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2013-2014学年高二理科数学第二学期期末考试题一


2013-2014 学年高二理科数学第二学期期末考试题一
一、 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的。 ) 1.已知集合 A={1,2 a } ,B={ a , b } ,若 A∩B={
1 A. {-1, ,1} 2 1 } ,则 A∪B 为( 2 1 }

2


1 ,1, b } 2

B. {-1,

1 } 2

C. {1, ) C.0

D. {

2.若复数 z ? A. ?3

x ? 3i ( x ? R) 是实数,则 x 的值为( 1? i

B.3

D. 3

3. 设点 P 对应的复数为 ?3 ? 3i ,以原点为极点,实轴 正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标 为( )
5 B. ( ? 3 2 , ? ) 4 5 C. ( 3 , ? ) 4 3 D. ( ? 3 , ? ) 4

3 A.( 3 2 , ? ) 4

4.下列函数中与函数 奇偶性相同且在(-∞,0)上单调性也相同的是( A. y ? ?
1 x

)

B. y ? log2 | x |

C. y ? 1 ? x2 )

D. y ? x3 ?1

2 5. 条件 p :| x |? x ,条件 q : x ? ? x ,则 p 是 q 的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C 充要条件

D.既不充分又不必要条件
f ( x) ? f (? x) ?0 的 x

6.设偶函数 f ( x) 在 (0, ??) 上为减函数,且 f (2) ? 0 ,则不等式 解集为( ) B. (??, ?2) (0,2) C. (??, ?2) (2, ??) )

A. (?2,0) (2, ??)

D. (?2,0) (0,2)

7. 以下说法,正确的个数为: (

①公安人员由罪犯的脚印的尺寸 估计罪犯的身高情况,所运用的是类比推理. ②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的. ③由平面几何中圆的一些性质,推测出球的某些性质这是运用的类比推理. ④个位是 5 的整数是 5 的倍数,2375 的个位是 5,因此 2375 是 5 的倍数,这是运用的演绎推理.
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A.0
2 2 0 0

B.2
2 0

C.3

D.4

8. 若 a ? ? x2 dx , b ? ? x3dx , c ? ? sin xdx ,则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? c ? b B. a ? b ? c C. c ? b ? a D. c ? a ? b

9.用数学归纳法证明“ (n ?1)(n ? 2) ??? (n ? n) ? 2n ?1? 2 ??? (2n ?1)(n ? N ? ) 时,从 “ n ? k 到 n ? k ? 1 ”时,左 边应增添的式子是 A.
2k ? 1

( B. 2k ? 3

) C. 2(2k ? 1) D. 2(2k ? 3)

10.下列说法: (1)命题“ ?x ? R ,使得 2 x ? 3 ”的否定是“ ?x ? R ,使 得 2 x ? 3 ” (2)命题“函数 f ? x ? 在 x ? x0 处有极值,则 f ?? x0 ? ? 0 ”的否命题是真命题 (3) f ? x ? 是( ? ? ,0)∪(0, ? ? )上的奇函数, x ? 0 时的解析式是 f ? x ? ? 2 x ,则 x ? 0 的解 析式为 f ? x ? ? ?2 ? x 其中正确的说法的个数是( A.0 个 B. 1 个 ) C. 2 个 D. 3 个
3 ,0)成中心对称且对任意的实数 x 都有 f(x)= 4

11. 定义在 R 上的函数 f(x)的图像关于点(-

f(x+ A.1

3 )且 f(-1)=1,f(0)=-2,则 f(1)+f(2)+??+f(2014)=( 2



B. 0

C .-1

D.2

12. 已知函数 f ( x ) = a( x ? A.[1,+∞)

1 a ) ? 2 ln x( a ? R ) , g( x ) = ? ,若至少存在一个 x0 ∈[1 , e] ,使得 x x f ( x0 ) ? g( x0 ) 成立,则实数 a 的范围为

B.(0,+∞)

C.[0,+∞)

D.(1,+∞)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )
1 13. 已知 f ( x ? 1) ? 2 x ? 3 ,且 f (m) ? 6 ,则 m 等于_________________ 2

14 . 观察下列等式 : 13 ? 23 ? 32 ,13 ? 23 ? 33 ? 62 ,13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102 , ?,根据上述规律 , 第五个等式为 _________________

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3 ? x ? t2 ? ? ? x ? 3 cos ? 2 (t ? R ) , 它 们 的 交 点 坐 标 为 15. 已 知 两 曲 线 参 数 方 程 分 别 为 ? (0 ? ? ? ? ) 和 ? ? ? ?y ? t ? y ? sin ?
_________________ 16. 有下列几个命题: ①函数 y =2x2+x+1 在( 0,+∞)上是增函 数;②函数 y =
1 在(-∞,- 1)∪(- 1,+∞) x ?1

上是减函数;③函数 y = 5 ? 4 x ? x 2 的单调区间是[-2,+∞) ;④已知 f(x)在 R 上是增函数,若

a+b>0,则有 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).其中正确命题的序号是__ ____________
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 设命题 p :实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q :实数 x 满足

x2 ? 2 x ? 8 ? 0, 且 ?p是?q 的必要不充分条件, 求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲
? 3 x ? ?2 ? t ? ? 2 线 C 的方程为 ? ? 4 cos? ,直线 l 方程为 ? (t 为 参数) ,直线 l 与 C 的公共点为 T. ? y ? 1t ? ? 2

(1)求点 T 的极坐标; (2)过点 T 作直线 l ' , l ' 被曲线 C 截得的线段长为 2,求直线 l ' 的极坐标方程.

19. (本小题满分 12 分)已知 a 为实数, f ( x) ? ( x 2 ? 4)(x ? a) . (Ⅰ)若 f ?(?1) ? 0 ,求 f ( x) 在 [?2,2] 上的最大值和最小值;
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(Ⅱ)若 f ( x) 在 ( ??,?2] 和 [2,??) 上都是递增的,求 a 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

a( x ? 1) ,a ? R . x ?1

(1)若 x ? 2 是函数 f ( x) 的极值点,求曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围;

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x2 (x∈R,且 x≠2). x?2

(1)求 f(x)的 单调区间; (2)若函数 g ( x) ? x2 ? 2ax 与函数 f(x)在 x∈[0,1]上有相同的值域,求 a 的值.

22. (本小题满分 12 分)已知定义在 (0, ??) 上的三个函数 f ( x) ? ln x ,g ( x) ? x2 ? af ( x) ,h( x) ? x ? a x , 且 g ( x) 在 x ? 1 处取得极值. (Ⅰ)求 a 的值及函数 h( x) 的单调区间. (Ⅱ)求证:当 1 ? x ? e2 时,恒有 x ?
2 ? f ( x) 成立. 2 ? f ( x)

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2013-2014 学年高二理科数学第二学期期末考试题一参考答案 一、选择题 AAACA BCDCC AB

三、解答题: 17.(本小题满分 10 分) 解:设 A ? x x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0(a ? 0) ? ? x 3a ? x ? a(a ? 0)?
B ? x x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ? ?x x ? ?4或x ? 2? .

?

?

?

?

????3 分

??????5 分

? ? p 是 ? q 的必要不充分条件, ? q是p 必要不充分条件,所以 A ? B ,

所以 3a ? 2或a ? ?4 ,又 a ? 0 ,????????8 分 所以实数 a 的取值范围是 a ? ?4 . 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程 x2 ? 4 x ? y 2 ? 0 ???????. 2 分
? 3 x ? ?2 ? t ? ? 2 代入上式并整理得 t 2 ? 4 3t ? 12 ? 0 . 将? ?y ? 1 t ? ? 2

???????????10 分

解得 t ? 2 3 . ? 点 T 的坐标为(1, 3 )??????????4 分 其极坐标为(2,

? ) 3

????????????6 分

(Ⅱ )设直线 l ' 的方程 y ? 3 ? k ( x ? 1),即kx - y ? 3 - k ? 0.

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直线 l ' 的方程为 y ? 3 ,或 y ? 3x ????????10 分 其极坐标方程为 ? sin ? ? 3 或 ? ?

?
3

( ? ? R) ????12 分

4 在 [ , 2] 上单调递增 3

所以 f ( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为

9 50 ,最小值为 ? ??????.6 分 27 2

( 2 ) f ?( x ) 的 图 象 为 过 ( 0 ? , 4, ) 开 口 向 上 的 抛 物 线 由 题 f ?(?2) ? 0 且 f ?(2) ? 0 解 得
?2 ? a ? 2 ??????.12 分

20.( 本小题满分 12 分) 解: (1) f ?( x) ?
1 a( x ? 1) ? a( x ? 1) ( x ? 1)2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? ? . ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2 x( x ? 1)2
9 ,经检验,符合题意。 4

由题意知 f ' (2) ? 0 ,代入得 a ? 从而切线斜率

1 k ? f ' (1) ? ? ,切点为 ?1,0 ? , 8

切线方程为 x ? 8 y ? 1 ? 0 (2) f ?( x) ?

???????5 分

x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 . x( x ? 1)2

因为 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数,所以 f ?( x) ? 0在(0, ??) 上恒成立? ???7 分
即x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0在(0, ??)上恒成立. 1 当x ? (0, ??)时,由x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0, 得2a ? 2 ? x ? . x 1 1 1 设g ( x) ? x ? , x ? (0, ??).g ( x) ? x ? ? 2 x ? ? 2. x x x 1 所以当且仅当x ? , 即x ? 1时, g ( x)有最小值2. x 所以2a ? 2 ? 2.所以a ? 2.
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所以 a 的取值范围是 (??, 2]. ...................................................12 分 21. (本小题满分 12 分) [(x-2)+2]2 4 解:(1)f(x)= = =(x-2)+ +4,????2 分 x-2 x-2 x-2 4 令 x-2=t,由于 y=t+ +4 在(-∞,-2),(2,+∞)内单调递增,在(-2,0),(0,2)

x2

t

内单调递减,∴容易求得 f(x)的单调递增区间为 (-∞,0),(4,+ ∞);单调递减区间为(0,2),(2,4).?????6 分 (2)∵f(x)在 x∈[0,1 ]上单调递减,∴其值域为[-1,0], 即 x∈[0,1]时,g(x)∈[-1 ,0].?????8 分 ∵g(0)=0 为最大值,∴最小值只能为 g(1)或 g(a),????9 分 ?a≥1, 若 g(1)=-1,则? ? a=1; ?1-2a=-1 ?1 ≤a≤1, 若 g(a)=-1 ,则?2 ? a=1.

?-a =-1
2

综上得 a=1????????????????????12 分 22. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) g ( x) ? x2 ? af ( x) ? x2 ? a ln x , g ?( x) ? 2x ? , g ?(1) ? 2 ? a ? 0 , ∴ a ? 2 ????????????2 分
h?( x ) ? 1 ? 而 h( x) ? x ? 2 x , 1 x x1 ? ? , 令 h?() 1 0? 得 x ?1; x1 ? ? 令 h?() x 1 0? x

a x

得 0 ? x ?1. ∴函数 h( x)

单调递增区间是 (1, ??) ;单调递减区间是 (0,1) ????4 分 (Ⅱ)∵ 1 ? x ? e2 ,∴ 0 ? ln x ? 2 ,∴ 2 ? ln x ? 0 , 欲证 x ?
2 ? f ( x) 2( x ? 1) ,只需要证明 x[2 ? f ( x)] ? 2 ? f ( x) ,即证明 f ( x) ? ??6 分 2 ? f ( x) x ?1

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