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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1


2.2.1 用样本的频率分布 估计总体分布

温故知新 画频率分布直方图其一般步骤为: (1)计算一组数据中最大值与最小值的差, 即求极差 (2)决定组距与组数 (3)将数据分组 (4)列频率分布表 (5)画频率分布直方图

温故知新

频率 = 频率 1.小长方形的面积 = 组距× 组距 2.所有小长方形的面积之和等于1

2.2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征

温故知新
1、众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫 做这组数据的众数.
2、中位数:将一组数据按大小依次排列,把处 在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均 数)叫做这组数据的中位数. 3、平均数: 一般地,如果n个数 x1 , x2 ,..., xn ,那 1 么, x ? ( x1 ? x2 ? ...xn ) 叫做这n个数的平均数。 n 例1:对于数据 3, 3, 2, 3, 6, 3, 10, 3, 6, 3, 2,

说出众数,中位数和平均数

在课本例题中抽样调查的100位居民的 月均用水量的数据中,求一下这一组样本 数据的 众数、中位数和平均数

3.1 3.4 3.2 3.3 3.2 3.0 2.5 2.6 2.5 2.8

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5

2.0 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.3 2.4 2.3 2.2

2.0 2.2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.3 2.1 2.1 2.0

1.5 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5

1.0 1.2 1.2 1.3 1.4 1.3 1.3 1.4 1.0 1.0

1.6 0.2 3.7 3.6 3.5 1.4 1.3 1.2 1.0 1.2

1.8 0.4 1.5 1.7 1.9 1.8 1.6 1.5 1.7 1.8

1.9 0.3 0.5 0.6 0.8 0.7 0.9 0.5 0.8 0.6

1.6 0.4 3.8 4.1 4.3 2.0 2.3 2.4 2.4 2.2

在上一节抽样调查的100位居民的月均 用水量的数据中,求一下这一组样本数据 众数、中位数和平均数 的
众数 : 2.3(t)

中位数 : 2.0(t) 平均数 : 2.0(t)

那么,观察这组数据的频率分布直方图,能 否得出这组数据的众数、中位数和平均数?

如何利用频率分布直方图求众数:
频率 组距

频率分布直方图

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

二 、众数、中位数、平均数与频率分布直 方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图中,就是最高矩 形的中点的横坐标。
例如,在上一节调查的100位居民的月均用水量的 问题中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看出, 月均用水量的众数是2.25t.如图所示:

如何利用频率分布直方图求众数:
频率 组距

频率分布直方图

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0.5

众数(最高的矩形的中 点)

1

1.5

2

2.5

3

3.5

月均用水量/t

4

4.5

2.25

如何利用频率分布直方图求中位数:
在样本中,有50%的个体小于或等于中位数,也有 50%的个体大于或等于中位数.因此,
在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图

的面积应该相等,都为0.5,由此可以估计中位数的值。
下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值,此 数据值为2.02t.

如何利用频率分布直方图求中位数:
S1=0.04<0.5 S1+ S2 =0.04+0.08=0.12<0.5 S1+ S2 + S3=0.04+0.08+0.15=0.27<0.5 S1+ S2 + S3+S4=0.04+0.08+0.15+0.22=0.49<0.5
x
频率/组距

x是长度 0.5是宽 度

解:设中位数为2+x, 则一小部分的频率为0.5x,

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

所以:0.49+0.5x=0.5
0.5
0.22 0.15 0.08 0.04 S1 S2 S4 S3 S5 S6 S7 S8 S9

解得:x=0.02 所以中位数为2.02

0.5

1

1.5

2

2.5 2.02

3

3.5

4

4.5

月均用水量/t

如何利用频率分布直方图求平均数:
由频率分布直方图可知,在[ 0 , 0.5)中,有4个数 据,但具体是多少,我们不知道,怎么估计这四个 数才能使其尽可能的代表实际值呢? 我们认为这4个数的平均数为0.25,这样就更能符合 实际,那么它们的和为:0.25 ? 4 . 以此类推: 在? 0.5 , 1 ? 内的8个数据的和为:0.75 ? 8 ; ? ?
在? 1, 1.5 ? 内的15个数据的和为:1.25 ? 15 ; ? ?

所以平均数为
0.25 ? 4 ? 0.75 ? 8 ? 1.25 ?15 ? ? 4.25 ? 2 x? 100 4 8 15 2 ? ? 0.25 ? ? 0.75 ? ?1.25 ? ? ? 4.25 100 100 100 100 ? 2.02
_

如何利用频率分布直方图求平均数:

平均数:每个小矩形的面积乘以小矩形底边 中点的横坐标之和
(平均数:每个频率乘以底边中点的横坐标之和)

知识小结

众数:最高矩形的中点的横坐标; 中位数:在频率分布直方图中,中位数的左 右两边的直方图的面积相等,都为0.5; 平均数:每个小矩形的面积乘以小矩形底边 中点的横坐标之和
(平均数:每个频率乘以中点的横坐标之和)

例题讲解

例:某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理 后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图,已知图中从左到右 的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、 0.05. 求:(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数. (2)高一参赛学生的平均成绩.
x

解:(1)由图可知众数为65分,
又∵第一个小矩形的面积为0.3, ∴设中位数为60+x,则0.3+x×0.04=0.5,得x=5,

∴中位数为60+5=65分. (2)依题意,平均成绩为

55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67,

∴平均成绩约为67分.

课堂练习
从高三抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如下的频率

分布直方图.

由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图求: (1)这50名学生成绩的众数与中位数. (2)这50名学生的平均成绩.

解:(1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数.在直方图 中最高的矩形底边中点的横坐标即为所求,所以众数应为75. 将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的 成绩即为所求. ∵0.004×10+0.006×10+0.02×10 =0.04+0.06+0.2=0.3, ∴前三个小矩形面积的和为0.3.
而第四个小矩形面积为0.03×10=0.3,0.3+0.3>0.5, ∴中位数应位于第四个小矩形内. 设其底边为x,高为0.03,∴令0.03x=0.2得x≈6.7, 故中位数应为70+6.7=76.7. (2)平均成绩为 45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+65×(0.02×10)+ 75×(0.03×10)+85×(0.021×10)+95×(0.016×10)≈74, 综上,(1)众数是75,中位数约为76.7;(2)平均成绩均为74分.

深入理解
我的工资是 1500元,在公 司算中等收入

我们好几 个人工资 都是1200 元

技术员C
这个公司员 工收入到底 怎样?

技术员D

赵 经 理
我这里报酬不错, 月 平均工资是3000元,你 在这里好好干!

应聘者小范
第二天,小范哼着小歌上班了.

小范在公司工作了一周后

经理,你忽悠 了我,我已问过 其他技术员,没 有一个技术员 的工资超过 3000元.

平均工资确实 是每月3000元, 你看看公司的 工资报表.

下表是该公司月工资报表:
员工 总工 程师 9000 工程 师 7000 技术 员A 2800 技术 员B 2700 技术 员C 1500 技术 员D 1200 技术 员E 1200 技术 员F 1200 见习 技术 员G 400

工资

(1)请观察表中的数据, 计算该公司员工的月平 均工资是多少? 经理是否忽悠了小范? (2)技术员C与技术员D是否忽悠了小范?他们又 是用的数据中的那些量呢?

众数
我们好几 个人工资 都是1200 元

我的工资是 1500元,在公 司算中等收入

技术员C

中位数
技术员D

(2)技术员C与技术员D是否忽悠了小范?他们又 是用的数据中的那些量呢?

知识小结
名称 优点 缺点

众数

只能表达样本数据很少的 体现了样本数据的最大集 一部分信息,无法客观反 中点 映总体特征
不受少数几个极端值 的影响 反映出更多的关于样本 数据全体的信息

中位数

对极端值不敏感

平均数

任何一个数据的改变 都会引起平均数的改变

1、 某工厂人员及工资构成如下:
人员 周工资 人数 合计 经理 管理人员 高级技工 工人 2200 250 220 200 1 6 2200 1500 5 1100 学徒 合计 100 23 6900

10 1 2000 100

(1)指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数

(2)这个问题中,工资的平均数能客观地反映该厂 的工资水平吗?为什么?
分析:众数为200,中位数为220,平均数为300。
因平均数为300,由表格中所列出的数据可见,只有 经理在平均数以上,其余的人都在平均数以下,故用平 均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。

课堂练习:

2.某医院的记录表明,以往到急诊中心就 诊的病人需等待的时间的频率分布如下:
等待时间 (min)
[0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25)

频率

0.20

0.40

0.25

0.10

0.05

估计到这个中心就疹的病人平均需要等待的时间是 9.5min 8.75min 7.5min 等待时间的众数及中位数分别是 _____________________

x ? 2.5 ? 0.20 ? 7.5 ? 0.40 ? 12.5 ? 0.25 ? 17.5 ? 0.10 ? 22.5 ? 0.05 ? 9.5

3、下面是一家快餐店所有工作人员(共7人)一周的 工资表:
总经 理 3000 大厨 二厨 采购 员 400 杂工 服务 员 320 会计

450

350

320

410

(1) 计算所有人员一周的平均工资; (2) 计算出的平均工资能反映所有工作人员 这一周收入的一般水平吗? (3) 去掉总经理的工资后,再计算平均工资, 这个平均工资能代表一般工作人员一周的收入 水平吗?

课堂小结
1.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系: 众数:最高矩形的中点的横坐标; 中位数:在频率分布直方图中,中位数的左右两边的直方 图的面积相等,都为0.5; 平均数:每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (平均数:每个频率乘以中点的横坐标之和)

2.众数、中位数、平均数的优缺点

课后练习
假设你是一名交通部门的工作人员。你打算向市长报告国家 对本市26条公路项目投资的平均资金数额,其中一条新公路 的建设投资为2 200万元人民币,另外25个项目的投资在20 万与100万.中位数是25万,平均数是100万,众数是20万元。 你会选择哪一种数字特征来表示每一个项目的国家投资?你 选择这种数字特征的缺点是什么? 选择平均数更好:因为,此时的众数20万比中位数25万还小, 所以众数代表的是局部的数。中位数代表的虽然是大多数公路 投资的数额,但由于其不受极端值的影响,不能代表全体,因 而此时成了它的缺点。选择平均数较好,能比较好的代表整体 水平,但缺点是仍不能显示出具体的数字特征


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