? lg 3 4 ? lg 3 6 ? lg 2 4 )5n ?1 ? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 ? [lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )]5 ? lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )5 ? lg(7
5 n ?1 1 4 1 16 1 4 1 4 1 16 1 4 n ?1

? lg(3 ? 3 ? 2 4 )
n 4 1 16 1 4

n 4

1 16

1

n ?1

? lg(3 ? 3 ? 2 ) ?2
?1 5n?1 ?1 4

?3

5

n?1

?n

4

?3

5

n?1

?1 16 5
n?1

)

? lg(75 n ?1 ? 3
则 an ? 7
5n?1

5 n ? 4 n ?1 16

?2

4

)

?3

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4



5 评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an?1 ? 2 ? 3n ? an 转化为

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ,从而可知数列 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 {lg an ? n? ? } 是等比数列,进而求出数列 {lg an ? n? ? } 的通项 4 16 4 4 16 4 lg an ?1 ?
公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 六、迭代法
3( 例 11 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an n ?1)2 ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

3( 3n? 解:因为 an?1 ? an n?1)2 ,所以 an ? an?12
n

n?1

3( ? [an?n?1)?2 ]3n?2 2

n? 2

n?1

3 ? an ?(2n ?1)?n?2
2

( n?2)?( n?1)

3( ? [an ?n ?2)?2 ]3 ( n ?1)?n?2 3
2

n?3

( n?2)?( n?1)

3 ? an ?(3n ?2)( n ?1) n?2
3

( n?3)?( n?2)?( n?1)

?? ? a13 ?a
n?1

?2?3??( n ? 2)?( n ?1)?n?21?2????( n?3)?( n?2)?( n?1)
n ( n?1) 2

3n?1 ?n!?2 1

又 a1 ? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n?1) 2


n

3( 评注: 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 即先将等式 an?1 ? an n?1)2

两边取常用对数得 lg an?1 ? 3(n ? 1) ? 2n ? lg an , 即

lg an?1 ? 3(n ? 1)2n ,再由累乘法可推知 lg an
n ( n?1) 2

n?1 lg an lg an?1 lg a3 lg a2 lg an ? ? ?? ? ? ? lg a1 ? lg 53 ?n!?2 lg an?1 lg an?2 lg a2 lg a1

,从而 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n ?1) 2



七、数学归纳法 例 12 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? , 求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ? ? ? ? ?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1)(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。 ,
*

评注: 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项, 进而猜出数列的通项 公式,最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法

例 13 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 , 求数列 {an } 的通项公式。 16 1 2 (bn ? 1) 24

解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
2 即 4bn?1 ? (bn ? 3)2

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn?1 ? 1 ? 24an?1 ? 0 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以 列,因此 bn ? 3 ? 2( )

1 2

n ?1

1 1 1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

bn ?1 ?

1 3 bn ? 形式, 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, 2 2

最后再求出数列 {an } 的通项公式。 九、不动点法 例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 24 ? ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 0 ,得 4 x ?20 x ? 的 4x ?1 4x ?1

两个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 4an ? 1
? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( )n?1 , ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?
则 an ?

1 13 2( )n?1 ? 1 9

? 3。

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x) ? 个根 x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的两 4x ?1 4x ?1

?a ? 2? an?1 ? 2 13 an ? 2 ,从而可知数列 ? n ? ? ? 为等比数 an?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

列,再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 3 ?

例 15 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

bn ?1 ?

1 3 bn ? 形式, 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, 2 2

最后再求出数列 {an } 的通项公式。 九、不动点法 例 14 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 24 ? ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? 0 ,得 4 x ?20 x ? 的 4x ?1 4x ?1

两个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 4an ? 1
? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( )n?1 , ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?
则 an ?

1 13 2( )n?1 ? 1 9

? 3。

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x) ? 个根 x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的两 4x ?1 4x ?1

?a ? 2? an?1 ? 2 13 an ? 2 ,从而可知数列 ? n ? ? ? 为等比数 an?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

列,再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 ? an ? 3 ?

例 15 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3


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