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正态分布习题与详解(非常有用,必考点)


1. 若 x ~ N (0,1), 求 (l) P (-2.32< x <1.2) ; (2) P ( x >2). 解: (1) P (-2.32< x <1.2)= ? (1.2)- ? (-2.32) = ? (1.2)-[1- ? (2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2) P ( x >2)=1- P

( x <2)=1- ? (2)=l-0.9772=0.0228. 2 利用标准正态分布表,求标准正态总体
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(1)在 N(1,4)下,求 F (3)
2

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(2)在 N(μ ,σ )下,求F(μ -σ ,μ +σ ) ; 解: (1) F (3) = ? (

? ? ?? ? ? ) =Φ (-1)=1-Φ (1)=1-0.8413=0.1587 F(μ -σ )= ? ( ?
F(μ -σ ,μ +σ )=F(μ +σ )-F(μ -σ )=0.8413-0.1587=0.6826 3 某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为

3 ?1 ) =Φ (1)=0.8413 2 ? ?? ? ? ) =Φ (1)=0.8413 (2)F(μ +σ )= ? (

1 2?

,求总体落入区

间(-1.2,0.2)之间的概率 [Φ (0.2)=0.5793, Φ (1.2)=0.8848]
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解:正态分布的概率密度函数是 f ( x) ?

1 2? ?

e

?

( x?? )2 2? 2

, x ? (??,??) ,它是偶函数,

说明μ =0, f ( x) 的最大值为 f ( ? ) = 布

1 2? ?

,所以σ =1,这个正态分布就是标准正态分

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P(?1.2 ? x ? 0.2) ? ?(0.2) ? ?(?1.2) ? ?(0.2) ? [1 ? ?(1.2)] ? ?(0.2) ? ?(1.2) ? 1
? 0.5793 ? 0.8848 ? 1 ? 0.4642
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4.某县农民年平均收入服从 ? =500 元, ? =200 元的正态分布 (1)求此县农民年平均收 入在 500 ? 520 元间人数的百分比; (2)如果要使此县农民年平均收入在( ? ? a, ? ? a )
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内的概率不少于 0.95,则 a 至少有多大?[Φ (0.1)=0.5398, Φ (1.96)=0.975] 解:设 ? 表示此县农民年平均收入,则 ? ~ N (500 ,200 )
2
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520 ? 500 500 ? 500 ) ? ?( ) ? ?(0.1) ? ?(0) ? 0.5398 ? 0.5 ? 0.0398 ( 2 ) ∵ 200 200 a a a P( ? ? a ? ? ? ? ? a) ? ? ( ) ? ? (? ) ? 2? ( ) ? 1 ? 0.95 , 200 200 200 a ??( ) ? 0.975 200 a ? 1.96 ? a ? 392 查表知: 200 P(500 ? ? ? 520) ? ?(
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1 设随机变量 ( A)

(3,1),若 ( B)l—p 因 为 ,选

,,则 P(2<X<4)= C.l-2p D. , 所 以 C. P(2<X<4)=

【 答 案 】 C

2.(2010· 新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发 芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( A.100 B.200 C.300 D.400[答案] B )

[解析] 记“不发芽的种子数为 ξ”, 则 ξ~B(1 000, 0.1), 所以 E(ξ)=1 000×0.1=100, 而 X=2ξ,故 E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=200,故选 B. 3.设随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P -1 a 0 b 1 c )

1 其中 a,b,c 成等差数列,若 E(ξ)= ,则 D(ξ)=( 3 4 A. 9 1 2 5 B.- C. D. 9 3 9

[答案] D [解析] 由条件 a,b,c 成等差数列知,2b=a+c,由分布列的性质知 a+b+c=1,又 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 -1- ?2+ ?0- ?2+ ?1- ?2= . E(ξ)=-a+c= ,解得 a= ,b= ,c= ,∴D(ξ)= ×? 3? 3? 3? 2? 3? 9 3 6 3 2 6 ? 4.(2010· 上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共 7 个,从中任取 2 个球,已知取到 6 白球个数的数学期望值为 ,则口袋中白球的个数为( 7 [答案] A [解析] 设白球 x 个, 则黑球 7-x 个, 取出的 2 个球中所含白球个数为 ξ, 则 ξ 取值 0,1,2, C7-x2 ?7-x??6-x? P(ξ=0)= 2 = , C7 42 x· ?7-x? x?7-x? P(ξ=1)= = , C 72 21 Cx2 x?x-1? P(ξ=2)= 2= , C7 42 ?7-x??6-x? x?7-x? x?x-1? 6 ∴0× +1× +2× = , 42 21 42 7 ∴x=3. )A.3 B.4 C.5 D.2

5.小明每次射击的命中率都为 p,他连续射击 n 次,各次是否命中相互独立,已知命 中次数 ξ 的期望值为 4,方差为 2,则 p(ξ>1)=( 255 9 247 7 A. B. C. D. 256 256 256 64 [答案] C [解析] 由条件知 ξ~B(n,P),
?E?ξ?=4, ?np=4 ? ? ∵? ,∴? , ?D?ξ?=2 ?np?1-p?=2 ? ?

)

1 解之得,p= ,n=8, 2 1?0 ?1?8 ?1?8 ∴P(ξ=0)=C80×? ?2? ×?2? =?2? , 1?1 ?1?7 ?1?5 P(ξ=1)=C81×? ?2? ×?2? =?2? , ∴P(ξ>1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1) 1?8 ?1?5 247 =1-? ?2? -?2? =256. 5 已知三个正态分布密度函数 φi(x)= 则( ) ?x-μi?2 1 e- (x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示, 2σi2 2πσi

A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 [答案] D [解析] 正态分布密度函数 φ2(x)和 φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称,所以其平均 数相同,故 μ2=μ3,又 φ2(x)的对称轴的横坐标值比 φ1(x)的对称轴的横坐标值大,故有 μ1<μ2 =μ3.又 σ 越大,曲线越“矮胖”,σ 越小,曲线越“瘦高”,由图象可知,正态分布密度函 数 φ1(x)和 φ2(x)的图象一样“瘦高”,φ3(x)明显“矮胖”,从而可知 σ1=σ2<σ3. 6①命题“ ②若 ③定义在 R 上的奇函数 ”的否定是:“ ,则 满足 的最大值为 4; ,则 的值为 0; ”;

④已知随机变量

服从正态分布

,则

;

其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上). 【答案】①③④ ①命题“ ”的否定是:“ ①正确. ②若 ,即 ,则 ,即 ,解得 满足 ,则

”;所以

.所以 的最小值为 4; ,则 ;所

所 以 ② 错 误 .③ 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ,且 以③正确. ④ 已 知 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 , 所以 ④正确,所以真命题的序号是①③④. 7、在区间 上任取两数 m 和 n,则关于 x 的方程

,即函数的周期是 4.所以

, 则 ; 所以

有两不相等实根的概

率为___________.
【答案】

由题意知 ,即 , , 当 , 所以方程

要使方程

有两不相等

实根,则

.作出对应的可行域,如图直线 时 , , 所 以 有两不相等实根的概率为

.

8、下列命题: ` (1) ; 恒成立,则 ;

(2)不等式

(3)随机变量 X 服从正态分布 N(1,2),则 (4)已知
【 答 案 】 (2)(3)

则 (1)

.其中正确命题的序号为____________. , 所 以 (1) 错 误 .(2) 不 等 式 成立,则 正 确 ,所 .(4)

的最小值为 4,所以要使不等式 以 (2) 正 确 .(3)

,所以(4)错误,所以正 确的为(2)(3).

2 已知某篮球运动员 2012 年度参加了 40 场比赛,现从中抽取 5 场,用茎叶图统计该运动员 5 场中的得分如图所示,则该样本的方差为

( A.26
【 答 案 】 D



B.25 C.23 样 本 的 平 均 数 为

D.18 23, 所 以 样 本 方 差 为 ,选 D.

3 有一个容量为 频数为

的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在

内的

( A.
【答案】C



B. 样本数据在

C. 之外的频率为

D. , , 所以样本数据在 的频数为

所以样本数据在

内的频率为 ,选 C.

4. (2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)如图所示,在边长为 l 的正方形 OABC 中

任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 A.
【答案】

( D.



B.

C.

【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为 ,所以由几何概型公式可得点 P 恰好取自阴影部分

的概率为

,选

B.

5 从集合 ?1, 2,3, 4,5? 中随机选取 3 个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.
【答案】

2 5

3 从集合 ?1, 2,3, 4,5? 中随机选取 3 个不同的数有 C5 ? 10 种.则 3 个数能构成等差数列的

有, 1, 2,3; 2,3, 4;3, 4,5;1,3,5; 有 4 种,所以这个数可以构成等差数列的概率为

4 2 ? . 10 5


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