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第9次课-平面图形及其位置关系


平面图形及其位置关系
一、知识点:
一、线段、射线、直线 1、线段、射线、直线的定义 (1)线段:线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。线段可以量出长度。 (2)射线:将线段向一个方向无限延伸就形成了射线,射线有一个端点。射线无法量出长 度。 (3) 直线: 将线段向两个方向无限延伸就形成了直线, 直线没有端点。 直线无法量出长度。 2、线段、射线、

直线的表示方法 (1) 线段的表示方法有两种: 一是用两个端点来表示, 二是用一个小写的英文字母来表示。 (2)射线的表示方法只有一种:用端点和射线上的另一个点来表示,端点要写在前面。 (3)直线的表示方法有两种:一是用直线上的两个点来表示,二是用一个小写的英文字母 来表示。 3、直线公理:过两点有且只有一条直线。简称两点确定一条直线。 4、线段的比较 (1)叠合比较法; (2)度量比较法。 5、线段公理: “两点之间,线段最短”。连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离。 6、线段的中点:如果线段上有一点,把线段分成相等的两条线段,这个点叫这条线段的 中点。若 C 是线段 AB 的中点,则:AC=BC=

1 AB 或 AB=2AC=2BC 2

二、角 1、角的概念: (1) 角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。 两条射线叫角的边, 共同的端点 叫 角的顶点。 (2)角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。 2、角的表示方法: 角用“∠”符号表示 (1)分别用两条边上的两个点和顶点来表示。 (顶点必须在中间) (2)在角的内部写上阿拉伯数字,然后用这个阿拉伯数字来表示角。 (3)在角的内部写上小写的希腊字母,然后用这个希腊字母来表示角。 (4)直接用一个大写英文字母来表示。 3、角的度量:会用量角器来度量角的大小。 4、角的单位:角的单位有度、分、秒,用°、′、〃表示,角的单位是 60 进制与时间单 位 ° ′ 〃 是类似的。度、分、秒的换算:1°=60′,1′=60〃。 5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小 (1)平角:角的两边成一条直线时,这个角叫平角。 (2)周角:角的一边旋转一周,与另一边重合时,这个角叫周角。 (3)0°<锐角<90°,直角=90°,90°<钝角<180°,平角=180°,周角=360°。 6、画两个角的和,以及画两个角的差 (1)用量角器量出要画的两个角的大小,再用量角器来画。 (2)三角板的每个角的度数,30°、60°、90°、45°。 7、 角的平分线 从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。 BD 是 若

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∠ABC 的平分线,则有:∠ABD=∠CBD=

1 ∠ABC; ∠ABC=∠ABD=2∠CBD 2

三、平行线和垂线 1、平行线的定义: (1)如果在同一平面内的两条不相交的直线叫平行线。 (2) 平行线用“‖”来表示; 强调要在同一平面内, 若不在同一平面内的两条直线, 又不 平 行,又不相交,叫异面直线;线段、射线的平行关系根据它所在的直线来决定,若它们所在 的 直线不相交,就平行,若所在的直线相交,就不平行。 2、平行的公理及推论: (1)平行公理:若经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。 (2)平行公理的推论:两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也相互平行。 (平 行 于同一直线的两直线平行) 3、画已知直线的平行线的方法 用直尺和三角板画平行线。 4、垂直的概念: (1) 如果两条直线相交成直角, 那么这两条直线互相垂直, 其中一条直线叫另一条直线的 垂 线,它们的交点叫做垂足。 (2)两条线段互相垂直指它们所在的直线互相垂直。 (3)两条直线垂直用“⊥”来表示,如直线 AB 与直线 CD 垂直,记作:AB⊥BC 5、垂线段的概念: (1)过一点 A 做直线 a 的垂线,垂足为 B,则线段 AB 叫直线 a 的垂线段。 (2)直线外一点 A 到直线 a 的垂线段长度叫点 A 到直线 a 的距离。 6、垂直的性质:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 四、七巧板 七巧板的制作:七巧板由 5 块三角形,1 块正方形,一块平行四边形组成。

补充结论:
平面内 n 条直线,最多可有 ..

n?n ? 1? 个交点; 2

过平面上 n 个点中的两个点,最多可画 .. n 个班进行单循环比赛,共比赛

n?n ? 1? 条直线; 2

n?n ? 1? 场; 2 n?n ? 1? n 个人相互握手的总次数为 次; 2 n?n ? 1? 直线上有 n 个点,则一共有 条线段; 2 n?n ? 1? 有公共端点的 n 条射线共可组成 个角; 2 n2 ? n ? 2 平面内 n 条直线最多可将平面分成 个部分. .. 2

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时钟的时针与分针的夹角公式:设为 a 点 b 分。 |30oa-5.5ob| 注意:我们 所求的角指不超过 180o 的角, 当所求的度数大于 180 度时, 就用 360 度减去这 个度数。 二、典型例题:
1、 图(1)中有______条线段,分别表示为___________
A D C B

2、 时钟表面 3 点 30 分时,时针与分针所夹角的度数是______。 3、 已知线段 AB,延长 AB 到 C,使 BC= 为 。
C

图 ( 1)

1 AB,D 为 AC 的中点,若 AB=9cm,则 DC 的长 3
北 A 30o O 东

4、如图(2) ,点 D 在直线 AB 上,当∠1=∠2 时, CD 与 AB 的位置关系是 。
B 1 2 A
图(3)

5、如图(3)所示,射线OA的方向是北偏_________度。

D 图(2)

6、将一张正方形的纸片,按如图(4)所示对折两次,相邻两折痕间的夹 角的度数为 度。

7、如图(6) ,把一张长方形的纸按图那样折叠后,B、D 两点落在 B′、D′点 A 0 处,若得∠AOB′=70 , 则∠B′OG 的度数为 。
C

图(4) O

B

B' 图(6) D '

G

D

8、下列说法中正确的个数为(



①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 ②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ④平行同一直线的两直线平行 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

9、如图,已知∠AOB 内有一点 P,过点 P 画 MN∥OB 交 OA 于 C,过点 P 画 PD⊥OA,垂足为 D, 并量出点 P 到 OA 距离。
B P O A 第19题图

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10、如图已知点 C 为 AB 上一点,AC=12cm, CB= 长。

2 AC,D、E 分别为 AC、AB 的中点求 DE 的 3

A

E C 第20题图

D

B

21、如图,直线 AB、CD、EF 都经过点 O,且 AB⊥CD,∠COE=35 , 求∠DOF、∠BOF 的度数。
C E

0

A

O

B

F

D

9、如图已知∠AOB=

1 ∠BOC, ∠COD=∠AOD=3∠AOB, 求∠AOB 和∠COD 的度数。 2
D A O B C 第23题图

三、过关测试:
一、填空题: (每小题 3 分,共 30 分)

1. 过平面内一点,能画________条直线;过平面内两点,能画________条直线. 2. 下面说法:①直线 AB 与直线 BA 是同一条直线;②射线与射线 BA 是同一条 射线;③线段 AB 与线段 BA 表示同一条线段;④直线、射线和线段上有无 限多个点. 其中错误的是_________(填序号). 3. 0.15°=_________′=_________″,60°=________平角=_________周角. 4. 如图 4-1,∠AOB=114°15′,则∠AOC=________________. 5. 小明利用星期天搞社会调查活动, 早晨 8∶00 出发, 中午 12∶30 到家,则出发时和到家时时针和分针的夹角分别 A 为________度和________度. 6. 已知一条射线 OA, 再引射线 OB 和 OC 使∠AOB=80°∠
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C

O 图 4-1

B

AOC=30°,则∠BOC 的度数是___________________. 7. 如图 4-2,以 O 为顶点的角是___________________________,以 B 为顶点 的角(不含平角)是___________________________________.
D C B A O A 图 4-2 F E ② ③ ④ 图 4-3 B ①

8. 已知如图 4-3,从 A 地到 B 地有四条路线,其中最近的是________,其理由 是___________________________________________. 9. 在直线 l 上顺次取 A、 C 三点, B、 AB=6, BC=4, AC 的中点 O, AO=_______, 取 则 OB=____________. 10. 如 图 4-4 , 指 出 其 中 的 平 行 线 , 并 表 示 出 来 _________________________________.
二、选择题: (每小题 3 分,共 30 分) B F A E C G 图 4-4 b a 直线 aB D B C B

11. 图 4-5 各直线的表示法中,正确的是(
A 直线 A A A B a



直线 AB B 图 4-5

直线 ab C

12. 如图 4-6,∠AOB=∠COD=90°,∠BOC=42°, 则∠AOD=( A. 48° C. 138° 在( ) B. ∠AOC>∠BOC D. ∠AOC=∠BOC ) B. 148° D. 128°

O

A

13. ∠AOB 内部任取一点 C,作射线 OC,则一定存
D 图 4-6

A. ∠AOB>∠AOC C. ∠BOC>∠AOC 理由是( )

14. 栽树时,只要确定两个树坑的位置,就可以确定同一行树坑所在的位置,其 A. 过两点有且只有一条直线 B. 两点之间所有连线中,线段最短
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C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 15. 如图 4-7,在方格纸上给出的线中,平行和垂直各有 ( ) B. 3 对,3 对 D. 2 对,2 对 ) B. AB ? AC D. AB+BC=AC ) B. ∠2=∠3 D. ∠1、∠2、∠3 互不相等 ) B. 一定相交 D. 重合 )
1 2
图 4-7

A. 2 对,1 对 C. 3 对,1 对 线段 AC 的中点的是( A. AB=BC C. 2AB=AC A. ∠1=∠2 C. ∠1=∠3 A. 一定互相平行 C. 可能平行也可能相交

16. 点 B 在线段 AC 上,在下列条件下,不能确定点 B 是

17. 若∠1=25°12′,∠2=25.12°,∠3=25.2°,则下面说法正确的是(

18. 在同一平面内,直线 a∥b,b∥c,则直线 a 与直线 c 的关系为(

19. 如图 4-8,直线 l、线段 a 及射线 OA 能相交的图形是(
a l a A O O A 图 4-8 l a

l

A

B

C

D

20. 观察图 4-9 中点划分直线的情况,结合实践进行比较可发现,n 个点可把直 线分成__________部分.

三、解答题: (满分 60 分)

图 4-9

21. (6 分)把一根木条钉在墙上,在只钉了一颗钉子的时候,这根木条还可以 转动,为什么?如果在这根木条的其他地方再钉上一颗钉子,这根木条就不 会动了,这是为什么? 22. (8 分)计算: (1)19°23′×4
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(2)56°÷6
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23. (10 分)已知点 A、B、C 都在直线 l 上,且 AB=6cm,BC=2cm,则 A、C 两点的距离是多少?

24. (14 分)图 4-10 是由一副三角尺拼成的图案,试确定图中各角的度数.
3 2 1 7 6

5 4

图 4-10

25. (10 分)如图 4-11,一只蚂蚁从 O 点出发,沿北偏东 45°的方 向爬行 2.5cm,碰到障碍物(记做 B)后,折向北偏西 60°的方 向爬行 3cm(此时的位置记作 C). (1)画出蚂蚁爬行路线; (2)求出∠OBC 的度数.



O

图 4-11

26. (12 分)利用图 4-12 可以制作七巧板. (1)分别找出三组互相平行的线段及互相垂直的线段,

A L O

D

E
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G H B F 图 4-12 C

并用符号表示出来; (2)找出一个锐角、一个钝角、一个直角,将它们表示出来,并说明分别 是多少度角. (3)请你用这副七巧板设计一个图形.

1.如图,已知∠AOB 是直角,∠BOC=60 , OE 平分∠AOC,OF 平分∠BOC. (1)求∠EOF 的度数; 0 0 0 (2)若将条件“∠AOB 是直角,∠BOC=60 ”改为: ∠AOB= x ,∠EOF=y ,其它条件不变. 0 ①则请用 x 的代数式来表示 y.②如果∠AOB+∠EOF=156 .则∠EOF 是多少度?

0

A

E

O
2.若时钟由 2 点 30 分走到 2 点 50 分,问时针、分针各转过多大的角度?

B F C

3.如图,在△ABC 中,CE⊥AB 于 E,DF⊥AB 于 F,AC∥ED,CE 是∠ACB 的平分线,求证: ∠EDF=∠BDF.

4.如图甲用边长 10cm 的正方形 ABCD 纸板做了一套七巧板.拼成一座桥(如图乙) , 2 阴影部分的面积是( )cm A、25 B、50 C、75 D、100

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