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北京四中数学期中考试试卷


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北京四中 2012 九年级期中数学试卷
(考试时间为 120 分钟,试卷满分为 120 分) 班级 学号 姓名 分数

一、选择题(每小题 4 分,共 32 分.下列各题均有四个选项,其中只有一个是 .. 符合题意的. ) 1.下列事件是必然事件的

是( ) . A.随意掷两个均匀的骰子,朝上面的点数之和是 6 B.掷一枚硬币,正面朝上 C.3 个人分成两组,一定有两个人分在一组 D.打开电视,正在播放动画片 2.抛物线 y ? ( x ?1)2 ? 2 可以由抛物线 y ? x 2 平移而得到,下列平移正确的是 ( ) . A.先向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位 B.先向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位 C.先向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位 D.先向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位 3.已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为 10cm,母线长为 50cm,则圆锥形纸帽 的侧面积为( ) . A. 250?cm2 B. 500?cm2 C. 750?cm2 D. 1000?cm2

4.两圆半径分别为 2 和 3,圆心坐标分别为(1,0)和(-4,0) ,则两圆的位置 关系是( ) . A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 5.同时投掷两枚硬币,出现两枚都是正面的概率为( ) . y 1 1 3 1 A. B. C. D. N 4 3 4 2 6.如图,在平面直角坐标系中,点 P 在第一象限,⊙ P 与 x 轴 P 2) 8) 相切于点 Q ,与 y 轴交于 M (0, , N (0, 两点,则点 P 的坐标是 M ( ) .
5) B. (3, 4) C. (5, 5) D. (4,

O

Q

x

3) A. (5,

7.抛物线 y ? x2 ? kx ? 1 与 y ? x2 ? x ? k 相交,有一个交点在 x 轴上,则 k 的值为 ( ) .

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A.0 B. 2 C.?1

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D.
1 4
A P D

8.如图,在直角梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , ?C ? 90? , CD ? 6cm , AD=2cm,动点 P、Q 同时从点 B 出发,点 P 沿 BA、AD、DC 运 动到点 C 停止,点 Q 沿 BC 运动到 C 点停止,两点运动时的速度 都是 1cm/s,而当点 P 到达点 A 时,点 Q 正好到达点 C .
2

B

Q

C

设 P 点运动的时间为 t (s) , △BPQ 的面积为 y (cm ) .下图中能正确表示整个运 动中 y 关于 t 的函数关系的大致图象是( ) .

A.

B.

C.

D.

二.填空题(每小题 4 分,本题共 16 分) 9.正六边形边长为 3,则其边心距是___________cm. 10.函数 y ? x2 ? 2x ? 3(?2 ? x ? 2) 的最小值为_________,最大值为__________.
11.如图,在△ABC 中,BC=4,以点 A 为圆心,2 为半径的⊙A

与 BC 相切于点 D,交 AB 于 E,交 AC 于 F,点 P 是⊙A 上一 点 , 且 ∠ EPF=40 ° , 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 _______________. 12. 已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 满足: (1) a ? b ? c ; 论中正确的有 ①a ? 0 ②a ?b?c ? 0 . ③c ? 0 ④ a ? 2b ? 0 ⑤ ?
b 1 ? 2a 4

A
E

P F

B

D

C

(2)

a?b?c ?0 ; (3)图象与 x 轴有 2 个交点,且两交点间的距离小于 2;则以下结

三.解答题(每小题 5 分,本题共 30 分) 13 . 计 算 : 50 ? 2
1 2 x ? 2x ? 3 ? 0 2

1 ? 1? 0 ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 3?

?3

14 . 用 配 方 法 解 方 程 :

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15. 已知 y ? (m ? 1) xm ?2m?1 ? (m ? 3) x ? m ,当 m 为何值时,是二次函数?
2

16.如图,在半径为 6 cm 的⊙O 中,圆心 O 到弦 AB 的距离 OC 为 3 cm.试求: ⌒ (1)弦 AB 的长; (2) AB 的长.
O A C B

17. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点位于 x 轴下方, 它到 x 轴的距离为 4, 下表是 x 与 y 的对应值表: x y 0 0 ?3 ?4 2 ?3 0
y

(1)求出二次函数的解析式;

O

x

(2)将表中的空白处填写完整; (3)在右边的坐标系中画出 y=ax2+bx+c 的图象; (4)根据图象回答: 当 x 为何值时, 函数 y=ax2+bx+c 的值大于 0._______________________ 18.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,O 是 AB 上一点, 以 OA 为半径的⊙O 经过点 D.
A O

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B

D

C

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(1)求证:BC 是⊙O 切线; (2)若 BD=5,DC=3,求 AC 的长.

四.应用题(19 题 6 分,20 题 5 分,21 题 4 分) 19. 桐桐和大诚玩纸牌游戏.下图是同一副扑克中的 4 张扑克牌的正面,将它 们正面朝下洗匀后放在桌上,桐桐先从中抽出一张,大诚从剩余的 3 张牌中也抽 出一张.

桐桐说:若抽出的两张牌的数字都是偶数,你获胜;否则,我获胜. (1)请用列表(或树状图)表示出两人抽牌可能出现的所有结果; (2)若按桐桐说的规则进行游戏,这个游戏公平吗?请说明理由.

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20.某体育品商店在销售中发现:某种体育器材平均每天可售出 20 件,每件可 获利 40 元;若售价减少 1 元,平均每天就可多售出 2 件;若想平均每天销售这 种器材盈利 1200 元, 那么每件器材应降价多少元?若想获利最大, 应降价多少?

21.用尺规作图找出该残片所在圆的圆心 O 的位置. (保留作图痕迹,不写作法)

五.解答题(本题 5 分) 22.已知如图,正方形 AEDG 的两个顶点 A、D 都在⊙O 上,AB 为⊙O 直径, 射线线 ED 与⊙O 的另一个交点为 C,试判断线段 AC 与线段 BC 的关系.

B O

A

G

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D

C

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六.综合运用(23、25 题 7 分,24 题 8 分) 23.已知: 关于 x 的一元一次方程 kx=x+2 ①的根为正实数,二次函数 y=ax2?bx+kc(c≠0)的图象与 x 轴一个交点的横坐标为 1. (1)若方程①的根为正整数,求整数 k 的值; (2)求代数式
( kc ) 2 ? b 2 ? ab 的值; akc

(3)求证: 关于 x 的一元二次方程 ax2?bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.

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24. 已知:如图,在直角坐标系 xoy 中,点 A(2,0) ,点 B 在第一象限且△OAB 为正三角形,△OAB 的外接圆交 y 轴的正半轴于点 C,过点 C 的圆的切线交 x 轴于点 D. (1)求 B、C 两点的坐标; (2)求直线 CD 的函数解析式; (3)设 E、F 分别是线段 AB、AD 上的两个动点,且 EF 平分四边形 ABCD 的

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周长. 试探究:当点 E 运动到什么位置时,△AEF 的面积最大?最大面积是多少?

第 24 题图

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25.抛物线 y ? ax2 ? bx ? 3 交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 C ,已知抛物线的对 称轴为直线 x ? 1 , AB ? 4 . (1)求二次函数 y ? ax2 ? bx ? 3 的解析式; (2)在抛物线对称轴上是否存在一点 P ,使点 P 到 B、C 两点距离之差最大? 若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由; (3)平行于 x 轴的一条直线交抛物线于 M、N 两点,若以 MN 为直径的圆恰好 与 x 轴相切,求此圆的半径. 初三期中考试参考答案及评分标准
一、选择题: (本题共 32 分,每小题 4 分) 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 B 5 A 6 D 7 B 8 B

四中

2011.11.04

二、填空题: (本题共 16 分,每小题 4 分)

9.

3 2 2

10. ?4, 5

11.

4?

8? 9

12. ①②③⑤(少选 1 个

扣 1 分,多选或选错均不得分) 三、 解答题: (本题共 30 分,每小题 5 分)

1 ? 1? 0 13. 计算: 50 ? 2 ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 3?

?3

解:原式= 5 2 ? 2 ? 1 ? 27 …………. 分(化简运算对一个数给 1 分) .4 = 4 2 ? 28 ……………………5 分 14.用配方法解方程:
解:

1 2 x ? 2x ? 3 ? 0 2
………. 分 .1 ………. 分 .3

1 2 ( x ? 4 x) ? 3 ? 0 2 1 (x ? 2 2 ? 5 ) 2

x ? 2 ? ? 10
∴ x1 ? 2 ? 10, x2 ? 2 ? 10
2

……. 分 .5

15.已知 y ? (m ? 1) xm ?2m?1 ? (m ? 3) x ? m ,当 m 为何值时,是二次函数?

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?m ? 1 ? 0 解:依题设,若原函数为二次函数,则有 ? 2 ……….2 分 ?m ? 2m ?1 ? 2
解得 m=3
(1) 弦 AB 的长; ⌒ (2) AB 的长.
O A C B

………..5 分 .

16.如图,在半径为 6 cm 的⊙O 中,圆心 O 到弦 AB 的距离 OC 为 3 cm.试求: 解:依题设有 OC⊥AB 于 C,又∵AB 为⊙O 的弦 1 ∴ AC=BC= AB ……… 2 分 2 连结 OA 则 AC ? OA2 ? OC 2 又∵OA=6,OC=3 ∴ AC= 3 3 ∴ AB= 6 3 ………3 分

(2)由(1)知,在 Rt△ACO 中,OA=6,OC=3 ∴ ∠OAC=30° ∴ ∠AOC=60° ∴ ∠AOB=120° ………4 分 1 ⌒ ∴ AB = ? 2? ? OA = 4? ………. 分 .5 3 17. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点位于 x 轴下方, 它到 x 轴的距离为 4, 下表是 x 与 y 的对应值表: x -1 0 1 2 3 y 0 -3 -4 -3 0 (1)求出二次函数的解析式; 解:由上表可知,二次函数图象的对称轴为直线 x=1, 顶点坐标为(1,4) ……1 分 ∴ 二次函数解析式可变形为 y ? a( x ? 1)2 ? 4 又由图象过(0,-3) ,有-3=a-4,解得 a=1 ∴ 二次函数解析式为 y ? x2 ? 2x ? 3 ...2 分 ..

(2)将表中的空白处填写完整; ...3 分 .. 2 (3)在右边的坐标系中画出 y=ax +bx+c 的图象; ………4 分 (4)根据图象回答: 当 x 为何值时, 函数 y=ax2+bx+c 的值大于 0.x<?1 或 x>3...5 分 .. 18.如图,在△ABC 中,∠C=90°, AD 是∠BAC 的平分线,O 是 AB 上一点, 以 OA 为半径的⊙O 经过点 D. (1)求证: BC 是⊙O 切线;

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(2)若 BD=5, DC=3, 求 AC 的长. 解: (1)证明: 如图 1,连接 OD.
∵ OA=OD, AD 平分∠BAC, ∴ ∠ODA=∠OAD, ∠OAD=∠CAD. ………………1 分 ∴ ∠ODA=∠CAD. ∴ OD//AC. …………………………………2 分 ∴ ∠ODB=∠C=90?. ∴ BC 是⊙O 的切线. ……………………………3 分 (2)解法一: 如图 2,过 D 作 DE⊥AB 于 E. ∴ ∠AED=∠C=90?. 又∵ AD=AD, ∠EAD=∠CAD, ∴ △AED≌△ACD. ∴ AE=AC, DE=DC=3. 在 Rt△BED 中,∠BED =90?,由勾股定理,得
O

A

B

D

C

图1
A O E

B

图2

D

C

BE= BD2 ? DE 2 ? 4 . ………………………………………………………4 分 设 AC=x(x>0) 则 AE=x. , 在 Rt△ABC 中,∠C=90?, BC=BD+DC=8, AB=x+4, 由勾股定理,得 x2 +82= (x+4) 2. 解得 x=6. 即 AC=6. …………………………………………………………5 分 解法二: 如图 3,延长 AC 到 E,使得 AE=AB. ∵ AD=AD, ∠EAD =∠BAD, ∴ △AED≌△ABD. O ∴ ED=BD=5. 在 Rt△DCE 中,∠DCE=90?, 由勾股定理,得
B D

A

C

CE= DE ? DC ? 4 . ………… ……………4 分
2 2

图3
E

在 Rt△ABC 中,∠ACB=90?, BC=BD+DC=8, 由勾股定理,得 AC2 +BC2= AB 2. 即 AC2 +82=(AC+4) 2. 解得 AC=6. …………………………………………………………5 分

19. 解: (1) 树状图为:

共有 12 种可能结果. ··································· 3 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ··· (2)游戏公平. ··········· ··········· ·········· ···· 4 分 ··········· ·········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ···

∵ 两张牌的数字都是偶数有 6 种结果:

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(6,10)(6,12)(10,6)(10,12)(12,6)(12,10) , , , , , . ∴ 桐桐获胜的概率 P=

6 1 = . ··········· ··········· ······· 分 ··········· ·········· ······· 5 ·········· ··········· ······· 12 2 1 大诚获胜的概率也为 . ································ 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ·········· 6 2

∴ 游戏公平.

20.某体育品商店在销售中发现:某种体育器材平均每天可售出 20 件,每件可 获利 40 元;若售价减少 1 元,平均每天就可多售出 2 件.若想平均每天销售这 种器材盈利 1200 元, 那么每件器材应降价多少元?若想获利最大, 应降价多少? 解:设若想盈利 1200 元,每件器材应降价 x 元,则有
( 4 0 x ) ( ? 0x ? ) ? 2 2 1 2 0…………….2 分 0

可解得 x1 ? 10, x2 ? 20 , 答:若想盈利 1200 元,每件器材降价 10 元或 20 元均可 设降价 x 元时,盈利为 y 元,则 y ? (40 ? x)(20 ? 2 x) ……….3 分

0<x<40 ……….4 分

解析式可变形为 y ? ?2( x ?15)2 ? 1250 且 0<15<40 由此可知,当降价 15 元时,最大获利为 1250 元. 21.用尺规作图找出该残片所在圆的圆心 O 的位置. (保留作图痕迹,不写作法) 任作 2 弦 给 1 分,两条中垂线各 1 分,标出并写出 点 O 即为所求给 1 分 五.解答题(本题 5 分) 22. 已知如图,正方形 AEDG 的两个顶点 A、D 都在⊙O 上,AB 为⊙O 直径, 射线线 ED 与⊙O 的另一个交点为 C,试判断线段 AC 与线段 BC 的关系. 解:线段 AC 与线段 BC 垂直且相等 ………1 分 证明:连结 AD ………2 分 ∵ 四边形 AEDG 为正方形 B ∴ ∠ADE=45° O G ∵ 四边形 ABCD 内接⊙O A ∴∠B+∠ADC=180° ……..3 分 . 又∵∠ADE+∠ADC=180° E D C ∴∠B=∠ADE=45° 又∵AB 为⊙O 直径 ∴ ∠ACB=90°,即 AC⊥BC ……4 分 ∴ ∠BAC=45° ∴ AC=BC ……. 分 .5 …………5 分.

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23. 解: (1)解:由 kx=x+2,得(k-1) x=2.
依题意 k-1≠0.∴ x ?

2 . k ?1

……………………………………1 分

∵ 方程的根为正整数,k 为整数, ∴ k-1=1 或 k-1=2. ∴ k1= 2, k2=3. …………………………………………………2 分 (2)解:依题意,二次函数 y=ax2-bx+kc 的图象经过点(1,0) , ∴ 0 =a-b+kc, kc = b-a . ∴

( kc )2 ? b 2 ? ab (b ? a )2 ? b 2 ? ab b 2 ? 2ab ? a 2 ? b 2 ? ab a 2 ? ab ? ? ? ?1. …3 分 = akc a(b ? a ) ab ? a 2 ab ? a 2

(3)证明:方程②的判别式为 Δ =(-b)2-4ac= b2-4ac. 由 a≠0, c≠0, 得 ac≠0. 证法一: ( i )若 ac<0, 则-4ac>0. 故Δ =b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.……4 分 ( ii )若 ac>0, 由(2)知 a-b+kc =0, 故 b=a+kc. Δ =b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac =(a-kc)2+4ac(k-1) . …………………………………………………5 分 ∵ 方程 kx=x+2 的根为正实数, ∴ 方程(k-1) x=2 的根为正实数. 由 x>0, 2>0, 得 k-1>0. …………………………………6 分 2 ∴ 4ac(k-1)>0. ∵ (a-kc) ?0, ∴Δ =(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. …………7 分 证法二: ( i )若 ac<0, 则-4ac>0. 故Δ =b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. …… 4分 ( ii )若 ac>0,∵ 抛物线 y=ax2-bx+kc 与 x 轴有交点, ∴ Δ 1=(-b)2-4akc =b2-4akc?0. (b2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1) . 由证法一知 k-1>0, 2 2 ∴ b -4ac> b -4akc?0. ∴ Δ = b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. …………………7 分 综上, 方程②有两个不相等的实数根. 证法三:由已知, a ? b ? kc ,∴ ?2 ? b2 ? 4ac ? b2 ? 4c(b ? kc) ? (b ? 2c)2 ? 4(k ?1)c2 可以证明 b ? 2c 和 c 不能同时为 0(否则 a ? 0 ) ,而 k ? 1 ? 0 ,因此 ?2 ? 0 . 24.解: (1)∵A(2,0) , ∴OA=2. 作 BG⊥OA 于 G, ∵△OAB 为正三角形,∴OG=1,BG= 3 , ∴B(1, 3 ) ………………………………1 分 . 连 AC,∵∠AOC=90°,∠ACO=∠ABO=60°.

(第 24 题)

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? ?AOC ? 90? ,∴OC=
∴C(0,
2 3 . 3

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2 3 ) …………………………………2 分 . 3

(2)∵∠AOC=90°,∴AC 是圆的直径, 又∵CD 是圆的切线,∴CD⊥AC. ∴∠OCD=30°,OD=
2 2 .∴D( ? ,0) . 3 3

设直线 CD 的函数解析式为 y=kx+b(k≠0) ,
? 2 3 ?k ? 3 ?b ? ? ? 3 则? ,解得 ? 2 3 ?b ? ?0 ? ? 2 k ? b 3 ? ? 3 ?

∴直线 CD 的解析式为 y= 3 x ? (3)∵AB=OA=2,OD=

2 3 .…4 分 3

2 3 2 4 ,CD=2OD= ,BC=OC= , 3 3 3 2 3 . 3

∴四边形 ABCD 的周长 6+

设 AE=t,△AEF 的面积为 S, 则 AF=3+
3 3 3 ?t ) -t,S= . t (3+ 3 3 4

2 ? ? 3 3 ? ? 9? 3 ? 3 ? ? 7 ? 3?. ? t )= ? ?t ? ∵S= t (3+ 3 4 ? ? 6 ? 3 2 ? 4 ? ? ? ?

E

∵点 E、F 分别在线段 AB、AD 上,
?0 ? t ? 2 ? ∴? 3 2 ?t ? 2? ?0 ? 3 ? 3 3 ?

F



1? 3 (第 24 题) ? t ? 2 …………………………6 分 3

∴当 t=

9? 3 7 3 3 ? .…………8 分 时,S 最大= 6 12 8

25.(1)设抛物线的解析式为 y ? a( x ? 1)2 ? h ,

( ) ∵点 B (3,0) 、 C 0,? 3 在抛物线上,

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, ? a ?1 ?4a ? h ? 0, ∴? 解得 ? ?h ? ?4. ?a ? h ? ?3.

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∴抛物线的解析式为 y ? ( x ? 1)2 ? 4 ? x2 ? 2 x ? 3 . ……………2 分 (2) y ? x2 ? 2x ? 3 ? ( x ? 1)( x ? 3) , ∴A( ? 1 ,0) ,B(3,0) . ∴ AC ? 12 ? 32 ? 10 . ∴PA=PB, ∴ PB ? PC ? PA ? PC . ………. 分 .3 如图 1,在△PAC 中, PA ? PC ? AC , 当 P 在 AC 的延长线上时, PA ? PC ? AC ? 10 . 设直线 AC 的解析式为 y ? kx ? b ,

??k ? b ? 0, ∴? ? b ? ?3.
?k ? ?3, 解得 ? ?b ? ?3.
∴直线 AC 的解析式为 y ? ?3x ? 3 . 当 x ? 1 时, y ? ?3 ? 3 ? ?6 . ∴当点 P 的坐标为(1, ?6 )时, PA ? PC 的最大值为 10 .…………….5 分 (3)如图 2,当以 MN 为直径的圆与 x 轴相切时, yN ? r . ∵点 N 的横坐标为 1? r , ∴ yN ? (r ? 1)2 ? 2(r ? 1) ? 3 ? r 2 ? 4 . ∴ r2 ? 4 ? r . 解得 r1 ?

1 ? 17 ?1 ? 17 , r2 ? . ……………. 分 .7 2 2





















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