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高中数学二级结论15页


高中数学二级结论
1. 任意的简单 n 面体内切球半径为 3V/S 表 V 是简单 n 面体的体积, S 表是简单 n 面体的 表面积, 2. 在任意三角形内都有 tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,至于有什么用, , ,:三个 tan 加 起来如果是负的那就是钝角三角形了 3. 矩阵和矩阵逆的行列式,特征值都互为倒数, 4. 斜二测画法画出的图形面

积变小了,为原来的√2/4 倍 5. 过椭圆准线上一点作椭圆切线,两切点所在直线必过椭圆相应焦点,椭圆准线广义称极 线,那个是极线的性质之一 6. 在做导数题的时候要熟练以下不等式便于放缩等。 。 。e^x≥x+1 lnx≤x-1 泰勒基数展 开,这个常用,一般前一问有提示 7. 球的体积:V(r)=(4/3pi)r^3 求导:V'R=4pir^2=表面积, , ,神奇!:这个我们老师的解释是,球的体积可以看成无穷 个表面积的积分,所以体积的微分就应该是表面积 8. 椭圆的面积 S=派 ab 应该很难用上 ,直接换元,转换成圆,再换回去就行了 9. 圆锥曲线切线, 隐函数求导 高考不让用:用于秒杀选择填空, 大题找思路以及验证等 x 不用处理 10. 来个非常有用的, 。 过 椭 圆 x? /a? +y? /b? 上 任 意 一 点 (x0,y0) 的 切 线 方 程 为 xx0/a? +yy0/b? 既用 xx0 替换 x? 用 yy0 替换 y? 。双曲线也一样 这个椭圆切线的结论 可以用的,同理圆、双曲线、抛物线的切线方程都可以直接用 11. 来个比较少用,但是选择填空一考到你可以捞大把时间的⊙▽⊙。 。 。 。过椭圆外一 点(x0,y0)作椭圆的两条切线,过两切点的直线方程为 xx0/a? +yy0/b? =1 这个叫做切点 弦方程 12. 分享个最最有用的。 。椭圆 x? /a? +y? /b? =1 与直线 Ax+By+C=0 相切的条件是 A? a? +B? b? =C? 至于椭圆焦点在 y 轴上的情况, , 。欢迎讨论 把 a、b 换个位置就行了个 最屌,双曲线的话上面的+号变-号,秒出答案 13. 设双曲线方程 x^2/a^2-y^2/b^2=1,双曲线焦点到渐近线距离为 b 14. 托密勒定理 有道证明题用过这个 15. 椭圆焦点三角形设顶角为 A.焦点三角形面积为 b 平方 tanA/2,双曲线是 cot 16. 1.函数 f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c 的充要条件是函数关于((a+b)/2,c/2)中心对称 2.函数 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x)的充要条件是函数关于 x=(a+b)/2 轴对称 3.L*Hospital*s rule 4.三角形中射影定理:a=bcosC+ccosB 5.任意三角形内切圆半径 r=2S/(a+b+c) 6.任意三角形外切圆半径 R=abc/4S=a/2sinA 7.Euler 不等式:R>2r 8.海伦公式的变式:设三角形内切圆分三角形三边为不相邻的线段 x,y,z 则 S=sqrt(xyz(x+y+z))=1/4*sqrt(∑a∏(a+b-c)) 9.边角边面积公式:S=a^2sinBsinC/2sin(B+C) 10.各种三角恒等式 11.各种三角不等式: 1)在锐角三角形中成立不等式:∑sinA>∑cosA 2)嵌入不等式:x^2+y^2+z^2>=∑2yzcosA,x,y,z 为实数

12.权方和不等式 13.赫尔德不等式 14.卡尔松不等式(柯西不等式的推广形式) 15.切比雪夫不等式 16.舒尔不等式及舒尔分拆 17.琴生不等式 18.幂平均不等式 19.pqr、uvw、sos 法 20.拉格朗日插值定理 21.拉格朗日中值定理 22.泰勒级数与迈克劳林级数 23.积分放缩于常用对数不等式 17.

18. 对与椭圆交于四点的两条直线, 四点共圆的充要条件是两直线与 x 正半轴夹角互补 曲线系 19. p 为椭圆上一点,∠F1PF2=θ 则 cos(θmax)=1-2e^2 20. 焦半径公式也不知道高考让不让用 R=a± ex 也可以用 可以一步推出来 他就没话说了 用 x0y0 表示出椭圆上的点 然 后求其到(c,0)的距离 然后将椭圆里的 y^2 移动到一边 替代前文的距离 看起来很复 杂也就两个式子

21.

这个是无意中发现的,k2 为 k1、k3 的角分线(其中 k1、k2、k3 为斜率)则有以上关 系式 (也就是知二求一) 22. 对于任意二次方程满足一下形式 ax^n+by^n=r 则过该函数上一点(x1,y1)的切线方程为 ax1x^(n-1)+by1y^(n-1)=r 隐函数很好推的 23. 关于弧长的 弧长 L=∫(x*)^2+(y*)^2 dθ 实在不行了套公式怒解吧 汗 少 打 个 根 号 还 是 给 微 分 形 式 吧 ( dL ) ^2=(dx)^2+(dy)^2 24. 若已知函数 f(x)的渐近线方程 y=ax+b 则 lim(x→+∞)f(x)/x=a lim(x→+∞)f(x)-ax=b 另一种渐近线就是当 x 的取值令函数无意义的时候那条 垂直于 x 轴的直线也是渐近线,比如 1/0 就是 x=0 是渐近线 :对勾函数 25. 函数的凹凸(辅助画图) 当函数 f(x)的二阶微分大于 0 时函数为凹 当函数 f(x)的二阶微分小于 0 时函数为凸 椭圆绕 x^2/a^2+y^2/b^2=1 绕 ox 轴 旋转所得的旋转体的面积

V=4/3*πab 椭圆标准方程不是关于 x 轴对称吗,绕着 x 轴旋转就行了 26. 若圆 1 与圆 2 相交,则联立两个方程式得到的直线方程为交点连线方程 两个 方程相减 27. 正 方 体 体 对 角 线 是 边 长 的 根 号 3 倍 勾 股 定 理

28. 洛必达法则 遇到 0/0 或 无穷/无穷 时 非常实用 选择题的图像题, 导数的分离 参数 29. 内角平分线定理 30. 在锐角三角形中成立不等式:∑sinA>∑cosA,这个里面∑是什么意思??还有还有, 循环求和是什么意思?简单介绍一下吧。???谢谢啦,百度轮换式 31. PS 求问 焦点在 y 轴直接 ab 对换就 OK 了吧。不想推了。 32. 了 切点弦方程和图像上点的切线方程是一个方程, 我最喜欢推导出能广泛使用的结论 极点极线

33. 若 x=a 与 x=b 均为函数对称轴

则该函数为周期函数且周期为丨 2a-2b 丨 可以说有两条垂直于 x 轴的对称轴的函数必 为周期函数 34. y=kx+m 与椭圆相交于两点则交点纵坐标之和=2mb^2/(a^2k^2+b^2) 35. 已知三角形三边 x,y,z 求周长

A+B=x? B+C=y? C+A=z? 2S=√(AB+BC+CA)

虽然这个公式跟海伦公式等价 但是给你个三角形三边√27,√28,,√29 就看出差距了 36. 圆锥曲线的第二定义 椭圆的第二定义 平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数 e(即椭圆的偏心率, e=c/a)的点的集

合(定点 F 不在定直线上,该常数为小于 1 的正数 双曲线第二定义 平面内,到给定一点及一直线的距离之比大于 1 且为常数的点的轨迹称为双曲线。 抛物线定义: 平面内,到一个定点 F 和不过 F 的一条定直线 l 距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物 线。另外 , F 称为"抛物线的焦点", l 称为"抛物线的准线"。 该定义等价于 椭圆的离心率:e=∈c/a(0,1)(c,半焦距;a,长半轴(椭圆)/实半轴(双曲线) ) 抛物线的离心率:e=1 双曲线的离心率:e=∈c/a(1,+∞) (c,半焦距;a,长半轴(椭圆)/实半轴(双曲线) ) 有的题是根据第二定义出的,熟悉之后对做题有好处 37. 数列不动点很好用 38.

39.

40. 帕思卡定理-非退化二次曲线 41. 已知向量 OA=m 向量 OB+n 向量 OC 时可以同除(m+n)构造成共线定理 42. 到角公式 万能体积公式 43. S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))三角形的海伦公式推荐掌握,全国卷曾有类似的题, 44. 过双曲线 x∧2/a∧2-y∧2/b∧2=1 上任意一点作两条渐近线的平行线,围成的四 边形面积为 ab/2

45. 反比例函数 y=k/x(k>0)为双曲线,焦点为[(2k)∧? , (2k)?],和[-(2k) ∧? ,-(2k)?],k<0 不解释

46.柯西不等式 常见形式

二维形式

等号成立条件: 当且仅当

(即

)时,取"=”。

向量形式

证明: (只是对二维的说明)

推广:

三角形式

等号成立条件:

(即

) 。

一般形式

等号成立条件:

,或

中有一为零。 上述不等式等同于概述图中的不等式。

一般形式推广

此推广形式又称卡尔松不等式,其表述是:在 m× n 矩阵中,各列元素之和的几何平均 不小于各行元素的几何平均之和。

概率论形式

积分形式

一般形式
设 V 是一线性空间,在 V 上定义了一个二元实函数,称为内积,记做

,它具有以下性质: 1、

2、

3、

4、

当且仅当

并定义 α 的长度

,则柯西不等式表述为:

证明

二维形式的证明

等号在且仅在 ad-bc=0即 ad=bc 时成立。

三角形式的证明

两边开平方得

一般形式的证明
剩余几种情形都是一般情形的特例,完全可以用一般情形的证明方法来证。

应用编辑
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据, 我们在教 学中应给予极大的重视,技巧以拆常数,凑常值为多

巧拆常数证不等式
例:设 a、b、c 为正数且互不相等,求证:

。 证明:如果了解柯西不等式,那么很简单

。 附证 设

,则所证不等式等价于

。 因为

。 所以上式显然成立。

求某些函数最值

例:求函数

的最大值。 函数的定义域为[5,9],y>0, 则

。 函数仅在

,即

时取到。 以上只是柯西不等式的部分示例


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