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椭圆1


嫦娥奔月

8.3.1椭圆的定义和标准方程

工科教材

椭圆的定义和标准方程

新课引入 圆的定义: 平面内到定点的距 离等于定长的点的 轨迹叫圆. 平面内到两个定 点的距离之和等 于定长的点的轨 迹是什么?

8.3.1椭圆的定义和标准方程

想一想<

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8.3.1椭圆的定义和标准方程

1.在画椭圆的过程中, F1 , F2 是固定的,还是移动的?
F1 , F2 是固定的

2.在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?这能否说 明椭圆上任意一点到F1,F2的距离之和是一个常数? 绳子的长度没变,能说明椭圆上任意一点到F1,F2的距 离之和是一个常数。 3.在画椭圆的过程中,绳子的长度是否大于 F1 , F2 的距离? 绳子的长度大于 F1 , F2 的距离

椭圆的定义

8.3.1椭圆的定义和标准方程

常数 平面内与两个 定点 F1、F2的 距离之和 等于__的点 的轨迹叫做椭圆。其中常数记为2a,2a> | F1F2 |。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两个焦点间的距离|F1F2|叫做焦距,焦距记为2c。

椭圆标准方程的推导
椭圆上的点满足
| MF1 | + | MF2 |=2a

8.3.1椭圆的定义和标准方程

则: ? x + c ?2 + y 2 + ? x - c ?2y+ y 2 = 2a
?

? x + c?
2

2

+ y = 2a -

2

? x - c?

M( x , y )
2

+ y2
2 2 2

2 ? ? x + c ? + y2 = 4 a F1 -c , 04 ?a ?O

? y x? ? x - c ? ? xF-2?cc?, 0+

+ y2

? a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? a 2 ? cx

? a 2 x 2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2 ? a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2

以F1、 所在直线为 x 12 F 2 2 2 2y 设F2 b2 = a2 - c2 ? b > 0 =a b ? 轴,线段 得 b2x2+aF 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系. x2 y2 即: 2 + 2 = 1 ? a > b > 0?
a b

M x2, y2 y )2是椭圆上任意一点 ?设 c2( +a = a2 ? a2 - c2 ? ? a2 ?x

标准方程

8.3.1椭圆的定义和标准方程

x y ? 2 ?1 2 a b
它所表示的椭圆

2

2

y

(a ? b ? 0)
F1
O

M

这个方程叫做椭圆的标准方程

F2

x

1. 焦点在x轴上, 焦点坐标分别为 F1(-c,0)和 F2(c,0),焦距| F1F2 |=2c.

其中

a 2 ? b2 ? c2

2.椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是2a.

练习一

8.3.1椭圆的定义和标准方程

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? b ? 0)

x2 y2 1 .已知椭圆的标准方程为 它表示焦点在 X ? ?1 , 9 4
轴上的椭圆,

a ? ______ 9
2

2 4 b , ? ______

2 5 c , ? ______



x2 y2 ? ? 1 , 它表示焦点在 X 2 .已知椭圆的标准方程为 10 7
轴上的椭圆,

a ? ______ 10

3 。 7 ,c ? ______ , b ? ______

8.3.1椭圆的定义和标准方程

y y

M
F1 (-c,0)O F2 (c,0)

F2

(0,c) M
x

x

O
F1

(0,-c)

x y ? 2 ?1 2 a b
(a ? b ? 0)

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b
(a ? b ? 0)

2

2

8.3.1椭圆的定义和标准方程

y x ? 2 ?1 2 a b
它所表示的椭圆

2

2

y

(a ? b ? 0)

F2
O

M x

F1

1.焦点在y轴上,其中焦点坐标分别为F1(0,-c)和 F2(0,c),焦距| F1F2 |=2c. 其中

a ?b ?c
2 2

2

2.椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是2a.

8.3.1椭圆的定义和标准方程

椭圆





不 同 点





平面内到两个定点F1,F2的距离的和 等于常数(大于|F1F2 | )的点的轨迹 y y M F2 M x F1 O F2 O x F1

标准方程 焦点坐标

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
F1 ? -c , 0 ?,F2 ?c , 0 ?

y 2 x2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
F1 ? 0?,?- c ?,F2 ?0?,?c ?

相 同 点

a、b、c 的关系 焦点位置的判断

a2=b2+c2 ,a>b>0 ,a最大
大小定焦点

练习二
判断下列椭圆焦点的位置 1.

8.3.1椭圆的定义和标准方程

x y ? ?1( 16 9
2 2

2

2

x轴 ) 2.

x y ? ?1 10 11
2 2

2

2

( y轴 )

3.

y x ? ? 1( y轴 5 4
4x ? 5 y ? 20(
2 2



4.

y x ? ? 1( 4 5

x轴 )

5.

x轴 )

练习三

8.3.1椭圆的定义和标准方程

x2 y2 ? ? 1 ,则 a ? ______ 1.已知椭圆方程为 3 2 , 18 12

x 轴上. 6 ,焦点在____ 2 3 , c ? ______ b ? ______

2.已知椭圆方程为

y x ? ? 1 , a ? ______ 5 25 16

2

2

,

y 轴上. 3 4 , c ? ______ ,焦点在____ b ? ______

8.3.1椭圆的定义和标准方程

3.将椭圆方程 9 x ? 25y ? 225 化成标准方程为 x2 y2 ? ?1 , 5 3 a ? ______ b ? ______ 25 9 , ,
2 2

4 c ? ______

,

8 焦距是______

,

焦点坐标是

(?4,0) (4,0)
离之和为

, 椭圆上任意一点到两焦点的距 。

10

8.3.1椭圆的定义和标准方程

x2 y2 ? ?1 1 5

4.若椭圆方程为

5x2 ? y2 ? 5

,则 a ? ______ 5 ,

2 ,焦点坐标是_____ 1 , c ? ______ b ? ______ (0,?2) 、
(0,2) ,焦距是______, 4 _____ 椭圆上任意一点到两焦
2 5 点的距离之和是_______.

8.3.1椭圆的定义和标准方程

例1. 已知椭圆的焦点坐标为F1(-3,0) , F2(3,0) ,b=4,求椭圆的标准方程。
3 ,b=______ 4 解:由已知得:c=_____ 16+9 25 b ?c ? a =______=______=_____ X 轴上, ? 椭圆的焦点在 ____
2
2 2

求a,b的值

定坐标轴

?

x2 y2 ? ?1 它的标准方程为_________ 25 16

写方程

8.3.1椭圆的定义和标准方程

例2. 已知椭圆的一个焦点坐标为F1(0,-4), 椭圆上任意一点到F1 和F2的距离之和是 10,求椭圆的标准方程。
求椭圆标准方程的步骤:

①定量:求a, b的值;
②定位:确定焦点所在的坐标轴.

练习四
写出适合下列条件的椭圆的标准方程

8.3.1椭圆的定义和标准方程

1. a
2. a

? 3, b ? 1 ,焦点在x轴上.
?5
x2 ? y2 ? 1 9

,焦距等于6,焦点在y轴上.

x2 y2 ? ?1 16 25

3. b ? 4.

a ? 3 2, b ? 2 3

x2 y2 ? ?1 16 15

15 , 一个焦点坐标为F1(-1,0) .

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 18 12 12 18

课堂小结

8.3.1椭圆的定义和标准方程

已知椭圆的标 准方程,判断 焦点位置,求 a,b,c, 焦点坐 标,焦距,椭 圆上任意一点 到两焦点的距 离之和。

基本题型

由已知条件求椭 圆的标准方程。 ①求a,b的值;

椭圆的两种
标准方程

②确定焦点所在 的坐标轴.

椭圆的定义
( |MF1 | + | MF2 |=2a )

课后作业:
1.必做题: (1)阅读课本P164-P166 ; (2)课本P166 练习 第1,2题 ;

8.3.1椭圆的定义和标准方程

(3)课本P169复习题A组第1题(7)。 2.拓展题:已知椭圆的焦点在x轴上,a ? 2 点A(2,2),求椭圆的标准方程。

5 ,而且椭圆过

提示: 已知点在曲线(椭圆)上,则点的坐标满足曲线(椭圆) 的方程,即将坐标代入方程,方程成立.

巩固练习四
2

8.3.1椭圆的定义和标准方程
2

x y ? ?1 1、已知椭圆标准方程为 11 8 ,求

a,b,c,焦点坐标,焦距,椭圆上任意 一点到两个焦点的距离之和。 2、已知椭圆上任意一点到两个焦点的距 离之和是8,一个焦点坐标是(-3,0), 求椭圆的标准方程。

巩固练习三

8.3.1椭圆的定义和标准方程

3、已知椭圆的一个焦点坐标是F1(0,-2), b= 5 ,求椭圆的标准方程。

4、求a=3,b=1的椭圆的标准方程


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