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上海市浦东新区2014届高三数学一模试卷(文科,含答案)


上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测

高三数学试卷(文科)
2014.1 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1. lim

n2 ? 1 ? ___________. n?? 2n 2 ? n
x ? 0 的解是_

__________. x ?1

2. 不等式

3.已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3,(n ? 2, n ? N * ) ,则 an =___________. 4.已知 tan ?、 ? 是方程 x 2 ? 6 x ? 7 ? 0 的两根,则 tan(? ? ? ) =_______. tan 5.甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生.为统计三校学生某方面的 情况,计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,则应在甲校抽取的学生数 是___________. 6.已知函数 f ( x) ?

1 2
x

?1 4
x

的反函数为 f

?1

( x) ,则 f ?1 (12) ? ___________.

7.已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? a ? 3i (a ? R), z1 ? z2 是 实数,则 z1 ? z2 =___________. 8.二项式 ( x 2 ? )9 的展开式中,含 x 3 的项的系数是___________. 9.在锐角 VABC 中, AC ? 4, BC ? 3 ,三角形的面积等于 3 3 ,则 AB 的长为___________.

1 x

?y ? x ? 10.已知实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ,则 s ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 的最大值是 ? y ? ?2 ?
11. 已知圆锥的底面半径为 3,体积是 12? ,则圆锥侧面积等于___________.

.

12.函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ,若 f ( x) ? a <2 恒成立的充分条件是 1 ? x ? 2 ,则实数 a 的取值 范围是 .

13.用 | S | 表示集合 S 中的元素的个数,设 A、B、C 为集合,称 ( A, B, C ) 为有序三元组.如 果集合 A、B、C 满足 A I B = B I C = C I A = 1 ,且 A I B I C ? ? ,则称有序三元组

( A, B, C ) 为最小相交.由集合 {1, 2,3} 的子集构成的所有有序三元组中,最小相交的有序三
元组的个数为 .

1/3

14. 已知函数 y ? f ( x), x ? N , y ? N ,对任意 n ?N* 都有 f [ f (n)] ? 3n ,且 f ( x) 是增函
* *

数,则 f (3) ? 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项 是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设 a, b ? R, a ? b ,则下列不等式一定成立的是( )

1 1 (C) a 2 > ab < a b 16. 方程 log 5 x = sin x 的解的个数为( )
(A) a 2 > b2 (B) (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5

(D) 2a > 2b

17.已知函数 f ( x) ?

x2 ,则 x2 ?1
?1? ? 1 ? f ? ? ?L ? f ? ?? ? 3? ? 2013 ? ? 1 ? f? ?? ? 2014 ?

?1? f ?1? ? f ? 2 ? ? K ? f (2013) ? f ? 2014 ? ? f ? ? ? ?2?
( )

(A) 2010

1 2

(B) 2011

1 2

(C) 2012

1 2

(D) 2013

1 2

18. 如图所示,点 A, B, C 是圆 O 上的三点,线段 OC 与线段 AB 交于

uuu r uur uur u 圆内一点,若 OC ? mOA ? nOB ,则(
(A) 0 ? m ? n ? 1 ;

A C
O B



(B) m ? n ? 1 ;

(C) m ? n ? ?1 ; (D) ?1 ? m ? n ? 0 ; 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出 必要的步骤. 19. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) 如图, 四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形,SD ⊥平面 ABCD ,

SD ? AD ? 2
(1)求证: SA ? CD ; (2)求异面直线 SB 与 CD 所成角的大小.

20.(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明, 声音强度 D (分贝) 由公式 D ? a lg I ? b ( a、b 为非零常数)给出,其中 I (W / cm ) 为声音能量.
2

(1)当声音强度 D1 , D2 , D3 满足 D1 ? 2 D2 ? 3D3 时,求对应的声音能量 I 1 , I 2 , I 3 满足的

2/3

等量关系式; (2)当人们低声说话,声音能量为 10 话,声音能量为 10
?12 ?13

W / cm2 时,声音强度为 30 分贝;当人们正常说

W / cm2 时,声音强度为 40 分贝.当声音能量大于 60 分贝时属于噪音,

一般人在 100 分贝~120 分贝的空间内,一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时, 人会暂时性失聪. 21、 (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分)

3 1 如图, A( 设 一个动点从点 A , ) 是单位圆上一点, 2 2
出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一 周. 2 秒时,动点到达点 B , t 秒时动点到达点 P .设

y

A O x

P ( x, y )















y ? f (t ) ? sin(?t ? ? ) (?

?
2

?? ?

?
2

).

(1)求点 B 的坐标,并求 f (t ) ; (2)若 0 ? t ? 6 ,求 AP ? AB 的取值范围. 22、 (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 已知 a 为实数,函数 f ( x ) ?

??? ??? ? ?

1 ? x2 1 ? x2 ?a . 1 ? x2 1 ? x2

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的最小值; (2)当 a ? 1 时,判断 f ( x) 的单调性,并说明理由; (3)是否存在小于 0 的实数 a ,使得对于区间 ? ?

? 2 5 2 5? , ? 上的任意三个实数 r、s、t , 5 ? ? 5

都存在以 f (r )、f ( s)、f (t ) 为边长的三角形,请说明理由. 23、 (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 设项数均为 k ( k ? 2, k ? N )的数列 {an } 、 {bn } 、 {cn } 前 n 项的和分别为 S n 、 Tn 、 U n .
*

已知 an ? bn ? 2n (1 ? n ? k , n ? N ) ,且集合 {a1 , a2 , ?, ak , b1 , b2 , ?, bk }
*

= {2, 4, 6, ?, 4k ? 2, 4k} . (1)已知 U n ? 2n ? 2 ,求数列 {cn } 的通项公式;
n

(2)若 k ? 4 ,求 S 4 和 T4 的值,并写出两对符合题意的数列 {an } 、 {bn } ; (3)对于固定的 k ,求证:符合条件的数列对( {an } , {bn } )有偶数对.

3/3

上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测

高三数学试卷答案(文卷)
2014.1 一、填空题. 1.

1 2

2. 0 ? x ? 1 (或 (0,1) ) 8. -126 12. 1< a <4 9. 13. 6

3. 3n ? 2

4. 1

5. 30

6. log 2 3

7. 4 2 11. 15? 二、选择题 15. D 16. B

13
14.6

10. 90

17. D

18. B

三、解答题 19. 解: (1)∵ SD ⊥平面 ABCD

CD ? 平面 ABCD
∴CD⊥SD ……………………3 分 又四边形 ABCD 是正方形,∴CD⊥AD ∴CD⊥平面 SDA

SA ? 平面 SDA
∴SA⊥CD. ……………………………………6 分 (2)∵ AB ‖CD ∴ ?SBA 或其补角是异面直线 SB 与 CD 所成角.…………………………8 分 由(1) ,BA⊥平面 SDA,∴△SAB 是直角三角形.

2 2 ? 2 2 ??SBA ? arctan 2 ? tan ?SBA ?

………………………………………………11 分

故异面直线 SB 与 CD 所成角的大小为 arctan 2 . …………………………………12 分 20.解: (1)? D1 ? 2 D2 ? 3D3

? a lg I1 ? b ? 2(a lg I 2 ? b) ? 3(a lg I 3 ? b) ? lg I 1 ? 2 lg I 2 ? 3 lg I 3
? I1 ? I 2 ? I 3
2 3

…………………………2 分

………………………………………………4 分 …………………………………………………6 分 ………………………………………8 分

(2)由题意得 ?

?? 13a ? b ? 30 ?? 12 a ? b ? 40
4/3

?a ? 10 ? ?b ? 160

………………………………………10 分

? 100 ? 10 lg I ? 160 ? 120
10 ?6 ? I ? 10 ?4
?6 ?4

………………………………………………………13 分

答:当声音能量 I ? (10 ,10 ) 时,人会暂时性失聪. ………………………………14 分 21、解: (1)当 t ? 2 时, ?AOB ? 2 ? 所以 ?XOB ?

?
2

2? ? ? , 12 3

所以,点 B 的坐标是(0,1) ……………………………………………………2 分 又 t 秒时, ?XOP ?

?
6

?

?
6

t

………………………………………………………4 分

?? ?? ? y ? sin ? t ? ? , (t ? 0) . …………………………………………………………6 分 6? ?6
(2)由 A ?

??? ? ? ? 3 1? 3 1? , ? , B(0,1) ,得 AB ? ? ? ? 2 2? ? 2 ,2?, ? ? ? ? ?

又 P ? cos ?

? ?

?? ? ?? ?? ?? t ? ? ,sin ? t ? ? ? , 6? 6 ?? ?6 ?6

??? ? ? ?? 3 ? ? 1? ?? ?? ? AP ? ? cos ? t ? ? ? ,sin ? t ? ? ? ? ,…………………………8 分 ? 6? 2 6 ? 2? ?6 ?6 ? ?

??? ??? 3 ? ? 3 ? ? 1 1 ?? ?? ?? ? AP ? AB ? ? cos ? t ? ? ? ? sin ? t ? ? 4 2 6? 4 2 6? ?6 ?6

?

1 ? ?? 1 ?? ?? ?? ? sin ? t ? ? ? ? ? sin ? t ? ? ………………………………10 分 2 6 3? 2 6? ?6 ?6

? ? ? ? 5? ? ?? ? 1 ? ?? ? 0 ? t ? 6 ,? t ? ? ? ? , ? ,? sin ? t ? ? ? ? ? ,1? …………12 分 6 6 ? 6 6 ? 6? ? 2 ? ?6
所以, AP ? AB 的取值范围是 ? 0, ? 2

??? ??? ? ?

? 3? ? ?

………………………………14 分

22、解:易知 f ( x) 的定义域为 (?1,1) ,且 f ( x) 为偶函数. (1) a ? 1 时, f ? x ? ?

1 ? x2 1 ? x2 2 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4
5/3

………………2 分

1 ? x2 1 ? x2 ? 最小值为 2. …………………………4 分 x ? 0 时 f ? x? ? 1 ? x2 1 ? x2
(2) a ? 1 时, f ? x ? ?

1 ? x2 1 ? x2 2 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4

x ? ? 0,1? 时,

f ? x ? 递增;

x ? ? ?1, 0? 时, f ? x ? 递减;…………………………6 分

f ( x) 为偶函数.所以只对 x ? ? 0,1? 时,说明 f ? x ? 递增.
设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 0 ,得
4 4

1 1? x
4 1

?

1
4 1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

1 1 ? x14

?

1
4 1 ? x2

?0

所以 x ? ? 0,1? 时, (3) t ?

f ? x ? 递增;………………………………………………10 分

? 2 5 2 5? 1 ? x2 1 a 1 , ,? x ? ? ? ? ,? t ? [ ,1] ,? y ? t ? ( ? t ? 1) 2 5 ? 3 1? x t 3 ? 5

从而原问题等价于求实数 a 的范围,使得在区间 [ ,1] 上,恒有 2ymin ? ymax .……12 分 当 a ? 0 时, y ? t ?

1 3

a ?1 ? , t ? ? ,1? 为递增函数.……………………………………14 分 t ?3 ?

由 2?

1 ?1 ? ? 3a ? ? ?1 ? a ? ? 0 ,得 a ? 与 a ? 0 矛盾. 15 ?3 ?
? 2 5 2 5? , ? 上的任意三个实数 5 ? ? 5

所 以 不 存 在 小 于 0 的 实 数 a , 使 得 对 于 区 间 ??

r、s、t ,都存在以 f (r )、f (s)、f (t ) 为边长的三角形. ……………………………16 分
23、解: (1) n ? 1 时, c1 ? U1 ? 4

n ? 2 时, cn ? U n ? U n ?1 ? 2n ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 2n ?1 , c1 ? 4 不适合该式
故, cn ? ?

?4, n ? 1
n ?1 ?2 ? 2 , 2 ? n ? k

…………………………………………………………4 分

(2) S4 ? T4 ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 )

? (a1 ? b1 ) ? (a2 ? b2 ) ? (a3 ? b3 ) ? (a4 ? b4 ) ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 20
又 S4 ? T4 ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 )
6/3

? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 ? 12 ? 14 ? 16 ? 72
得, S 4 =46, T4 =26 数列 {an } 、 {bn } 可以为: ① 16,10,8,12;14,6,2,4 ③ 6,16,14,10;4,12,8,2 ⑤ 4,12,16,14;2,8,10,6 ② 14,6,10,16;12,2,4,8 ④ 4,14,12,16;2,10,6,8 ⑥ 16,8,12,10;14,4,6,2 ……………………10 分
*

…………………………………………………………8 分

(3)令 d n ? 4k ? 2 ? bn , en ? 4k ? 2 ? an ( 1 ? n ? k , n ? N )

…………………12 分

dn ? en ? (4k ? 2 ? bn ) ? (4k ? 2 ? an ) ? an ? bn ? 2n
又 {a1 , a2 , ?, ak , b1 , b2 , ?, bk } = {2, 4, 6, ?, 4k} ,得

{4k ? 2 ? a1 , 4k ? 2 ? a2 , ?, 4k ? 2 ? ak , 4k ? 2 ? b1, 4k ? 2 ? b2 , ?, 4k ? 2 ? bk }
= {2, 4, 6, ?, 4k} 所以,数列对( {an } , {bn } )与( {d n } , {en } )成对出现。 ………………16 分

假设数列 {an } 与 {d n } 相同,则由 d 2 ? 4k ? 2 ? b2 ? a2 及 a2 ? b2 ? 4 ,得 a2 ? 2k ? 3 ,

b2 ? 2k ? 1 ,均为奇数,矛盾!
故,符合条件的数列对( {an } , {bn } )有偶数对。 ……………………18 分



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