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2015-2016学年高中数学 第一章 推理与证明综合测试 北师大版选修2-2


2015-2016 学年高中数学 第一章 推理与证明综合测试 北师大版选 修 2-2 时间 120 分钟,满分 150 分.
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:“正四面体的内切球切于四 个面________.”( )

A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点 C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点 [答案] C [解析] 正三角形的边对应正四面体的面, 即正三角形表示的侧面, 所以边的中点对应 的就是正三角形的中心.故选 C. 1 1 2.不等式 a>b 与 > 同时成立的充要条件为(

a b

)

A.a>b>0 1 1 C. < <0

B.a>0>b 1 1 D. > >0

b a

a b

[答案] B

a>b ? ? [解析] ?1 1 ?a>b ?

a>b ? ? ??a-b ? ab <0 ?

??

? ?a>b ? ?ab<0

?a>0>b,故选 B.

3.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( A.有一个解 C.至少有三个解 [答案] C B.有两个解

)

D.至少有两个解

[解析] 至少有两个解包含:有两解,有一解,无解三种情况. 1 1 1 1 4.已知 f(n)= + + +?+ 2,则( n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4
1

)

1 1 2 C.f(n)中共有 n -n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 2 D.f(n)中共有 n -n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 [答案] D [解析] ∵f(n)=
2

1

n+0 n+1 n+2



1



1

+?+

1

n+n2-n

∴f(n)中共有 n -n+1 项.

f(2)=

1 1 1 1 1 1 + + = + + 2+0 2+1 2+2 2 3 4 )

2 2 2 5.数列{an}中前四项分别为 2, , , ,则 an 与 an+1 之间的关系为( 7 13 19 A.an+1=an+6 C.an+1= 1+3an [答案] B [解析] 观察前四项知它们分子相同,分母相差 6, 1 ∴{ }为等差数列. B. 1

an+1 an
1

1 = +3

an

D.an+1=

an

an

6. 已知“整数对”按如下规律排成一列: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个数对是( A.(7,5) C.(2,10) [答案] B [解析] 依题意,由和相同的整数对分为一组不难得知,第 n 组整数对的和为 n+1, 且有 n 个整数对. 这样前 n 组一共有 B.(5,7) D.(10,1) )

n?n+1?
2

个整数对.

10×?10+1? 11×?11+1? 注意到 <60< . 2 2 因此第 60 个整数对处于第 11 组的第 5 个位置,为(5,7).故选 B. 1 1 1 7.设 a、b、c 都是正数,则 a+ ,b+ ,c+ 三个数(

b

c

a

)

A.都大于 2 B.至少有一个大于 2 C.至少有一个不大于 2
2

D.至少有一个不小于 2 [答案] D 1 1 1 [解析] a+ +b+ +c+

b

c

a

1 1 1 =(a+ )+(b+ )+(c+ )

a

b

c

1 1 1 ∵a、b、c 都是正数,∴a+ ≥2,b+ ≥2,c+ ≥2,当且仅当 a=1,b=1,c=1 时

a

b

c

取等号 1 1 1 ∴a+ +b+ +c+ ≥6

b b

c c

a a

1 1 1 ∴a+ ,b+ ,c+ 至少有一个不小于 2. 8. 把 1,3,6,10,15,21, ?, 这些数叫作三角形数, 如图所示, 则第七个三角形数是( )

A.27 C.29 [答案] B [解析] 第一个三角形数是 1, 第二个三角形数是 1+2=3, 第三个三角形数是 1+2+3=6, 第四个三角形数是 1+2+3+4=10,

B.28 D.30

?1+n?n 因此,由归纳推理得第 n 个三角形数是 1+2+3+4+?+n= . 2 由此可以得出第七个三角形数是 28. 9.(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三 边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= 2S ;类比这个结论 a+b+c

可知:四面体 P-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 r,四面体 P -ABC 的体积为 V,则 r=( A. C. ) B. D. 2V S1+S2+S3+S4 4V S1+S2+S3+S4

V

S1+S2+S3+S4

3V S1+S2+S3+S4

[答案] C
3

[解析] 将△ABC 的三条边长 a、b、c 类比到四面体 P-ABC 的四个面面积 S1、S2、S3、

S4,将三角形面积公式中系数 ,类比到三棱锥体积公式中系数 ,从而可知选 C.
1 证明如下:以四面体各面为底,内切球心 O 为顶点的各三棱锥体积的和为 V,∴V= S1r 3 1 1 1 3V + S2r+ S3r+ S4r,∴r= . 3 3 3 S1+S2+S3+S4 10. (2015·陕西文, 10)设 f(x)=ln x,0<a<b, 若 p=f( ab), q=f? +f(b)),则下列关系式中正确的是( A.q=r<p C.p=r<q [答案] C [解析] p=f( ab)=ln 1 a+b = ln (ab),因为 > ab, 2 2 由 f(x)=ln x 是个递增函数,f( 所以 q>p=r,故答案选 C. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.(2014·厦门六中高二期中)在平面上,我们用一直线去截正方形的一个角,那么截 下的一个直角三角形,按如图所标边长,由勾股定理有 c =a +b .设想正方形换成正方体, 把截线换成如图截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O-LMN,如果用 S1,
2 2 2

1 2

1 3

1 ?a+b?, ? r=2(f(a) ? 2 ?

) B.q=r>p D.p=r>q

1 a+b a+b 1 ab= ln (ab);q=f( )=ln ;r= (f(a)+f(b)) 2 2 2 2

a+b
2

)>f( ab),

S2,S3 表示三个侧面面积,S 表示截面面积,那么类比得到的结论是________.

[答案] S =S1+S2+S3 [解析] 类比如下: 正方形? 正方体;截下直角三角形? 截下三侧面两两垂直的三棱锥;直角三角形斜边平 方? 三棱锥底面面积的平方;直角三角形两直角边平方和? 三棱锥三个侧面面积的平方和, 结论 S =S1+S2+S3. 证明如下:如图,作 OE⊥平面 LMN,垂足为 E,连接 LE 并延长交 MN 于 F,
2 2 2 2

2

2

2

2

4

∵LO⊥OM,LO⊥ON,∴LO⊥平面 MON, ∵MN? 平面 MON,∴LO⊥MN, 1 1 1 2 ∵OE⊥MN,∴MN⊥平面 OFL,∴S△OMN= MN·OF,S△MNE= MN·FE,S△MNL= MN·LF,OF 2 2 2 1 1 1 2 2 2 =FE·FL,∴S△OMN=( MN·OF) =( MN·FE)·( MN·FL)=S△MNE·S△MNL,同理 S△OML=S△MLE·S 2 2 2
△MNL

,S△ONL=S△NLE·S△MNL,∴S△OMN+S△OML+S△ONL=(S△MNE+S△MLE+S△NLE)·S△MNL=S△MNL,即 S1+S2+

2

2

2

2

2

2

2

2 S2 3=S .

1 1 1 3 5 * 12.f(n)=1+ + +?+ (n∈N ), 经计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3, 2 3 n 2 2

f(32)> .推测:当 n≥2 时,有____________.
[答案] f(2 )>
n

7 2

n+2
2

[解析] 由前几项的规律可得答案. 13.函数 y=loga(x+3)-1(a>0 且 a≠1)的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1 1 2 =0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为________.

m n

[答案] 8 [解析] y=loga(x+3)-1(a>0 且 a≠1)的图像恒过定点 A(-2,-1). 又∵点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, ∴2m+n=1. 又∵mn>0,∴m>0,n>0. 1 ∴2m+n=1≥2 2mn,当且仅当 2m=n= , 2 1 1 即 m= ,n= 时取等号, 4 2 1 1 2 2m+n 1 ∴mn≤ .∴ + = = ≥8. 8 m n mn mn 14.若数列{an}中,a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+15+17+19,?,则 a10 =________.
5

[答案] 1 000 [解析] 前 10 项共使用了 1+2+3+4+?+10=55 个奇数,a10 为由第 46 个到第 55 10?91+109? 个奇数的和,即 a10=(2×46-1)+(2×47-1)+?+(2×55-1)= =1 000. 2 15.(2014·陕西文,14)已知 f(x)= ,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)), 1+x

x

n∈N+, 则 f2014(x)的表达式为________.
[答案]

x
1+2014x

x
[解析]

f1(x)=f(x)=

x
1+x

,f2(x)=f(f1(x))=

1 = ,f3(x)=f(f2(x))= x 1+2x 1+ 1+x

1+x

x
1+2 1+ 1+2x

x



,?,f2014(x)= .应寻求规律,找出解析式. 1+3x 1+2014x

x

x

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,前 4 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16.已知 a>0,b>0,求证: [证明] 证法一:(综合法) ∵a>0,b>0, ∴

a b + ≥ a+ b. b a

a b + b≥2 a,当且仅当 a=b 时取等号,同理: + a≥2 b,当且仅当 a=b 时 b a

取等号. ∴ 即

a b + b+ + a≥2 a+2 b, b a a b + ≥ a+ b. b a

证法二:(分析法) 要证

a b + ≥ a+ b , b a

只需证:a a+b b≥a b+b a, 只需证:a a+b b-a b-b a≥0, 而 a( a- b)-b( a- b)=( a+ b)( a- b) ≥0, 当且仅当 a=b 时取等号,
2

6

所以

a b + ≥ a+ b . b a

证法三:(反证法) 假设当 a>0,b>0 时, 由

a b + < a+ b. b a

a b a b + < a+ b,得 + - a- b<0, b a b a a a+b b-a b-b a a b a? a- b?-b? a- b? a b
? a+ b?? a- b?
2







a b

<0,

当 a>0,b>0 时,显然不成立,∴假设不成立. 故

a b + ≥ a+ b. b a
1

17.在△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证:

AD

2



1

AB

2



1

AC2

,那么在四面体 ABCD 中,

类比上述结论,你能得到怎样的猜想?并说明理由. [证明] 如图(1)所示,由射影定理 AD =BD·DC,AB =BD·BC,AC =BC·DC, ∴ = 1
2 2 2

AD

2



1 BD·DC

BC2 BC2 = 2 . BD·BC·DC·BC AB ·AC2
2 2 2

又 BC =AB +AC , ∴ ∴ 1

AD
1

2

= =

AB2+AC2 1 1 = + . AB2·AC2 AB2 AC2
1 + 1 .

AD2 AB2 AC2

猜想:类比 AB⊥AC,AD⊥BC 猜想: 四面体 ABCD 中,AB、AC、AD 两两垂直,

AE⊥平面 BCD.则 2= 2+ 2+ 2. AE AB AC AD
如图(2),连结 BE 交 CD 于 F,连结 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD, ∴AB⊥平面 ACD.

1

1

1

1

7

而 AF? 面 ACD, ∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, ∴ 1

AE

2



1

AB

2



1

AF2

.

在 Rt△ACD 中,AF⊥CD, ∴ ∴ 1

AF
1

2

= =

1 1

AC AB

2

+ +

1

AD2
1

AE

2

2

AC

2



1

AD2



故猜想正确. 18.已知数列{an},a1=5 且 Sn-1=an(n≥2,n∈N+). (1)求 a2,a3,a4,并由此猜想 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明{an}的通项公式. [分析] 利用不完全归纳法猜想归纳出 an, 然后用数学归纳法证明. 解题的关键是根据 已知条件和假设寻找 ak 与 ak+1 和 Sk 与 Sk+1 之间的关系. [解析] (1)由已知,得 a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=5+5
? ?5?n=1? +10=20,an=? n-2 ? ?5×2 ?n≥2?

.
2-2

(2)①证明当 n=2 时,a2=5×2

=5,表达式成立.

当 n=1 时显然成立,下面用数学归纳法证明 n≥2 时结论亦成立. ②假设 n=k(k≥2,k∈N+)时表达式成立,即 ak=5×2 则当 n=k+1 时,由已知条件和假设有
k-2



ak+1=Sk=a1+a2+?+ak
=5+5+10+?+5×2 5?1-2 ? =5+ 1-2 =5×2 =5×2
k-1 k-1 k-2

(k+1)-2

.故当 n=k+1 时,表达式也成立.
n-2

由①②可知,对一切 n(n≥2,n∈N+)都有 an=5×2
2 2 2

.

19.在圆 x +y =r (r>0)中,AB 为直径,C 为圆上异于 A,B 的任意一点,则有 kAC·kBC =-1.你能用类比的方法得出椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中有什么样的结论?并加以证明.

x2 y2 a b

x2 y2 [解析] 类比得到的结论是:在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中,A,B 分别是椭圆长轴的左右 a b

8

端点,点 P(x,y)是椭圆上不同于 A,B 的任意一点,则 kAP·kBP=-

b2 a2

证明如下:设 A(x0,y0)为椭圆上的任意一点,则 A 关于中心的对称点 B 的坐标为 B(-

y-y0 y+y0 y2-y2 0 x0, -y0), 点 P(x, y)为椭圆上异于 A, B 两点的任意一点, 则 kAP·kBP= · = . x-x0 x+x0 x2-x2 0

? ? 由于 A,B,P 三点在椭圆上,∴? x y ?a +b =1. ?
2 0 2 2 0 2

x2 y2 + =1, a2 b2

x2-x2 y2-y2 0 0 两式相减得, 2 + 2 =0, a b y2-y2 b2 b2 0 ∴ 2 2=- 2,即 kAP·kBP=- 2. x -x0 a a
故在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中,长轴两个端点为 A,B,P 为异于 A,B 的椭圆上的任意一 点,则有 kAP·kBP=- 2. 20.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点, 若 f(c)=0, 且 0<x<c 时,f(x)>0. 1 (1)证明: 是 f(x)=0 的一个根;
2

x2 y2 a b

b2 a

a a

1 (2)试比较 与 c 的大小; (3)证明:-2<b<-1. [解析] (1)证明:∵f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2, ∵f(c)=0, ∴x1=c 是 f(x)=0 的一个根.

c 1 1 又 x1x2= ,∴x2= ( ≠c), a a a
1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根.

a

1 (2)解:假设 <c.

a

1 由 >0,当 0<x<c 时,f(x)>0,

a

1 1 1 知 f( )>0,与 f( )=0 矛盾,∴ ≥c,

a

a

a

9

1 1 又∵ ≠c,∴ >c.

a

a

(3)证明:由 f(c)=0,得 ac+b+1=0, ∴b=-1-ac. 又 a>0,c>0,∴b<-1. 二次函数 f(x)的图象的对称轴方程为 x=- = 2a 又 a>0,∴b>-2, ∴-2<b<-1. 21.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知对任意的 n∈N+, 点(n, Sn)均在函数 y=b +r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (2) 当 b = 2 时,记 bn = 2(log2an + 1)(n ∈ N + ) ,证明:对任意的 n ∈ N + ,不等式
x

b

x1+x2 x2+x2
2 < 2

1 b 1 =x2= ,即- < . a 2a a

b1+1 b2+1 bn+1 · ·?· > n+1成立. b1 b2 bn
[解析] (1)因为对任意 n∈N+,点(n,Sn)均在函数 y=b +r(b>0 且 b≠1,b,r 均为 常数)的图像上,所以 Sn=b +r.当 n=1 时,a1=S1=b+r, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=b +r-(b
n n-1 n x

+r)=b -b

n

n-1

=(b-1)b

n-1



又因为{an}为等比数列,所以 r=-1,公比为 b,an=(b-1)b (2)证明:当 b=2 时,an=(b-1)b
n-1

n-1

.

=2

n-1



bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n,


bn+1 2n+1 b1+1 b2+1 bn+1 3 5 7 2n+1 = ,所以 · ·?· = · · ·?· . bn 2n b1 b2 bn 2 4 6 2n

3 5 7 2n+1 下面用数学归纳法证明不等式: · · ?· > n+1. 2 4 6 2n 3 3 ①当 n=1 时,左边= ,右边= 2,因为 > 2,所以不等式成立. 2 2 ②假设当 n=k(k∈N+)时,不等式成立, 3 5 7 2k+1 即 · · ·?· > k+1.则当 n=k+1 时, 2 4 6 2k 3 5 7 2k+1 2k+3 左边= · · ·?· · 2 4 6 2k 2k+2 2k+3 > k+1· = 2k+2
2

?2k+3? 4?k+1?

2



4?k+1? +4?k+1?+1 4?k+1?

10



1 ?k+1?+1+ > ?k+1?+1, 4?k+1?

所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 由①②可得,不等式对任何 n∈N+都成立, 即

b1+1 b2+1 bn+1 · ·?· > n+1恒成立. b1 b2 bn

11


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