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2014届高三数学辅导精讲精练测试7


2014 届高三数学辅导精讲精练测试 7
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项 符合题目要求) 1.函数 f(x)=
? ? ? 1 A.?x?x≠-2 ? ? ?

2x+1 的定义域是 2x -x-1
2

(
? ? ? ? ?

)

? ? ? ? ?

? ? ? 1 B.?x?x>-2 ? ? ?

? ? ? ? ? 1 C.?x?x≠-2 且x≠1? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? 1 D.?x?x>-2 且x≠1? ? ? ? ? ?

答案 解析 故选 D.

D
? ? ?2x+1≥0, ? 1 由题意,得 ? 2 解此不等式组,得 ?x?x>-2且x≠1 ? ? ? ?2x -x-1≠0, ? ? ?. ? ?

2.已知 c<0,则下列不等式中成立的是 A.c>2c 1 C.2c>(2)c 答案 D 1 B.c>(2)c 1 D.2c<(2)c

(

)

b 3.已知 f(x)=x+x 在(1,e)上为单调函数,则 b 的取值范围是 A.(-∞,1]∪[e2,+∞) B.(-∞,0]∪[e2,+∞) C.(-∞,e2] D.[1,e2] 答案 解析 A b≤0 时,f(x)在(1,e)上为增函数,

(

)

b b>0 时,当 x>0 时,x+ x≥2 b, b 当且仅当 x=x 即 x= b取等号. 若使 f(x)在(1,e)上为单调函数,

则 b≤1 或 b≥e,∴0<b≤1 或 b≥e2. 综上 b 的取值范围是 b≤1 或 b≥e2,故选 A. 4. 观察下列各式: 2=49,73=343,74=2 401, 则 72 013 的末位数字是( 7 ?, A.1 C.7 答案 解析 C 规律: 1 的末位为 7,72 末位为 9,73 的末位为 3,74 末位为 1,75 的末位为 7 B.3 D.9 )

7,?,的末位为 7,9,3,1,7,9,3,1,?,而 2 013=4×503+1,∴2 013 的末位是 7. 5.将正奇数 1,3,5,7,?排成五列(如下表),按此表的排列规律,89 所在的 位置是 ( )

A.第一列 C.第三列 答案 解析 D

B.第二列 D.第四列

正奇数从小到大排,则 89 位居第 45 位,而 45=4×11+1,故 89 位

于第四列. 6.若 f(x)是偶函数,且当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则不等式 f(x2-1)<0 的解集为 A.(-1,0) C.(0,2) 答案 解析 B 根据 f(x)是偶函数,可得 f(x)=f(|x|)=|x|-1.因此 f(x2-1)=|x2-1|-1. B.(- 2,0)∪(0, 2) D.(1,2) ( )

解不等式|x2-1|-1<0,得 0<x2<2,因此 x∈(- 2,0)∪(0, 2).

?x≥0, 7.当实数 x,y 满足不等式组?y≥0, ?2x+y≤2

时,恒有 ax+y≤3 成立,则实数

a 的取值范围是 A.(-∞,0] C.[0,2] 答案 解析 D 画出可行域,如图中阴影部分所示. B.[0,+∞) D.(-∞,3]

(

)

要使 ax+y≤3 恒成立,即可行域必须在直线 ax+y-3=0 的下方,故分三 种情况进行讨论: 3 ①当 a>0 且a≥1,即 0<a≤3 时,恒有 ax+y≤3 成立;②当 a=0 时,y≤3 成立;③当 a<0 时,恒有 ax+y≤3 成立.综上可知,a≤3. 8.(2012· 浙江)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( 24 A. 5 C.5 答案 解析 C 1 3 ∵x+3y=5xy,∴5y+5x=1. 28 B. 5 D.6 )

1 3 3x 9 4 12y 13 ∴ 3x + 4y = (3x + 4y)×1 = (3x + 4y)( 5y + 5x ) = 5y + 5 + 5 + 5x ≥ 5 + 2 3x 12y 5y· =5, 5x 3x 12y 1 当且仅当5y= 5x ,即 x=1,y=2时等号成立. 9.图 1 是一个面积为 1 的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上 分别长出一个小正方形, 如图 2, 且三个正方形围成的三角形(含 30° 锐角的)是直 角三角形,再经过一次“生长”后,变成图 3,“生长”10 次后,变成图 4,如 果继续“生长”下去,它将变得更加“枝繁叶茂”,那么 n 次“生长”后,所得 图形中所有正方形的面积和为 ( )

A.n C.n+2 答案 解析 B

B.n+1 D.2n

根据勾股定理以及正方形的面积公式并结合解题探究可知,经过 n

次“生长”后, 所得图形中所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的(n+ 1)倍,即为 n+1.故选 B. 10. 如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两墙的距 离分别是 a 米(0<a<12)、4 米,不考虑树的粗细.现在想用 16 米长的篱笆,借助 墙角围成一个矩形的花圃 ABCD.设此矩形花圃的面积为 S 平方米, 的最大值为 S f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数 u=f(a)的图像大致是 ( )

答案 解析

C 设 AD=x,S=x(16-x)≤( x+16-x 2 ) =64. 2

当且仅当 x=8 时成立.∵树围在花圃内, ∴0<a≤8 时,x=8 能满足条件,即 f(a)=64. 当 8<a<12 时,S=x(16-x)最大值为 a(16-a).

0<a≤8, ?64, ∴f(a)=? ?a?16-a?,8<a<12,

选 C.

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线 上) 11.关于 x 的不等式 x2+(a+1)x+ab>0 的解集是{x|x<-1 或 x>4},则实数 a、b 的值分别为________. 答案 -4,1

x y 12.已知正实数 x,y 满足 xy=1,则(y+y)(x+x)的最小值为________. 答案 解析 4 x y y2 x2 依题意知, y+y)(x+x)=1+ x + y +1≥2+2 ( y2 x2 当且仅当 x × y =4,

x=y=1 时取等号. π 1 π 2π 1 13.已知 cos3=2;cos5cos 5 =4; π 2π 3π 1 cos7cos 7 cos 7 =8; ?? 根据以上等式,可猜想出的一般结论是________. 答案 解析 π 2π nπ 1 cos cos · cos ?· =2n,n∈N* 2n+1 2n+1 2n+1 从已知等式的左边来看,余弦的个数从 1 逐个增加,分子上从 π 开始

也是逐个增加,分母分别是 3,5,7,?,可以看出分母的通项为 2n+1,等式的右 1 边 是 通 项 为 2n 的 等 比 数 列 , 由 以 上 分 析 可 以 猜 想 出 的 结 论 为 cos 2π nπ 1 cos · cos ?· = n,n∈N*. 2n+1 2n+1 2 14 . (2012· 建 ) 若 函 数 y = 2x 图 像 上 存 在 点 (x , y) 满 足 约 束 条 件 福 π 2n+1

?x+y-3≤0, ?x-2y-3≤0, ?x≥m,
答案 解析 1

则实数 m 的最大值为________.

由约束条件作出其可行域如图所示:

由图可知当直线 x=m 经过函数 y=2x 的图像与直线 x+y-3=0 的交点 P 时 取得最大值,即得 2x=3-x,即 x=1=m. 2+b 1 1 15.a,b 都为正实数,且a+b=1,则 2ab 的最大值为________. 答案 解析 9 16 2+b 1 1 1 1 1 1 3 1 3 9 依题意得 2ab = ab+2a = 2a+a (1- a )=-(a)2 +2a =-(a -4 )2 + 16

9 1 3 1 3 1 1 的最大值是16(当a-4=0,即a=4,b=4时取得最大值). 16.从等腰直角三角形纸片 ABC 上,剪下如图所示的两个正方形,其中 BC =2,∠A=90° ,则这两个正方形的面积之和的最小值为________.

答案 解析

1 2 1 2 设两个正方形边长分别为 a, 则由题可得 a+b=1, 3≤a, 3, b, 且 b≤

a+b 1 1 S=a2+b2≥2×( 2 )2=2,当且仅当 a=b=2时取等号. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) → → π π 17.(本小题满分 10 分)已知OP=(1,cosx),OQ=(cosx,1),x∈[-4,4], → → 记 f(x)=cos<OP,OQ>. (1)求函数 f(x)的解析式; → → (2)求 cos<OP,OQ>的取值范围.

答案 解析

(1)f(x)=

→ → 2cosx 2 2 (2) 3 ≤cos<OP,OQ>≤1 2 1+cos x

→ → (1)∵OP=(1,cosx),OQ=(cosx,1),

→ → → → ∴OP· =2cosx,|OP|· |=1+cos2x. OQ |OQ → → 2cosx ∴f(x)=cos<OP,OQ>= . 1+cos2x π π (2)∵x∈[-4,4], → → 2cosx ∴f(x)=cos<OP,OQ>= = 1+cos2x 1 , cosx+cosx 2

2 1 3 2 cosx∈[ 2 ,1].∵2≤cosx+cosx≤ 2 , → → 2 2 2 2 ∴ 3 ≤f(x)≤1,即 3 ≤cos<OP,OQ>≤1. 18.(本小题满分 12 分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已 1 知 a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:a2+a2≥2. 1 2 证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2, 1 2 2 因为对一切 x∈R, 恒有 f(x)≥0, 所以 Δ=4-8(a1+a2)≤0, 从而得 a1+a2≥2, 2 2 (1)若 a1,a2,?,an∈R,a1+a2+?+an=1,请写出上述结论的推广式; (2)参考上述解法,对你推广的结论加以证明. 解析 1 a2≥n. n (2)构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+?+(x-an)2
2 =nx2-2(a1+a2+?+an)x+a2+a2+?+an 1 2 2 =nx2-2x+a2+a2+?+a2, 1 n 2 因为对一切 x∈R,都有 f(x)≥0,所以 Δ=4-4n(a1+a2+?+a2)≤0,从而 2 n

(1)若 a1,a2,?,an∈R,a1+a2+?+an=1,求证:a2+a2+?+ 1 2

1 2 证得:a2+a2+?+a2≥n. 1 n 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).

(1)要使 f(x)在(0,2)上单调递增,试求 a 的取值范围; π (2)当 x∈(0,1]时, y=f(x)图像上任意一点处的切线的倾斜角为 θ, 0≤θ≤4, 且 求 a 的取值范围. 答案 解析 (1)a≥3 3 (2)2≤a≤ 3

(1)f′(x)=-3x2+2ax, 要使 f(x)在(0,2)上单调递增, f′(x)≥0 在(0,2) 则

上恒成立. ∵f′(x)是开口向下的抛物线, ?f′?0?≥0, ∴? ∴a≥3. ?f′?2?=-12+4a≥0, π (2)∵0≤θ≤ ,∴tanθ=-3x2+2ax∈[0,1]. 4 根据题意 0≤-3x2+2ax≤1 在(0,1]上恒成立, 3 3 由-3x2+2ax≥0,得 a≥2x,a≥2. 3 1 由-3x2+2ax≤1,得 a≤2x+2x. 3 1 3 又2x+2x≥ 3(当且仅当 x= 3 时取“=”), ∴a≤ 3. 3 综上,a 的取值范围是2≤a≤ 3. 20.(本小题满分 12 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9 +3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2)设 bn= n (n∈N*), 求证: 数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数 列. 解析 (1)由已知得

?a1= 2+1, ? ∴d=2. ?3a1+3d=9+3 2, 故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2).

Sn (2)由(1)得 bn= n =n+ 2.
2 假设数列{bn}中存在三项 bp,bq、br(p,q,r 互不相等)成等比数列,则 bq=

bpbr. 即(q+ 2)2=(p+ 2)(r+ 2). ∴(q2-pr)+(2q-p-r) 2=0.
2 ?q -pr=0, ∵p,q,r∈N ,∴? ?2q-p-r=0. *

p+r ∴( 2 )2=pr,(p-r)2=0,∴p=r,与 p≠r 矛盾. 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列. 21.(本小题满分 12 分)东海水晶制品厂去年的年产量为 10 万件,每件水晶 产品的销售价格为 100 元,固定成本为 80 元.从今年起,工厂投入 100 万元科 技成本, 并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本.预计产量每年递增 1 万件,每件水晶产品的固定成本 g(n)与科技成本的投入次数 n 的关系是 g(n)= 80 .若水晶产品的销售价格不变,第 n 次投入后的年利润为 f(n)万元. n+1 (1)求出 f(n)的表达式; (2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 解析 本为 (1)第 n 次投入后,产量为 10+n 万件,销售价格为 100 元,固定成

80 元,科技成本投入为 100n 万元, n+1 80 )-100n(n∈N*). n+1 80 ) - 100n = 1 000 - 80( n+1 + n+1

所以,年利润为 f(n)=(10+n)(100- (2) 由 (1) 知 f(n) = (10 + n)(100 - 9 )≤520(万元). n+1 当且仅当 n+1=

9 ,即 n=8 时,利润最高,最高利润为 520 万元. n+1

答:从今年算起第 8 年利润最高,最高利润为 520 万元. x 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ln(x+1)- . a?x+1?

(1)若函数 f(x)在[0,+∞)内为增函数,求正实数 a 的取值范围; 1 (2)当 a=1 时,求 f(x)在[-2,1]上的最大值和最小值; 1 1 1 (3)试利用(1)的结论,证明:对于大于 1 的任意正整数 n,都有2+3+4+? 1 +n<lnn. 解析 x (1)∵f(x)=ln(x+1)- , a?x+1? a?x+1?-1 (a>0). a?x+1?2

∴f′(x)=

∵函数 f(x)在[0,+∞)内为增函数, ∴f′(x)≥0 对任意 x∈[0,+∞)恒成立. ∴a(x+1)-1≥0 对任意 x∈[0,+∞)恒成立, 即 a≥ 1 对任意 x∈[0,+∞)恒成立. x+1

1 而当 x∈[0,+∞)时,( ) =1,∴a≥1. x+1 max (2)当 a=1 时,f′(x)= x . ?x+1?2

1 1 ∴当 x∈[-2,0)时,f′(x)<0,f(x)在[-2,0)上单调递减. 当 x∈(0,1]时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增. 1 ∴f(x)在[-2,1]上有唯一极小值点. 故 f(x)min=f(0)=0. 1 1 1 又 f(-2)=1+ln2=1-ln2,f(1)=-2+ln2, 3-ln16 1 3 ∴f(-2)-f(1)=2-2ln2= 2 lne3-ln16 = . 2 ∵e3>16, 1 1 ∴f(-2)-f(1)>0,即 f(-2)>f(1).

1 1 ∴f(x)在[-2,1]上的最大值为 f(-2)=1-ln2. 1 综上,函数 f(x)在[-2,1]上的最大值是 1-ln2,最小值是 0. (3)法一:用数学归纳法. 1 ①当 n=2 时,要证2<ln2,只要证 ln4>1,显然成立. 1 1 1 1 ②假设当 n=k 时,不等式2+3+4+?+k <lnk(k>1,k∈N*)成立. 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 +3+4+?+k+ <lnk+ . 2 k+1 k+1 要证 lnk+ 只要证 1 <ln(k+1)成立, k+1

k+1 1 1 1 <ln k ,即 <ln(1+ k). k+1 k+1

1 令k=x>0,则上式化为 x <ln(1+x)(x>0). 1+x 只要证:ln(1+x)- x >0(*). 1+x x 在[0,+∞)内是增函数. x+1

由(1)知,当 a=1 时,f(x)=ln(1+x)- 故有 f(x)≥f(0),即 ln(1+x)≥

x ,x∈[0,+∞)成立. x+1

1 而(*)中 x= k(k>1,k∈N*),x>0, ∴ln(1+x)- x >0,即(*)式成立. 1+x

∴当 n=k+1 时,不等式成立. 由①②知对任意 n>1 的正整数不等式都成立. 法二:由(1)知,当 a=1 时,f(x)=ln(1+x)- 故有 f(x)≥f(0),即 ln(1+x)≥ x 在[0,+∞)上是增函数. x+1

x ,x∈[0,+∞)成立. 1+x

1 令 x=n(n∈N*),则 x>0. n+1 1 x ∴有 ln(1+x)> ,即 ln n > . 1+x n+1 2 1 3 1 4 1 n 1 由此得 ln1>2,ln2>3,ln3>4,?,ln > , n-1 n 2 3 4 n 1 1 1 1 则 ln1+ln2+ln3+?+ln >2+3+4+?+n, n-1 1 1 1 1 即得 lnn>2+3+4+?+n. 1 1 1 1 故对大于 1 的任意正整数 n,都有2+3+4+?+n<lnn.

1.若 a<0,则下列不等式成立的是 ?1? A.2a>?2?a>(0.2)a ? ? ?1? C.?2?a>(0.2)a>2a ? ? 答案 解析 B ?1? B.(0.2)a>?2?a>2a ? ? ?1? D.2a>(0.2)a>?2?a ? ?

(

)

1 ∵a<0,∴y=xa 在(0,+∞)为减函数,∴(2)a<(0.2)a,∴选 B. ( )

2.设 a,b,c 为△ABC 的三边,则 A.a2+b2+c2>a+b+c B.a2+b2+c2>ab+bc+ac C.a2+b2+c2<2(ab+bc+ac) D.a2+b2+c2>2(ab+bc+ac) 答案 解析 C c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,

a2=b2+c2-2bccosA, ∴a2+b2+c2=2(a2+b2+c2)-2(abcosC+accosB+bccosA). ∴a2+b2+c2=2(abcosC+accosB+bccosA)<2(ab+bc+ac). 3.(1)由“若 a,b,c∈R,则(ab)c=a(bc)”类比“若 a,b,c 为三个向量, 则(a· b)c=a(b· c)”;

(2)在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,猜想 an=2n-2; (3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任 意三个面的面积之和大于第四个面的面积”; (4)已知(2-x)8=a0+a1x+a2x2+?+a8x8,则 a1+a2+?+a8=256. 上述四个推理中,得出的结论正确的是________.(写出所有正确结论的序 号) 答案 解析 (2)(3) (1)三个实数之积满足乘法的结合律,而三个向量之积是向量,且两

个向量相等要满足方向和大小都相等,向量(a· c 与向量 a· c)不一定满足,故 b)· (b· (1)错误; (2)由 an+1=2an+2,可得 an+1+2=2(an+2),故数列{an+2}为等比数列, 易求得 an=2n-2,故(2)正确; (3)在四面体 ABCD 中,设点 A 在底面 BCD 上的射影是 O,则三个侧面的面 积都大于其在底面上的投影的面积,三个侧面的面积之和一定大于底面的面积, 故(3)正确; (4)令 x=1,得 a0+a1+?+a8=1,令 x=0,则 a0=28=256,所以 a1+a2 +?+a8=1-28=-255,故(4)错误.综上可知,只有(2)(3)正确. 4.已知 a,b 为正数,且直线 2x-(b-3)y+b=0 与直线 bx+ay-5=0 互相 垂直,则 2a+3b 的最小值为________. 答案 解析 25 2 3 2 3 依题意得 2b-a(b-3)=0,即a+b=1,2a+3b=(2a+3b)(a+b)=13 b a b a ×b=25,当且仅当a=b,即 a=b=5 时取等号,因此 a

b a +6(a+b)≥13+6×2 2a+3b 的最小值是 25.

5. 不等式 4x+a·x+1≥0 对一切 x∈R 恒成立, a 的取值范围是________. 2 则 答案 解析 以 a≥-2. [-2,+∞) 1 1 由题可得 a≥-2x-2x 恒成立,由基本不等式可知-2x-2x≤-2,所

1 1 1 5 6.已知 f(n)=1+2+3+?+n(n∈N*),经计算得 f(4)>2,f(8)>2,f(16)>3, 7 f(32)>2,则有________. 答案 解析 n+2 f(2n)> 2 (n≥2,n∈N*) n+2 4 5 6 7 由题意 f(22)>2, 3)>2, 4)>2, 5)>2, f(2 f(2 f(2 所以当 n≥2 时, f(2n)> 2 . 有

n+2 故填 f(2n)> 2 (n≥2,n∈N*). 1 7.若数列{an}的通项公式 an= ,记 f(n)=2(1-a1)(1-a2)?(1-an), ?n+1?2 试通过计算 f(1),f(2),f(3)的值,推测 f(n)=________. 答案 解析 n+2 n+1 方法一 1 3 由题意,得 f(1)=2(1-a1)=2×[1- 2]= , 2 ?1+1?

3 1 4 f(2)=f(1)(1-a2)=2(1-32)=3, 4 1 5 f(3)=f(2)(1-a3)=3(1-16)=4, 由此归纳得 f(n)= 方法二 n+2 . n+1

1 1 1 1 事实上, 由题意, f(n)=2(1-22)(1-32)?[1- 得 2]=2(1- )(1 2 ?n+1?

n+2 1 1 1 1 1 1 3 2 4 3 n +2)(1-3)(1+3)?(1+ )(1+ )=2×2×2×3×3×4×?× × = n+1 n+1 n+1 n+1 n+2 . n+1 1 8.若不等式|a-1|≤|x+x |对一切非零实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围 是________. 答案 解析 -1≤a≤3 |a-1|≤2,即-1≤a≤3.

?x≥1, 9.已知 x,y 满足?x+y≤4, ?ax+by+c≤0,
小值为 1,则 答案 解析 a+b+c a =________.

且目标函数 3x+y 的最大值为 7,最

1 -3

分别作出直线 x=1,x+y=4,3x+y=7,3x+y=1, ?x+y=4, ?x=1, 联立? 与? ?3x+y=7 ?3x+y=1, 3 5 求出(2,2)与(1,-2), 知两点在直线 ax+by+c=0 上, 11 1 得 c=- 9 a,b=-9a. a+b+c 1 1 ∴a+b+c=-3a,∴ a =-3. 10.设函数 f(x)=x2+2lnx,f′(x)表示 f(x)的导函数,试证明:对任意正数 a 和正整数 n,不等式[f′(a)]n-2n-1f′(an)≥2n(2n-2)恒成立. 解析 1 1 问题即证:2n(a+a)n-2n-1×2(an+an)≥2n(2n-2),

1 1 也即证:(a+a)n-(an+an)≥2n-2. 用数学归纳法证明: (ⅰ)当 n=1 时,左=0,右=0,显然不等式成立; (ⅱ)假设 n=k(k≥1)时,原不等式成立, 1 1 即(a+a)k-(ak+ak)≥ 2k-2,

1 + 1 1 1 1 + + 则 n=k+1 时,(a+a)k 1-(ak 1+ k+1)=(a+a)k(a+a)-(ak 1+ k+1) a a 1 1 1 ≥[(2k-2)+ak+ak](a+a)-(ak+1+ k+1) a 1 1 =(2k-2)(a+a)+(ak-1+ k-1) a ≥(2k-2)×2+2=2k+1-2. 这就是说,n=k+1 时原不等式也成立. 综上所述:对任意正数 a 和正整数 n,[f′(a)]n-2n-1f′(an)≥2n(2n-2)恒成 立. 11.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺 绣最简单的四个图案, 这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂 亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个 小正方形.

(1)求出 f(5)的值; (2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式, 并根据你得到的关系式求出 f(n)的表达式; (3)求 解析 1 1 1 1 + + +?+ 的值. f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1 (1)f(5)=41.

(2)因为 f(2)-f(1)=4=4×1, f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, ?? 由上式规律,所以得出 f(n+1)-f(n)=4n. 因为 f(n+1)-f(n)=4n?f(n+1)=f(n)+4n ?f(n)=f(n-1)+4(n-1)

=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3) =? =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+?+4 =2n2-2n+1. (3)当 n≥2 时, ∴ 1 1 1 1 1 = =2( -n), f?n?-1 2n?n-1? n-1

1 1 1 1 + + +?+ f?1? f?2?-1 f?3?-1 f?n?-1

1 1 1 1 1 1 1 1 =1+2· 2+2-3+3-4+?+ (1- -n) n-1 1 1 3 1 =1+2(1-n)=2-2n.


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