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江苏省无锡市江南中学2015-2016学年度八年级数学上学期期中试题(含解析) 苏科版


江苏省无锡市江南中学 2015-2016 学年度八年级数学上学期期中试题
一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分. ) 1.下列长度的各组线段,能组成直角三角形的是( ) A.12,15,18 B.12,35,36 C.0.3,0.4,0.5 D.2,3,4 2.下列实数 ,﹣ ,0. , , , ( ﹣1) ,﹣
0

/>,0.1010010010001?中,其中无理数

共有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 3.如图,直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右无滑动地滚动一周,原点滚到了点 A,下列说 法正确的( )

A.点 A 所表示的是 π B.OA 上只有一个无理数 π C.数轴上无理数和有理数一样多 D.数轴上的有理数比无理数要多一些 4.如图,图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数,由此你可以推断这时的实际时间是 ( )

A.10:05 B.20:01 C.20:10 D.10:02 5.如图,△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,AC 的垂直平分线分别交 AC、AD、AB 于点 E、O、F,则 图中全等三角形的对数是( )

A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 6.如图,△ABD≌△ACE,∠AEC=110°,则∠DAE 的度数为(



A.30° B.40° C.50° D.60° 7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 28°,则顶角是( ) A.28° B.118° C.62° D.62°或 118° 8.如图,点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边△ABC 的边 AB、BC 上的动点(其中 P、Q 不与端点重合) ,

1

点 P 从顶点 A,点 Q 从顶点 B 同时出发,且它们的速度都为 1cm/s,连接 AQ、CP 交于点 M,则在 P、 Q 运动的过程中,下列结论: (1)BP=CM; (2)△ABQ≌△CAP; (3)∠CMQ 的度数始终等于 60°; (4) 当第 秒或第 秒时,△PBQ 为直角三角形.其中正确的结论有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二.填空题(本大题共 10 小题,每空 2 分,共 24 分) 2 9.全球七大洲的总面积约为 149 480 000km ,对这个数据精确到百万位可表示为 10. 的平方根是 , ﹣27 的立方根是 , 当 a =64 时,
2

km . = . .

2

11.如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=35°,∠2=30°,则∠3=

12.一个正数的平方根为﹣m﹣3 和 2m﹣3,则这个数为 . 13.如图,△ABC 中,AB=AC,DE 垂直平分 AB,BE⊥AC,AF⊥BC,则∠EFC=

°.

14.如图,△ABC 中,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中点.若 AD=6,DE=5,则 CD 的长等于



15.如图,DE 是△ABC 中 AC 边上的垂直平分线,若 BC=9,AB=11,则△EBC 的周长为



2

16.如图,有一张直角三角形纸片,两直角边 AC=5cm,BC=10cm,将△ABC 折叠,点 B 与点 A 重合, 折痕为 DE,则 CD 的长为 cm.

17.如图,在△ABC 和△BDE 中,点 C 在边 BD 上,边 AC 交边 BE 于点 F.若 AC=BD,AB=ED,BC=BE, ∠D=60°,∠ABE=28°,则∠ACB= .

18.如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边 AC 沿 CE 翻折,使点 A 落在 AB 上的点 D 处; 再将边 BC 沿 CF 翻折,使点 B 落在 CD 的延长线上的点 B′处,两条折痕与斜边 AB 分别交于点 E、F, 则线段 B′F 的长为 .

三.解答题(本大题共有 7 小题,共 52 分. ) 19.计算下列各式的值 (1) +( ) ﹣2
2 3

(2)求 x 的值:5(x﹣1) ﹣20=0. 20.已知 D、E 两点在△ABC 内,求作一点 P,使 PE=PD,且点 P 到∠B 两边的距离相等(尺规作图, 保留作图痕迹) .

2

3

21.已知:如图,锐角△ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O,且 OB=OC. (1)求证:△ABC 是等腰三角形; (2)判断点 O 是否在∠BAC 的角平分线上,并说明理由.

22.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 60 千米 /时.这时一辆小汽车在一条城市街道直路上行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A 正前方 50 米 C 处,过了 8 秒后,测得小汽车位置 B 与车速检测仪 A 之间的距离为 130 米,这辆小汽车超速 了吗?请说明理由.

23.如图,∠ABC=90°,D、E 分别在 BC、AC 上,AD⊥DE,且 AD=DE,点 F 是 AE 的中点,FD 与 AB 相交于点 M. (1)求证:∠FMC=∠FCM; (2)AD 与 MC 垂直吗?并说明理由.

24.如图 1,长方形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=CD,AD=BC,且 P、Q 分别是边 AD、AB 上的动点.

,点

(1)求 BD 的长; (2)①如图 2,在 P、Q 运动中是否能使△CPQ 成为等腰直角三角形?若能,请求出 PA 的长;若不 能,请说明理由; ②如图 3,在 BC 上取一点 E,使 EC=5,那么当△EPC 为等腰三角形时,求出 PA 的长. 25. 已知: 如图 1, 等边△OAB 的边长为 3, 另一等腰△OCA 与△OAB 有公共边 OA, 且 OC=AC, ∠C=120°. 现 有两动点 P、Q 分别从 B、O 两点同时出发,点 P 以每秒 3 个单位的速度沿 BO 向点 O 运动,点 Q 以每

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秒 1 个单位的速度沿 OC 向点 C 运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止运动.请回答 下列问题: (1)在运动过程中,△OPQ 的面积记为 S,请用含有时间 t 的式子表示 S. (2)在等边△OAB 的边上(点 A 除外) ,是否存在点 D,使得△OCD 为等腰三角形?如果存在,这样 的点 D 共有 个. (3)如图 2,现有∠MCN=60°,其两边分别与 OB、AB 交于点 M、N,连接 MN.将∠MCN 绕着点 C 旋 转,使得 M、N 始终在边 OB 和边 AB 上.试判断在这一过程中,△BMN 的周长是否发生变化?若没有 变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.

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江苏省无锡市江南中学 2015~2016 学年度八年级上学期期中数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分. ) 1.下列长度的各组线段,能组成直角三角形的是( ) A.12,15,18 B.12,35,36 C.0.3,0.4,0.5 D.2,3,4 【考点】勾股定理的逆定理. 【分析】验证两小边的平方和是否等于最长边的平方;应先认真分析所给边的大小关系,确定最大 边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断即可. 2 2 2 【解答】解:A、因为 12 +15 ≠18 ,所以不能组成直角三角形,故选项错误; 2 2 2 B、因为 12 +35 ≠36 ,所以不能组成直角三角形,故选项错误; 2 2 2 C、因为 0.3 +0.4 =0.5 ,所以能组成直角三角形,故选项正确; 2 2 2 D、因为 2 +3 ≠4 ,所以不能组成直角三角形,故选项错误; 故选:C. 【点评】此题考查了勾股定理的逆定理;熟练掌握勾股定理的逆定理,验证两小边的平方和是否等 于最长边的平方是解决问题的关键.

2.下列实数

,﹣

,0.





, (

﹣1) ,﹣

0

,0.1010010010001?中,其中无理数

共有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【考点】无理数. 【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数 是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即 可判定选择项. 【解答】解: ,﹣ , ,0.1010010010001?是无理数. 故选:C. 【点评】此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π ,2π 等;开方开不 尽的数;以及像 0.1010010001?,等有这样规律的数. 3.如图,直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右无滑动地滚动一周,原点滚到了点 A,下列说 法正确的( )

A.点 A 所表示的是 π B.OA 上只有一个无理数 π C.数轴上无理数和有理数一样多 D.数轴上的有理数比无理数要多一些 【考点】实数与数轴. 【分析】首先根据圆周长公式求出圆的周长,然后结合数轴的特点即可确定 A 表示的数.

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【解答】解:A、∵圆的周长为 π ,∴滚动一圈的路程即 π ,∴点 A 所表示的是 π ,故选项正确; B、数轴上不只有一个无理数 π ,故选项错误; C、数轴上既有无理数,也有有理数,故选项错误; D、数轴上的有理数与无理数多少无法比较,故选项错误; 故选 A. 【点评】本题主要考查对数轴的理解掌握情况,任何一个实数,都可以用数轴上的点来表示. 4.如图,图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数,由此你可以推断这时的实际时间是 ( )

A.10:05 B.20:01 C.20:10 D.10:02 【考点】镜面对称. 【分析】根据镜面对称的性质,在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒,且关于镜面对称. 【解答】解:由图分析可得题中所给的“10:05”与“20:01”成轴对称,这时的时间应是 20:01. 故选:B. 【点评】本题考查了镜面反射的原理与性质.解决此类题应认真观察,注意技巧. 5.如图,△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,AC 的垂直平分线分别交 AC、AD、AB 于点 E、O、F,则 图中全等三角形的对数是( )

A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 【考点】全等三角形的判定;线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质. 【专题】压轴题. 【分析】根据已知条件“AB=AC,D 为 BC 中点”,得出△ABD≌△ACD,然后再由 AC 的垂直平分线分 别交 AC、AD、AB 于点 E、O、F,推出△AOE≌△EOC,从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三 角形,要由易到难,不重不漏. 【解答】解:∵AB=AC,D 为 BC 中点, ∴CD=BD,∠BDO=∠CDO=90°, 在△ABD 和△ACD 中,

, ∴△ABD≌△ACD; ∵EF 垂直平分 AC, ∴OA=OC,AE=CE, 在△AOE 和△COE 中,

7

, ∴△AOE≌△COE; 在△BOD 和△COD 中,

, ∴△BOD≌△COD; 在△AOC 和△AOB 中,

, ∴△AOC≌△AOB; 故选:D. 【点评】本题考查的是全等三角形的判定方法;这是一道考试常见题,易错点是漏掉△ABO≌△ACO, 此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形,然后从已知条件入手,分析推理,对结论 一个个进行论证. 6.如图,△ABD≌△ACE,∠AEC=110°,则∠DAE 的度数为( )

A.30° B.40° C.50° D.60° 【考点】全等三角形的性质. 【分析】根据邻补角的定义求出∠AED,再根据全等三角形对应边相等可得 AD=AE,然后利用等腰三 角形的两底角相等列式计算即可得解. 【解答】解:∵∠AEC=110°, ∴∠AED=180°﹣∠AEC=180°﹣110°=70°, ∵△ABD≌△ACE, ∴AD=AE, ∴∠AED=∠ADE, ∴∠DAE=180°﹣2×70°=180°﹣140°=40°. 故选 B. 【点评】本题考查了全等三角形的性质,等腰三角形的判定与性质,熟记性质并准确识图是解题的 关键. 7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 28°,则顶角是( )

8

A.28° B.118° C.62° D.62°或 118° 【考点】等腰三角形的性质. 【专题】分类讨论. 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系,三角形内部,三角形的外部,三角形的边 上.根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立,因而可分两种情况进行讨论. 【解答】解:分两种情况: ①当高在三角形内部时(如图 1) , ∵∠ABD=28°, ∴顶角∠A=90°﹣28°=62°; ②当高在三角形外部时(如图 2) , ∵∠ABD=28°, ∴顶角∠CAB=90°+28°=118°. 故选 D.

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质,熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的 关键,本题易出现的错误是只是求出 62°一种情况,把三角形简单的认为是锐角三角形.因此此题 属于易错题. 8.如图,点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边△ABC 的边 AB、BC 上的动点(其中 P、Q 不与端点重合) , 点 P 从顶点 A,点 Q 从顶点 B 同时出发,且它们的速度都为 1cm/s,连接 AQ、CP 交于点 M,则在 P、 Q 运动的过程中,下列结论: (1)BP=CM; (2)△ABQ≌△CAP; (3)∠CMQ 的度数始终等于 60°; (4) 当第 秒或第 秒时,△PBQ 为直角三角形.其中正确的结论有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【分析】易证△ABQ≌△CAP,可得∠AQB=∠CPA,即可求得∠AMP=∠B=60°,易证∠CQM≠60°,可 得 CQ≠CM,根据 t 的值易求 BP,BQ 的长,即可求得 PQ 的长,即可解题. 【解答】解:∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=BC=AC,∠BAC=∠B=∠ACB=60°, 根据题意得:AP=BQ, 在△ABQ 和△CAP 中,


9

∴△ABQ≌△CAP(SAS) , (2)正确; ∴∠AQB=∠CPA, ∵∠BAQ+∠APC+∠AMP=180°,∠BAQ+∠B+∠AQB=180°, ∴∠AMP=∠B=60°, ∴∠QMC=60°, (3)正确; ∵∠QMC=60°,∠QCM≠60°, ∴∠CQM≠60°, ∴CQ≠CM, ∵BP=CQ, ∴CM≠BP, (1)错误; 当 t= 时,BQ= ,BP=4﹣ = ,

∵PQ =BP +BQ ﹣2BP?BQcos60°, ∴PQ= , ∴△PBQ 为直角三角形, 同理 t= 时,△PBQ 为直角三角形仍然成立, (4)正确; 故选 C. 【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质,本题中求 证△ABQ≌△CAP 是解题的关键. 二.填空题(本大题共 10 小题,每空 2 分,共 24 分) 2 8 2 9.全球七大洲的总面积约为 149 480 000km ,对这个数据精确到百万位可表示为 1.49×10 km . 【考点】近似数和有效数字. 【分析】先用科学记数法表示,然后根据近似数的精确度四舍五入即可. 2 8 2 【解答】解:149 480 000km ≈1.49×10 km (精确到百万位) . 8 故答案为 1.49×10 . 【点评】本题考查了近似数和有效数字:经过四舍五入得到的数叫近似数;从一个近似数左边第一 个不为 0 的数数起到这个数完为止,所有数字都叫这个数的有效数字.

2

2

2

10.

的平方根是 ±2 ,﹣27 的立方根是 ﹣3 ,当 a =64 时,

2

= ±2 .

【考点】立方根;平方根. 【分析】根据平方根、立方根的定义求解即可. 【解答】解: =4,平方根是±2;

﹣27 的立方根是﹣3;

10

当 a =64 时,a=±8, 则 =±2.

2

故答案为:±2,﹣3,±2. 【点评】本题考查了立方根、平方根的知识,注意一个正数的平方根有两个,不要漏解. 11.如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=35°,∠2=30°,则∠3= 65° .

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】由∠BAC=∠DAE 可以得出∠1=∠CAE,就可以得出△ABD≌△ACE 就可以得出结论. 【解答】解:∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC, ∴∠1=∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中

, ∴△ABD≌△ACE(SAS) , ∴∠ABD=∠2=30°. ∵∠3=∠1+∠ABD, ∴∠3=35°+30°=65°. 故答案为:65°. 【点评】本题考查了等式的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,三角形的外角与内角的 关系的运用.解答时证明三角形全等是关键. 12.一个正数的平方根为﹣m﹣3 和 2m﹣3,则这个数为 81 . 【考点】平方根. 【分析】根据一个正数的平方根互为相反数,即可得到一个关于 x 的方程,即可求得 x,进而求得 所求的正数. 【解答】解:根据题意得: (﹣m﹣3)+(2m﹣3)=0, 解得:m=6, 2 则这个数是: (﹣3﹣6) =81. 故答案是:81. 【点评】 本题考查了平方根的定义. 注意一个正数有两个平方根, 它们互为相反数; 0 的平方根是 0; 负数没有平方根. 13.如图,△ABC 中,AB=AC,DE 垂直平分 AB,BE⊥AC,AF⊥BC,则∠EFC= 45 °.

11

【考点】等腰三角形的性质;线段垂直平分线的性质. 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AE=BE,然后求出△ABE 是等腰直 角三角形,根据等腰直角三角形的性质求出∠BAE=∠ABE=45°,再根据等腰三角形两底角相等求出 ∠ABC,然后求出∠CBE,根据等腰三角形三线合一的性质可得 BF=CF,根据直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半可得 BF=EF,根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE,然后根据三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解. 【解答】解:∵DE 垂直平分 AB, ∴AE=BE, ∵BE⊥AC, ∴△ABE 是等腰直角三角形, ∴∠BAE=∠ABE=45°, 又∵AB=AC, ∴∠ABC= (180°﹣∠BAC)= (180°﹣45°)=67.5°, ∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=67.5°﹣45°=22.5°, ∵AB=AC,AF⊥BC, ∴BF=CF, ∵EF= BC(直角三角形斜边中线等于斜边的一半) , ∴BF=EF=CF, ∴∠BEF=∠CBE=22.5°, ∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°. 故答案为:45.

【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质,等腰三角形两底角相等的性质,线段垂直平分线 上的点到线段两端点的距离相等的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,熟记各 性质并求出△ABE 是等腰直角三角形是解题的关键. 14.如图,△ABC 中,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中点.若 AD=6,DE=5,则 CD 的长等于 8 .

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【考点】勾股定理;直角三角形斜边上的中线. 【专题】计算题. 【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得 AC=2DE=10;然后在直角△ACD 中,利 用勾股定理来求线段 CD 的长度即可. 【解答】解:如图,∵△ABC 中,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中点,DE=5, ∴DE= AC=5, ∴AC=10. 在直角△ACD 中,∠ADC=90°,AD=6,AC=10,则根据勾股定理,得 CD= = =8.

故答案是:8. 【点评】本题考查了勾股定理,直角三角形斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半求得 AC 的长度是解题的难点. 15.如图,DE 是△ABC 中 AC 边上的垂直平分线,若 BC=9,AB=11,则△EBC 的周长为 20 .

【考点】线段垂直平分线的性质. 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EA=EC,根据三角形的周长公式计算即可. 【解答】解:∵DE 是 AC 边上的垂直平分线, ∴EA=EC, ∴△EBC 的周长=BC+BE+EC=BC+BE+EA=BC+AB=20. 故答案为:20. 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点 的距离相等是解题的关键. 16.如图,有一张直角三角形纸片,两直角边 AC=5cm,BC=10cm,将△ABC 折叠,点 B 与点 A 重合, 折痕为 DE,则 CD 的长为 cm.

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【考点】翻折变换(折叠问题) . 【分析】在 Rt△ACD 中运用勾股定理就可以求出 CD 的长. 【解答】解:设 CD=x,则易证得 BD=AD=10﹣x. 2 2 2 在 Rt△ACD 中, (10﹣x) =x +5 , 2 2 2 100+x ﹣20x=x +5 , ∴20x=75, 解得: . 【点评】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用.本题中得到 BD=AD 是关键. 17.如图,在△ABC 和△BDE 中,点 C 在边 BD 上,边 AC 交边 BE 于点 F.若 AC=BD,AB=ED,BC=BE, ∠D=60°,∠ABE=28°,则∠ACB= 46° .

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】根据全等三角形的判定与性质,可得∠ACB 与∠DBE 的关系,根据三角形外角的性质,可得 答案. 【解答】解:在△ABC 和△DEB 中,

, ∴△ABC≌△DEB (SSS) , ∴∠ACB=∠DBE. ∵∠AFB 是△BFC 的外角, ∴∠ACB+∠DBE=∠AFB, ∠ACB= ∠AFB=46°. 故答案为:46°. 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了全等三角形的判定与性质,三角形外角的性 质. 18.如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边 AC 沿 CE 翻折,使点 A 落在 AB 上的点 D 处; 再将边 BC 沿 CF 翻折,使点 B 落在 CD 的延长线上的点 B′处,两条折痕与斜边 AB 分别交于点 E、F, 则线段 B′F 的长为 .

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【考点】翻折变换(折叠问题) . 【分析】首先根据折叠可得 CD=AC=3,B′C=BC=4,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B′CF,CE⊥AB,然后求 得△ECF 是等腰直角三角形, 进而求得∠B′FD=90°, CE=EF= , ED=AE= , 从而求得 B′D=1, DF= , 在 Rt△B′DF 中,由勾股定理即可求得 B′F 的长. 【解答】解:根据折叠的性质可知 CD=AC=3,B′C=BC=4,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B′CF,CE⊥AB, ∴B′D=4﹣3=1,∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF, ∵∠ACB=90°, ∴∠ECF=45°, ∴△ECF 是等腰直角三角形, ∴EF=CE,∠EFC=45°, ∴∠BFC=∠B′FC=135°, ∴∠B′FD=90°, ∵S△ABC= AC?BC= AB?CE, ∴AC?BC=AB?CE, ∵根据勾股定理求得 AB=5, ∴CE= ∴EF= , ,ED=AE= ,

∴DF=EF﹣ED= , ∴B′F= .

故答案为: . 【点评】此题主要考查了翻折变换,等腰三角形的判定和性质,勾股定理的应用等,根据折叠的性 质求得相等的相等相等的角是本题的关键. 三.解答题(本大题共有 7 小题,共 52 分. ) 19.计算下列各式的值 (1) +( ) ﹣2
2 3

(2)求 x 的值:5(x﹣1) ﹣20=0. 【考点】实数的运算;平方根. 【分析】 (1)分别进行开立方、乘方等运算,然后合并;

2

15

(2)根据一元二次方程的解法求解方程. 【解答】解: (1)原式=﹣2+3﹣8 =﹣7; 2 (2)移项得:5(x﹣1) =20, 2 即(x﹣1) =4, 解得:x=3 或 x=﹣1. 【点评】本题考查了实数的运算,涉及了开立方、乘方等运算,属于基础题. 20.已知 D、E 两点在△ABC 内,求作一点 P,使 PE=PD,且点 P 到∠B 两边的距离相等(尺规作图, 保留作图痕迹) .

【考点】作图—复杂作图;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质. 【分析】根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质可知点 P 为线段 DE 的垂直平分线与∠B 的角 平分线的交点. 【解答】解:如图所示:

①作∠B 的角平分线; ②作 DE 中垂线; ③两直线的交点就是所求作的点 P. 【点评】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质,掌握线段垂直平分线的性质 和角平分线的性质是解题的关键. 21.已知:如图,锐角△ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O,且 OB=OC. (1)求证:△ABC 是等腰三角形; (2)判断点 O 是否在∠BAC 的角平分线上,并说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰三角形的判定.

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【专题】几何综合题. 【分析】 (1)由 OB=OC,即可求得∠OBC=∠OCB,又由,锐角△ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O,根 据三角形的内角和等于 180°,即可证得△ABC 是等腰三角形; (2) 首先连接 AO 并延长交 BC 于 F, 通过证△AOB≌△AOC (SSS) , 得到∠BAF=∠CAF, 即点 O 在∠BAC 的角平分线上. 【解答】 (1)证明:∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB, ∵锐角△ABC 的两条高 BD、CE 相交于点 O, ∴∠BEC=∠CDB=90°, ∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°, ∴180°﹣∠BEC﹣∠BCE=180°﹣∠CDB﹣∠CBD, ∴∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC, ∴△ABC 是等腰三角形; (2)解:点 O 在∠BAC 的角平分线上. 理由:连接 AO 并延长交 BC 于 F, 在△AOB 和△AOC 中,

∴△AOB≌△AOC(SSS) . ∴∠BAF=∠CAF, ∴点 O 在∠BAC 的角平分线上.

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定,以及角平分线的判定等知识.此题难度不大,注意 等角对等边与三线合一定理的应用. 22.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 60 千米 /时.这时一辆小汽车在一条城市街道直路上行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A 正前方 50 米 C 处,过了 8 秒后,测得小汽车位置 B 与车速检测仪 A 之间的距离为 130 米,这辆小汽车超速 了吗?请说明理由.

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【考点】勾股定理的应用. 【分析】直接利用勾股定理得出 BC 的长,进而得出汽车的速度,即可比较得出答案. 2 2 2 【解答】由题意:在 Rt△ABC 中 AC +BC =AB ∵AC=50 AB=130, ∴BC=120 米, 汽车速度=120÷8=15(米/秒) 限速 60 千米/时≈16.67 米/秒, 汽车速度<限速, 故汽车没有超速. 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用,根据题意得出汽车的速度是解题关键. 23.如图,∠ABC=90°,D、E 分别在 BC、AC 上,AD⊥DE,且 AD=DE,点 F 是 AE 的中点,FD 与 AB 相交于点 M. (1)求证:∠FMC=∠FCM; (2)AD 与 MC 垂直吗?并说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 【专题】几何综合题. 【分析】 (1)根据等腰直角三角形的性质得出 DF⊥AE,DF=AF=EF,进而利用全等三角形的判定得出 △DFC≌△AFM(AAS) ,即可得出答案; (2)由(1)知,∠MFC=90°,FD=EF,FM=FC,即可得出∠FDE=∠FMC=45°,即可理由平行线的判 定得出答案. 【解答】 (1)证明:∵△ADE 是等腰直角三角形,F 是 AE 中点, ∴DF⊥AE,DF=AF=EF, 又∵∠ABC=90°, ∠DCF,∠AMF 都与∠MAC 互余, ∴∠DCF=∠AMF, 在△DFC 和△AFM 中,

, ∴△DFC≌△AFM(AAS) , ∴CF=MF, ∴∠FMC=∠FCM; (2)AD⊥MC, 理由:由(1)知,∠MFC=90°,FD=FA=FE,FM=FC,

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∴∠FDE=∠FMC=45°, ∴DE∥CM, ∴AD⊥MC. 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质,得出∠DCF=∠AMF 是解题关键.

24.如图 1,长方形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=CD,AD=BC,且 P、Q 分别是边 AD、AB 上的动点.

,点

(1)求 BD 的长; (2)①如图 2,在 P、Q 运动中是否能使△CPQ 成为等腰直角三角形?若能,请求出 PA 的长;若不 能,请说明理由; ②如图 3,在 BC 上取一点 E,使 EC=5,那么当△EPC 为等腰三角形时,求出 PA 的长. 【考点】四边形综合题. 【分析】 (1)由条件可求得 AB=4,BC=6,由勾股定理可求出 BD 的长; (2)①由题可知只能有∠QPC 为直角,当 PQ=PC 时,可证得 Rt△PDC≌Rt△QAP,可求得 AP 的长; ②分 PC=EC、PC=PE 和 PE=EC 三种情况分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可. 【解答】解: (1)如图 1,连接 BD,

∵ ∴AB=4,BC=6,



则在 Rt△ABD 中,由勾股定理可求得 BD=

=2



(2)①能,AP=4,理由如下: 如 图 2 , 由 图 形 可 知 ∠PQC 和 ∠PCQ 不 可 能 为 直 角 , 所 以 只 有 ∠QPC=90° , 则 ∠QPA+∠CPD=∠PCD+∠CPD, ∴∠QPA=∠PCD, 当 PQ=PC 时, 在 Rt△APQ 和 Rt△DCP 中

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∴△APQ≌△DCP(AAS) , ∴AP=CD=4, 故在 P、Q 运动中是否能使△CPQ 成为等腰直角三角形,此时 AP=4;

②当 PC=EC=5 时,在 Rt△PCD 中,CD=4,PC=EC=5,由勾股定理可求得 PD=3,所以 AP=AB﹣PD=3, 当 PC=PE=5 时, 如图 3, 过 P 作 PF⊥BC 交 BC 于点 F, 则 FC=EF=PD= EC=2.5, 所以 AP=AB﹣PD=6﹣2.5=3.5, 当 PE=EC=5 时,如图 4,过 E 作 EH⊥AD 于点 H,由可知 AH=BE=1,在 Rt△EHD 中,EH=AB=4,EP=5, 由勾股定理可得 HP=3,所以 AP=AH+PH=1+3=4, 综上可知当△EPC 为等腰三角形时,求出 PA 的长为 3、3.5 或 4.

【点评】本题主要考查矩形的性质及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质的综合应用,在 (2)①中判断出只有 PQ=PC 一种情况、②中分三种情况进行讨论求解是解题的关键. 25. 已知: 如图 1, 等边△OAB 的边长为 3, 另一等腰△OCA 与△OAB 有公共边 OA, 且 OC=AC, ∠C=120°. 现 有两动点 P、Q 分别从 B、O 两点同时出发,点 P 以每秒 3 个单位的速度沿 BO 向点 O 运动,点 Q 以每 秒 1 个单位的速度沿 OC 向点 C 运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止运动.请回答 下列问题: (1)在运动过程中,△OPQ 的面积记为 S,请用含有时间 t 的式子表示 S. (2)在等边△OAB 的边上(点 A 除外) ,是否存在点 D,使得△OCD 为等腰三角形?如果存在,这样 的点 D 共有 4 个. (3)如图 2,现有∠MCN=60°,其两边分别与 OB、AB 交于点 M、N,连接 MN.将∠MCN 绕着点 C 旋 转,使得 M、N 始终在边 OB 和边 AB 上.试判断在这一过程中,△BMN 的周长是否发生变化?若没有 变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.

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【考点】几何变换综合题. 【分析】 (1)根据题意分别表示出 QO,OP 的长,进而得出 S 与 t 的关系式; (2)如果△OCD 为等腰三角形,那么分 D 在 OA 边或者 OB 边上或 AB 边上三种情形.每一种情形, 都有可能 O 为顶点,C 为顶点,D 为顶点,分别讨论,得出答案; (3)如果延长 BA 至点 F,使 AF=OM,连接 CF,则由 SAS 可证△MOC≌△FAC,得出 MC=CF,再由 SAS 证出△MCN≌△FCN,得出 MN=NF,进而求出△BMN 的周长. 【解答】解: (1)如图 1,∵OC=AC,∠ACO=120°, ∴∠AOC=∠OAC=30°. ∴∠POQ=90°, ∵OQ=t,OP=3﹣3t. ∴S△OPQ= OQ?OP= t?(3﹣3t)=﹣ t + t, 即 S=﹣ t + t; (2)如图 2, (i)当 D 点在 OA 上, ①以 D 为顶点,D1C=OD1, ②以 O 为顶点,OD2=OC, (ii)当 D 点在 OB 上, 由于∠BOC=90°,因此不存在以 C 或 D 为顶点的等腰三角形, 以 O 为顶点时,OD3=OC. (iii)当 D 点在 AB 上时, 此时 OD 的最短距离为 OD⊥AB 时,此时 OD≠OC,不存在以 O 为顶点的等腰三角形; 当以 C 为顶点时,D 点和 A 点重合, 当以 D 为顶点时,OD4=CD4, 综上所述,这样的点 D 共有 4 个; 故答案为:4; (3)△BMN 的周长不发生变化.理由如下: 延长 BA 至点 F,使 AF=OM,连接 CF. (如图 3) 又∵∠MOC=∠FAC=90°,OC=AC, 在△MOC 和△FAC 中
2 2


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∴△MOC≌△FAC(SAS) , ∴MC=CF,∠MCO=∠FCA. ∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA=∠OCA﹣∠MCN=60°, ∴∠FCN=∠MCN. 在△MCN 和△FCN 中,

, ∴△MCN≌△FCN(SAS) , ∴MN=NF. ∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO﹣OM+BA+AF=BA+BO=6. ∴△BMN 的周长不变,其周长为 6.

【点评】本题主要考查了等腰三角形、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形 面积求法等知识,得出△OCD 为等腰三角形时,注意分类讨论,做到不重复,不遗漏.

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