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惠州市2017届高三第一次调研考试数学文试题(含解析)


惠州市 2017 届高三第一次调研考试



学(文科)
第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 (1)已知 A ? {1, 2, 4,8,16}, B ? { y | (A) {1, 2} (B) {2, 4,8}

y ? log2 x, x ? A} ,则 A ? B ? (
(C) {1, 2, 4} )



(D) {1, 2, 4,8}

(2)若复数 z 满足 (1 ? 2i) z ? (1 ? i) ,则 | z |? (

(A)

2 5

(B)

3 5

(C)

10 5

(D) 10

1 1 , tan(? ? ? ) ? ,则 tan ? = ( ) 3 2 1 1 5 (A) (B) (C) 6 7 7 (4)函数 y ? x x ? px, x ? R ( )
(3)若 tan ? ? (A)是偶函数 (B)是奇函数 (C)不具有奇偶性

( D)

5 6

(D)奇偶性与 p 有关 )

(5)若向量 a ? ( x ? 1, 2) 和向量 b ? (1, ?1) 平行,则 a ? b =( (A) 10 (B)

?

?

?

?

10 2

( C) 2

(D)

2 2

(6)等比数列 {an } 的各项为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18 , 则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? ( (A) 12 (B) 10
2

) (D) 2 ? log3 5 )

(C) 8

(7)命题“任意 x ??1,2?, x ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是( (A) a ? 4 (B) a ? 4 (C) a ? 5 (D) a ? 5

?x ? y ? 0 ? 2 x? y (8) 已知 ?3 x ? y ? 6 ? 0 ,则 z ? 2 的最小值是( ?x ? y ? 2 ? 0 ?
(A) 1 (B) 16 (C) 8 ( D) 4



1

(9)执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为( (A) 2 (C) ? (B) ?3



开始

k ? 1, S ? 2
1? S 1? S


1 2

(D)

1 3

S ?

k =k ? 1

k ? 2016 ?


输出

S

(10)某几何体的三视图如右图,其正视图中的曲 线部分为半圆,则该几何体的表面积为( (A) (19 ? ? )cm
2

结束



(B) (22 ? 4? )cm (C) (10 ? 6

2

2 ? 4? )cm2

(D) (13 ? 6 2 ? 4? )cm2

(11) 已知三棱锥 S ? ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, AB ? 2, SA ? SB ? SC ? 2, 则三棱 锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是( (A) ) (D)

3 3

(B)1

(C) 3

3 3 2

(12)双曲线 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的实轴的两个端点为 A 、 B ,点 P 为双曲线 M 上除 A 、 B a 2 b2


外的一个动点,若动点 Q 满足 QA ? PA, QB ? PB ,则动点 Q 的轨迹为( (A)圆 (B)椭圆 (C) 双曲线 (D)抛物线

2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。 第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13)给出下列不等式:

1?

1 1 ? ?1, 2 3


1 1 1 3 1 ? ? ? ..... ? ? 2 3 7 2

1 1 1 1 ? ? ? ..... ? ? 2 , 2 3 15
???? 则按此规律可猜想第 n 个不等式为 .

(14)设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 3 的 函 数 , 上 图 表 示 该 函 数 在 区 间 ? ?2,1? 上 的 图 像 , 则

f ( 2 0 1 5) ? f ( 2 0 1? 6)

.

(15)已知 x ? 2 , y ? 2 ,点 P 的坐标为 ( x, y ) ,当 x, y ? R 时,点 P 满足 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 的
2 2

概率为

.

(16)设 m, n ? R , 若 直 线 l : mx? ny? 1 ? 0 与 x 轴 相 交 于 点 A , 与 y 轴 相 交 于 点 B , 且 l 与 圆

x2 ? y 2 ? 4 相交所得弦的长为 2 , O 为坐标原点,则 ?AOB 面积的最小值为

.

3

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的部分图像如图所示. 2?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式,并写出 f ? x ? 的单调减区间; (Ⅱ)已知 ?ABC 的内角分别是 A, B, C , A 为锐角,

y

1
O

4 ?A ? ? 1 且f? ? ? ? , cos B ? ,求 sin C 的值. 5 ? 2 12 ? 2

?1

? 6

2? 3

x

(18) (本小题满分 12 分) 为了迎接第二届国际互联网大会,组委会对报名参加服务的 1500 名志愿者进行互联网知识测试,从 这 1500 名志愿者中采用随机抽样的方法抽取 15 人,所得成绩如下:57,63,65,68,72,77,78,78, 79,80,83,85,88,90,95. (Ⅰ)作出抽取的 15 人的测试成绩的茎叶图,以频率为概率,估计这 1500 志愿者中成绩不低于 90 分的人数; (Ⅱ)从抽取的成绩不低于 80 分的志愿者中,随机选 3 名参加某项活动,求选取的 3 人中恰有一人 成绩不低于 90 分的概率.

4

(19) (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AA1 ? 平面 ABC ,?ABC 为正三角形,AA1 ? AB ? 6 ,D 为 AC 的中点. (Ⅰ)求证:平面 BC1D ? 平面 ACC1 A1 ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? BC1D 的体积.

C1 A1 B1

C A D B

5

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 短轴长为

2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点到两个焦点的距离之和为 , 2 3 a b

1 ,直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点。 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 O : x ? y ?
2 2

1 相切,证明: ?MON 为定值. 25

6

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 2 ax ? ln x ? 2 , a ? R . 2

(Ⅰ)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 有两个零点,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 是 ? O 的直径,弦 CD 与 AB 垂直,并与 AB 相交于点 E ,点 F 为弦 CD 上异于点 E 的 任意一点,连接 BF 、 AF 并延长交 ? O 于点 M , N . (Ⅰ)求证: B, E , F , N 四点共圆; (Ⅱ)求证: AC ? BF ? BM ? AB .
2 2

C

A M

E O F D

B
N

7

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 P(?1, 0) ,其倾斜角为 ? ,以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴 为 极 轴 , 与 直 角 坐 标 系 xOy 取 相 同 的 长 度 单 位 , 建 立 极 坐 标 系 , 设 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为

? 2 ? 6? cos? ? 5 ? 0 .
(Ⅰ)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 ? 的取值范围; (Ⅱ)设 M ( x, y ) 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| ax ? 1| . (Ⅰ)若 f ( x) ? 2 的解集为 [?6, 2] ,求实数 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 2 时,若存在 x ? R ,使得不等式 f (2 x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 7 ? 3m 成立, 求实数 m 的取值范围.

8

惠州市 2017 届高三第一次调研考试 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 C 6 B 7 C



学(文科)参考答案:

8 C

9 A

10 C

11 A

12 C

1.【解析】 B ? {log2 1,log2 2,log2 4,log2 8,log2 16} ? {0,1, 2,3, 4}.所以 A ? B ? {1, 2, 4} ,故选 C. 2.【解析】 z ?

1 ? i ?1 ? 3i 10 ,故选C. ? ?| z |? 1 ? 2i 5 5

1 1 ? tan(? ? ? ) ? tan ? 1 3.【解析】 tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? ? 2 3 ? ,故选 A. 1 1 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? ? 7 2 3
4.【解析】函数的定义域为 R 关于原点对称,? f ?? x? ? ?? x? ? x ? p?? x? ? ? x x ? px ? ? f ?x?,故函 数 f ?x? ? x x ? px 是奇函数,故选 B. 5. 【解 析】 依 题意 得, ?( x ? 1) ? 2 ?1 ? 0 , 得 x = - 3 , 又 a ? b ? (?2, 2) ? (1, ?1) ? (?1,1) , 所以

?

?

?

?

? ? | a ? b |?

2,故选 C.

5

6.【解析】 a5a6 ? a4a7 ? 18? a5a6 ? 9

log 3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? log 3 a10 ? log 3 ? a1a2 ? a10 ? ? log 3 ? a5 a6 ? ? 5log 3 9 ? 10
7.【解析】原命题等价于“ a ? x 对于任意 x ?
2

.

?1, 2? 恒成立”,得 a ? 4 ,
y (3,3) (1,1) 0 (2,0) x

故选 C. 8.【解析】如图,作出可行域(阴影部分),画出初始直线 l0 : 2 x ? y ? 0 ,平 行移动 l 0 ,可知经过点 (1,1) 时, 2 x ? y 取得最小值 3, 2 9.【解析】 k ? 1, S ? ?3; k ? 2, S ? ? ; k ? 3, S ? 期,所以 k ? 2016, S ? 2 ,故选 A.
2 x? y

? 8 ,故选 C.
l0

1 2

1 ; k ? 4, S ? 2, 以 4 为周 3

10. 【解析】几何体是一个组合体,包括一个三棱柱和半个圆柱,三棱柱的底 1 面积为: 2 ? ? 2 ? 2 ? 4 ,侧面积为: 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 6 2 ? 6 ;圆柱的底面半径是 1,高是 3,其底面积 2
1 为: 2 ? ? 1? ? ? ? ,侧面积为: 3 ? ? ? 3? ;∴组合体的表面积是 ? ? 6 2 ? 4 ? 6 ? 3? ? 4? ? 10 ? 6 2 , 2

故选 C.

? SH ? 平面 ABC , ? SH 11.【解析】 由题意 S 在平面 ABC 内的射影为 AB 的中点 H ,
9

CH ? 1 , ? 3,

在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO ,则 O 为 S ? ABC 的外接球球心. ? SC ? 2 , ? SM ? 1 ,

?OSM ? 30? ,? SO ?

2 3 3 , OH ? ,即为 O 到平面 ABC 的距离,故选 A. 3 3

12. 【解析】设 p(m, n), Q( x, y ), 双曲线M:

x2 y 2 ? ? 1 ,实轴的两个顶点 A(?a, 0), B(a, 0) , a 2 b2

? ? ny ,同 QA ? (? x ? a, ? y), PA ? (?m ? a, ?n) ,∵QA⊥PA,∴(-x-a)(-m-a)+ny=0,可得 m ? a ? ? x?a
ny n2 y 2 2 2 理根据 QB⊥PB,可得 m ? a ? ? ,两式相乘可得 m ? a ? 2 ,∵点 P(m,n)为双曲线 M 上 x?a x ? a2
除 A、B 外的一个动点,?

m2 n2 ? ?1 a 2 b2

整理得 n ?
2

b2 2 x2 b2 y 2 2 ( m ? a ) ? 4 ? 1 ,故选 C. , a2 a2 a

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13.

1 1 1 1 n ?1 1 ? ? ? ? ..... ? n ?1 ? 2 3 4 2 ?1 2

14. 2.

15.

π 16

16.3

13. 【解析】观察不等式左边最后一项的分母 3,7,15,?,通项为 2 差为

n ?1

? 1 ,不等式右边为首项为 1,公

1 1 1 1 n ?1 1 ? 的等差数列,故猜想第 n 个不等式为 1 ? ? ? ? ..... ? n ?1 2 3 4 2 ?1 2 2 1 1 1 1 n ?1 1 ? ? ? ? ..... ? n ?1 ? 2 3 4 2 ?1 2

答案:

14. 【解析】由于 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数,所以 f(2 015)+f(2 016)=f(672×3-1)+

f(672×3+0)=f(-1)+f(0),而由图像可知 f(-1)=2,f(0)=0,所以 f(2 015)+f(2 016)=2+0=2.
15. 【解析】如图,点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部 ( 含边界 ) ,满足

( x ? 2)2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 的点的区域为以(2,2)为圆心,2 为半径的圆面(含边界),∴
1 ? ? 22 ? P?4 ? 所求的概率 1 4? 4 16 .
1
16. 【解析】由直线与圆相交所得弦长为 2 ,知圆心到直线的距离为 3 ,即

m2 ? n 2

? 3

所以

1 m ?n
2 2

?

1 1 1 1 ? 2 mn mn ? A( , 0), B (0, ) 3 ,所以 6 ,又 m n ,所以 ?AOB 的面积为

1 ? 3 ,最小值 2 mn

为 3. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. 解:(Ⅰ)由周期 T ?

1 2

2π π π 2π ? ? , 得T ? π ? , 所以 ? ? 2. 3 6 2 ?
10

??????2 分

当x ?

π π π π π 时, f ( x) ? 1 ,可得 sin(2 ? ? ? ) ? 1. 因为 ? ? , 所以 ? ? . 故 f ( x ) ? sin(2 x ? ). 6 6 6 2 6
???4 分

由图像可得 f ( x) 的单调递减区间为 ? kπ ?

? ?

π 2π ? , kπ ? ? , k ? Z. ?????6 分 6 3?

π A? A π π 1 6 .????8 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, sin(2( ? ) ? ) ? 1 , 即 sin A ? ,又 A 为锐角,∴ 2 12 6 2 3 ? ,? sin B ? 1 ? cos 2 B ? . ? 00 ?? BB ?? π? , ?????9 分 5 ? sin C ? sin(? ? A ? B) ? sin( A ? B) ????10 分

? sin A cos B ? cos A sin B ?

1 4 3 3 4?3 3 . ? ? ? ? 2 5 2 5 10
????3 分

????12 分

18.解: (Ⅰ)抽取的 15 人的成绩茎叶图如图所示, 由样本得成绩在 90 以上频率为 的人数约为

2 ,故志愿者测试成绩在 90 分以上(包含 90 15



2 ?1500 =200 人. ????5 分 15

(Ⅱ)设抽取的 15 人中,成绩在 80 分以上(包含 80 分)志愿者为 A , B , C , D , E , F ,其中 E , F 的成绩在 90 分以上(含 90 分) , ????6 分

成绩在 80 分以上(包含 80 分)志愿者中随机选 3 名志愿者的不同选法有:{ A , B , C },{ A , B ,

D },{ A , B , E },{ A , B , F },{ A , C , D },{ A , C , E },{ A , C , F },{ A , D , F },
{ A , D , E },{ A , E , F },{ B , C , D },{ B , C , E },{ B , C , F },{ B , D , E },{ B , D ,

F },{ C , D , E },{ C , D , F },{ D , E , F },{ B , E , F },{ C , E , F }共 20 种,???8
分 其中选取的 3 人中恰有一人成绩在 90 分以上的不同取法有: { A , B , E }, { A ,B ,F },{ A ,C ,

E },{ A , C , F },{ A , D , F },{ A , D , E },{ B , C , E },{ B , C , F },{ B , D , E },
{ B , D , F },{ C , D , E },{ C , D , F }共 12 种, ∴ 选 取 的 3 人 中 恰 有 一 人 成 绩 在 90 分 以 上 的 概 率 为 ????10 分
C1 A1 O C D A B B1

12 3 = . 20 5

????12 分

19.解: (Ⅰ)证明:因为 AA1 ? 底面 ABC ,所以 AA1 ? BD ?????2 分 因为底面 ABC 正三角形, D 是 AC 的中点,所以 BD ? AC ?????4 分 因为 AA1 ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 ACC1 A 1 ??????5 分 因为平面 BD ? 平面 BC1D ,所以平面 BC1D ? 平面 ACC1 A 1 ????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ?ABC 中, BD ? AC , BD ? BC sin 60? ? 3 3 所以 S ?BCD ?

1 9 3 ? 3? 3 3 ? 2 2

????????????9 分
11

1 9 3 ? ? 6 ? 9 3 ?????????12 分 3 2 2 1 1 1 2a ? ,2b ? ,? a ? , b ? 20.解: (Ⅰ)由题意得 ? 9x 2 ? 16y 2 ? 1 ????4 分 3 2 3 4 1 (Ⅱ)当直线 l ? x 轴时,因为直线与圆相切,所以直线 l 方程为 x ? ? 。 ????5 分 5 ? 1 ?1 1? ?1 1? 当 l : x ? 时,得 M、N 两点坐标分别为 ? , ?, ? ,? ? ,? OM ? ON ? 0, ? ?MON ? ??? 5 2 ?5 5? ?5 5?
所以 VC ? BC1D ? VC ?C1BD ? 6分 当l : x ? ?

1 ? 时,同理 ?MON ? ; 5 2

????7 分

当 l 与 x 轴不垂直时, 设 l : y ? kx ? m, M ?x1 , y1 ?, N ( x2 , y2 ) ,由 d ? 联立 ?

m 1? k 2
2

?

1 2 2 ,? 25m ? 1 ? k , ????8 分 5

? y ? kx ? m ?9 x ? 16 y ? 1
2 2
2

得 9 ? 16k x ? 32kmx? 16m ? 1 ? 0 ????9 分
2 2

?

?

? ? ?32 km ? ? 4(9 ? 16 k 2 )(16 m 2 ? 1) ? 0, x1 ? x 2 ? ?

32 km 16m 2 ? 1 x x ? , , ????10 分 1 2 9 ? 16 k 2 9 ? 16k 2 25m 2 ? k 2 ? 1 ?0 ?OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 = 9 ? 16k 2

?

?

? ?MON ?

?

2

???? 11 分

综上, ?MON ?

?
2

(定值)

???? 12 分

21. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ax ? ①

1 ax 2 ? 1 ? ,x ? 0 x x

?????1 分 当

a ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0, ? ?) 上单调递减; ??????2 分
② 当 a ? 0时,令f ?( x) ? 0, 解得x ?

a .???? 3 分 a

a a 当x ? (0, )时,f ?( x) ? 0;当x ? ( , ? ?)时,f ?( x) ? 0 .????4 分 a a

a a ?函数f ( x)在(0, )内单调递减;在( , ? ?)内单调递增 a a

????5 分

( 0, ? ?) 上单调递减; 综上:当 a ? 0时,f ( x) 在
a a 当 a>0 时,?函数f ( x)在(0, )内单调递减;在( , ? ?)内单调递增 ????6 分 a a

在(0, +? )上单调递减,函数 f ( x) 不可能有两个零点;??? (Ⅱ)当 a ? 0时, 由(Ⅰ)得 f (x )
12

7分

a a 当 a>0 时,由(Ⅰ)得, 函数f ( x)在(0, )内单调递减,在( 且当 x 趋近于 0 , ? ?)内单调递增, a a
和正无穷大时, f ( x) 都趋近于正无穷大,???8 分

故若要使函数 f ( x) 有两个零点,则 f ( x) 的极小值 f (

a ) ? 0 ,??????10 分 a



1 1 ? ln a -2 ? 0 ,解得 0 ? a ? e 3 , 2 2
3

综上所述, a 的取值范围是 (0,e ) ???????12 分 22.解: (Ⅰ)证明:连接 BN ,则 AN ? BN ,?????2 分 又 CD ? AB, 则 ?BEF ? ?BNF ? 90? ,?????4 分 即 ?BEF ? ?BNF ? 180? ,则 B, E , F , N 四点共圆.?????5 分 (Ⅱ)由直角三角形的射影定理可知 AC 2 ? AE ? AB, ?????6 分

C

A M

E O F D

B
N

相似可知:

BF BE ( BA ? EA) , ? , BF ?BM ? BA?BE ? BA? BA BM

BF ? BM ? AB 2 ? AB ? AE ?????8 分

? BF ? BM ? AB2 ? AC 2 ,即AC 2 ? BF ? BM ? AB2 ?????10 分
23.解: (Ⅰ)将 C 的极坐标方程 ? 2 ? 6? cos? ? 5 ? 0 化为直角坐标为 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 ?1 分 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t cos ? (t为参数) ?????2 分 ? y ? t sin ?

将直线的参数方程代入曲线 C 的方程整理得 t 2 ? 8t cos ? ? 12 ? 0 ?????3 分 直线与曲线有公共点,?? ? 64cos2 ? ? 48 ? 0 ,得 cos ? ?

3 3 或 cos ? ? ? 2 2

? ? 5? ? ?? ? [0, ? ),?? 的取值范围为 [0, ] ? ? , ? ? .?????5 分 6 ? 6 ?
(Ⅱ)曲线C的方程 x ? y ? 6x ? 5 ? 0化为( x ? 3) ? y ? 4 ,
2 2 2 2

其参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2cos ? (? 为参数) ?????7 分 ? y ? 2sin ?
13

?? ? M ( x, y) 为曲线 C 上任意一点,? x ? y ? 3 ? 2cos ? ? 2sin ? ? 3 ? 2 2 sin ?? ? ? .?????9 分 4? ?
x ? y 的取值范围是 [3 ? 2 2,3 ? 2 2] ?????10 分
24.解: (Ⅰ)显然 a ? 0 ,?????1 分 当 a ? 0 时,解集为 [ ?

1 3 1 3 , ] , ? ? ?6, ? 2 ,无解;?????3 分 a a a a 1 a
1 1 3 ? 2, ? ?6 , a ? ? , 2 a a

当 a ? 0 时,解集为 [ , ? ] ,令 ?

3 a

综上所述, a ? ?

1 .?????5 分 2

1 ? ??2 x ? 4, x ? ? 4 ? 1 3 ? (Ⅱ)当 a ? 2 时,令 h( x) ? f (2x ?1) ? f ( x ?1) ? 4x ?1 ? 2x ? 3 ? ?6 x ? 2, ? ? x ? ????7 4 2 ? 3 ? ?2 x ? 4, x ? 2 ?
分 由此可知, h( x) 在 ( ??, ? ) 单调减,在 ( ?

1 4

1 3 3 , ) 和 ( , ??) 单调增, 4 2 2
?????8 分

则当 x ? ?

1 7 时, h( x) 取到最小值 ? , 4 2

由题意知, ?

7? 7 ? ? 7 ? 3m ,则实数 m 的取值范围是 ? ??, ? ?????10 分 2? 2 ?

14


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