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2.3《幂函数》-课件(新人教版必修1)(1)


2.3

幂 函 数

(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她 w元 P 是____ w 的函数 ____ y=x 需要支付P = ______ a? (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = ____ S 是____ a 的函数 ____ y=x2 a? (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V = ___

_ y=x3 V是a的函数
(4)如果一个正方形场地的面积为 S, 那么正方形的边 1 1 S2 长a=________ a是S的函数 y=x 2 (5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均 -1 速度v=__________ t? ? km/s y=x v是t 的函数

y?x 以上问题中的函数具有什么共同特征 ?
a

他们有以下共同特点: (1)都是函数; (2) 指数为常数. (3) 均是以自变量为底的幂;

一般地,形如

y?x

a

叫做幂函数(power function) ,

其中x为自变量, 为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = xK 的形式, 其特征可归纳为“两个系数为1,只有1项”.

a

判断下列函数是否为幂函数 . 1
(1) y=x4 1 ( 2) y ? 2 x (3) y= -x2


(4) y ? x

2





(5) y=2x2




(6) y=x3+2



下面研究幂函数

y?x .
a
1 2

结合图象,研究性质:定义域、值域、 单调性、奇偶性、过定点的情况等。
研究 :

y = x y?x

2

y?x

3

y?x

y?x

?1

y=x0 在同一平面直角坐标系内作出这
六个幂函数的图象.

y=x y ? x
x … …
… … …

2

y?x y?x
3

1 2

y?x
1 1
1 1 1

?1

y=x0
3 3
9 27

-3 -3
9 -27 \

-2 -2
4 -8 \

-1 -1
1 -1 \

0 0
0 0 0

2 2
4 8

… …
… … …

y?x

y?x
y?x

2

3
1 2

y?x

2
1/2

3
1/3

y?x

?1

… -1/3

-1/2

-1

\

1



4

3

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

x
y ? x2

-3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9
4

3

y=x

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

x -3 -2 -1 0 1 2 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8
-4

3 27

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x
1 2

0

1

2

4

-3

y?x 0

1

2

2

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
y ? x ?1
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x

-3

-3

-2

-1

1

2

3

y ? x?1
-4

-1/3

-1/2

-1

1

1/2

1/3

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4) 在第一象限内 , 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 当a>0时,图象随x增大而上升。 当a<0时,图象随x增大而下降

-3

-4

不管指数是多少 (-2,4) ,图象都经过哪 个定点?
(-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 当a>0时,图象随x增大而上升。 当a<0时,图象随x增大而下降。

-3

图象都经过点(1,1) a>0时,图象还都过点(0,0)点

-4

观察幂函数图象,将你发现的结论写在下表:
函数

性质
定义域 值域 奇偶性

y=x R R

y=x2 R

y=x3 y=x

1 2

y=x-1

R [0,+∞) R [0,+∞)

{x|x≠0}
{y|y≠0}

[0,+∞)







非奇 非偶



在R 在(-∞,0]上减, 在R上 单调性 上增 在[0,+∞)上增, 增

在[0, 在(-∞,0)上减, +∞)上增, 在(0,+∞)上减

公共点

(1,1)

幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图 象都通过点(1,1); (2) 如果α>0,则幂函数图象过原点,并且 在区间[0,+∞)上是增函数; (3) 如果α<0,则幂函数图象在区间(0,+∞) 上是减函数.

判断正误 说一说 1 1.函数f(x)=x+ 为奇函数. x 2.函数f(x)=x2,x?[-1,1)为偶函数. 3.函数y=f(x)在定义域R上是奇函数, 且在(-?,0]上是递增的,则f(x)在[0,+ ?) 上也是递增的.

4.函数y=f(x)在定义域R上是偶函数, 且在(-?,0]上是递减的,则f(x)在[0,+ ?) 上也是递减的.

例1:
如果函数 f ( x) ? (m ? m ?1)x
2 m2 ?2m?3

是幂函数,

且在区间( 0 , +∞ )内是减函数,求满足条件的
实数m的集合。

解:依题意,得 m ? m ? 1 ? 1 解方程,得 m=2或m=-1 ?3 检验:当 m=2时,函数为 f ( x) ? x 0 符合题意.当m=-1时,函数为 f ( x) ? x ? 1 不合题意,舍去.所以m=2
2

例2

证明幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数.

复习用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x1, x2是某个区间上任意二值,且x1<x2; (2). 作差 f(x1)-f(x2),变形 ; (3). 判断 f(x1)-f(x2) 的符号; (4). 下结论. 证明:任取

x1, x2 ?[0,??),且x1 ? x2 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ?
?

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2

x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ). x1 ? x2

所以幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数.

证明幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数. 证法二: 任取x1 ,x2 ∈[0,+∞),且x1< x2 ;

x1 f ( x1 ) x1 ? ? ?1 f ( x2 ) x2 x2
所以



f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x) ?

x在?0, ? ??为增函数

(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有 理化的方式。 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不 一定能推出f(x1)<f(x2)。

练习: 如图所示,曲线是幂函数 y = xk 在第一象
C4 C2 C 值,则相应图象依次为:________ 3

1 限内的图象,已知 k分别取 ?1,1, , 2 四个 2
C1

1

一般地,幂函数的图象在直线x=1

的右侧,大指数在上,小指数在下, 在Y轴与直线x =1之间正好相反。

课堂小结:

本节知识结构: 幂函数

定义

六个特殊幂函数
图象 基本性质

P79习题2.3: 1,2,3.


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