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2013-2014学年第二学期期末高二数学(理)试题答案(4)


一、选择题。 (每小题 5 分,共 8 小题,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 D 5 B 6 A 7 D 8 A

二、填空题(每小题 5 分,共 6 小题,共 30 分) 9. 9 10. 240 11. 60 12.0.6 13. 2 2 14. q

三、解答题(共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)由 A、B、C 成等差数列,有 2 B =A ? C , 因为 A、B、C 为 ?ABC 的内角,所以 A ? B ? C ? ? , ∴B ? ………2 分 ………3 分 ………4 分
2

?
3

(Ⅱ)由 a、b、c 成等比数列, b ? ac ,
2 2 2 2 2

………6 分

由余弦定理可得, b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac , ………8 分
2 2 代入得 a ? c ? ac ? ac ,即 ? a ? c ? =0 ,因此 a=c ,
2

………10 分 ………11 分 ………12 分

从而 A=C , 由此可得, A ? B ? C ? 所以 ?ABC 为等边三角形. 16. (本小题满分 12 分)

?
3



解: (Ⅰ)∵点 P 在切线上,∴ f (1) ? 2 .∴ a ? b ? 1 . 又函数图象在点 P 处的切线斜率为 8,∴ f ' (1) ? 8 , 又 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b , ∴ 2a ? b ? 5 . 解方程组,可得 a ? 4, b ? ?3 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ' ( x) ? 3x ? 8x ? 3 ,
2

………1 分 ………2 分 ………3 分 ………4 分 ………6 分

令 f '( x) ? 0 解得 x ? ?3或x ?

1 3 1 ; 3

…………8 分 ………9 分 …………10 分

由 f ' ( x) ? 0 ,可得 x ? ?3或x ? 由 f ' ( x) ? 0 ,可得 ? 3 ? x ?

1 . 3

∴函数 f ( x) 的单调增区间为 (?? ,?3),

1 1 ( ,?? ) ,单调减区间为 ( ?3, ) .………12 分 3 3
1

17.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) A 盒与 B 盒中各取一个球出来再放入对方盒中后, A 盒中还有 2 个红球有下面 两种情况: ①互换的是红球,将该事件记为 A 1 ,则: P ? A 1? ?
1 1 C2 C2 1 ? ; 1 1 C4C5 5 1 1 C2 C3 3 ? ; 1 1 C4C5 10

………3 分

②互换的是黑球,将该事件记为 A2 ,则: P ? A2 ? ?

………6 分

故 A 盒中有 2 个红球的概率为 P ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? (Ⅱ) A 盒中红球数 ? 的所有可能取值为 1,2,3.

1 3 1 ? ? ; 5 10 2

………8 分 ………9 分

1 1 1 1 1 C2 C3 3 C2 C 1 而 P ?? ? 1? ? 1 1 ? ; P ? ? ? 2 ? ? ; P ? ? ? 3? ? 1 2 ? ;………12 分 1 2 C4C5 10 C4C5 5

因而 ? 的分布列为:

?
P
………13 分 ∴ E? ?

1

2

3

3 10

1 2

1 5

3 1 1 19 ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? . 10 2 5 10

………14 分

18.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵点 A、D 分别是 RB 、 RC 的中点, ∴ AD // BC , ………1 分 ------2 分
P

∵ PA ? AD ,∴ PA ? BC ,

∵ BC ? AB, PA ? AB ? A , ---------3 分 ∴ BC ⊥平面 PAB . ∵ PB ? 平面 PAB , ∴ BC ? PB . -------5 分
R

--------4 分
F A

C D

B

(Ⅱ)法 1:取 RD 的中点 F ,连结 AF 、 PF . ∵ RA ? AD ? 1 , ∴ AF ? RC .

-------6 分 -------7 分

∵ AP ^ AB, AP ^ AD , ∵ RC ? 平面 RBC , ∵ AF ? AP ? A,

∴ AP ? 平面 RBC . -------8 分 ∴ RC ? AP . ∴ RC ? 平面 PAF .
2

-------9 分 -------10 分

∵ PF ? 平面 PAF ,

∴ RC ? PF .

-------11 分 --------12 分

∴∠ AFP 是二面角 A ? CD ? P 的平面角. 在 Rt△ RAD 中, AF ? 在 Rt△ PAF 中, PF ?

1 1 2 , RD ? RA2 ? AD2 ? 2 2 2 PA2 ? AF 2 ? 6 , 2
----------13 分

2 AF 3 ? 2 ? ∴ 二面角 A ? CD ? P 的平面角, cos?AFP ? . -----14 分 PF 3 6 2
法 2 :由题意知 AP ^ AB, AP ^ AD, AB ^ AD ,建立如图所示的空间直角坐标系

A ? xyz .

------6 分

则 D (-1,0,0) , C (-2,1,0) , P (0,0,1). ------7 分 ∴ DC =(-1,1,0) , DP =(1,0,1), 设平面 PCD 的法向量为 n = (x, y, z ) ,则: -----8 分
z P

r

? ? ?n ? DC ? ? x ? y ? 0 , ? ? ? ? n ? DP ? x ? z ? 0

---------9 分
C D

令 x ? 1 ,得 y ? 1, z ? ?1 , ----------10 分 ? ∴ n =(1,1,-1). -----------11 分
R A x

B

y

显 然 , PA 是 平 面 A C D 的 一 个 法 向 量 , PA = ( 0,0, ? 1 ) . ----------12 分

? ? n ? PA ? ∴cos< n , PA >= ? n ? PA

1 3 ?1

?

3 . 3

---------13 分

∴二面角 A ? CD ? P 的平面角的余弦值是 19.(本小题满分 14 分)

3 . --------14 分 3

(Ⅰ)解法 1:由题意, 点 M 到点 A 的距离等于它到直线 l 的距离, 故点 M 的轨迹是以点 A 为焦点, l 为准线的抛物线. ∴曲线 E 的方程为 x ? 4 y .
2

……………2 分 ……………4 分

解法 2:设点 M 的坐标为 ? x, y ? ,依题意, 得 MF ? y ?1 , 即 x ? ? y ? 1? ? y ? 1 ,
2 2

……………2 分
3

化简得 x2 ? 4 y . ∴曲线 E 的方程为 x2 ? 4 y . (Ⅱ)答: D, O, C 三点共线. 证明: 设点 B, C 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,
2 2 依题意得, x1 ? 4 y1 , x2 ? 4 y2 .

……………4 分 ……………5 分 ……………6 分 ……………7 分 ……………9 分

由?

? y ? kx ? 1, 2 消去 y 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 , 2 x ? 4 y , ?
4k ? 4 k 2 ? 1 ? 2k ? 2 k 2 ? 1 . 2

解得 x1,2 ?

∴ x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 .
2 x2 y x ? 2 ? 4 ? 2, x2 x2 4

……………11 分

∴直线 OC 的斜率 kOC

……………12 分

直线 OD 的斜率 kOD ?

?1 x2 ? , x1 4

……………13 分 … ………14 分

∴ kOC ? kOD ,故 D, O, C 三点共线.

20. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 x ? ? 0, ??? 时,函数 y ? f ( x) 的图像恒在直线 y ? kx 上方, 等价于当 x ? ? 0, ??? 时, x ln x ? 1 ? kx 恒成立, 即k ? ………1 分 ………2 分

x ln x ? 1 1 ? ln x ? 恒成立, x x

令 g ? x ? ? ln x ?

1 1 1 x ?1 , x ? ? 0, ??? ,则 g ' ? x ? ? ? 2 ? 2 ………3 分 x x x x 1 在 ?1, ?? ? 上递增, x

当 x ? ?1,??? 时, g ' ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? ? ln x ? 当 x ? ? 0,1? 时, g ' ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? ? ln x ? ∴ g ?1? 为 g ? x ? ? ln x ?

1 在 ? 0,1? 上递减,………4 分 x

1 在区间 ? 0, ??? 上的极小值,仅有一个极值点故为最小值, x
………5 分 ………6 分
4

∴ x ? ? 0, ??? 时, g ? x ? ? g ?1? ? 1 所以实数 k 的取值范围是 ? ??,1?

(Ⅱ)证明 1(构造函数法): 由(1)知当 x ? 0 , x ? 1 时, x ln x ? 1 ? x ,即 ln x > 1令x?

1 x

………8 分 ………10 分 ………11 分

n ?1 n ?1 n ? 1? ,则 ln , n n n ?1 1 n ?1
1 3 1 n ?1

即得 ln( n ? 1) ? ln n ?
1 2

?, ln( n ? 1) ? ln n ? ? ln 2 ? ln 1 ? , ln 3 ? ln 2 ? ,

………12 分

? ln(n ? 1) ? (ln(n ? 1) ? ln n) ? (ln n ? ln(n ? 1)) ? ?? (ln 2 ? ln1 ) ? ln1
> 1 1 1 + +L + n+ 1 n 2
1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 3 4 n ?1
……………13 分

即 ln( n ? 1) ?

…………………14 分

证明 2(数学归纳法): ①当 n ? 1 时,由 2 ln 2 = ln 4 > 1 ,知 ln 2 > ②假设当 n ? k 时命题成立,即 那么,当 n ? k ? 1 时, +

1 成立; 2

………7 分

1 1 1 1 + + +L + < ln(k + 1) 2 3 4 k+1

1 2

1 1 1 1 1 + +L + + < ln( k + 1) + ………8 分 3 4 k+1 k+ 2 k+ 2

下面利用分析法证明: ln(k + 1) +

1 < ln(k + 2) k+ 2

………9 分

要证上式成立,只需证: 只需证: 1令x=

1 < ln(k + 2) - ln(k + 1) k+ 2
………10 分

k+1 k+ 2 < ln k+ 2 k+1

k+ 2 1 < ln x , ( x > 1) ,只需证: 1k+1 x

………11 分

只需证: x < x ln x + 1 , ( x > 1) 由(1)知当 x ? 1 时, x ln x ? 1 ? x 恒成立. 所以,当 n ? k ? 1 时, ………12 分

1 1 1 1 1 + + +L + + < ln(k + 2) 也成立,……13 分 2 3 4 k+1 k+ 2
………14 分

由①②可知,原不等式成立.

5


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