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交通大学附属中学2014届高三数学(理科)第一学期期中测验卷(试卷)


上海交通大学附属中学 2013—2014 学年度第一学期 高三数学期中试卷(理)
命题:倪桓华 审核:杨逸峰 (说明:本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。本套试卷另附答题纸,每道题的解答必须写在 .... 答题纸的相应位置,本卷上任何解答都不作评分依据。 ) ....................... 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.在等比数列 {an } 中, a2 ? 8 , a1 ? 64 ,则公比 q 为 2.等差数列 {a n } 中,公差 d ? 1 , a3 ? a 4 ? 1 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? ; ;

3.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,设数列 {xn } 满足 log a xn?1 ? 1 ? log a xn (n ? N *) ,且 x1 ? x2 ? ? ? x00 ? 100 , 1 则 x101 ? x102 ? ? ? x200 ? 4.已知 sin( ; ; ; ;

?

3 ? ? ) ? ,则 cos 2? = 2 5

1 5.已知 cos x ? ? , x ? (?? ,0) ,用反三角函数表示 x= 5

6.函数 y ? arcsin(1 ? x) ? arccos(2 x) 的值域为

7.若把函数 y ? 3 cos 2 x ? sin 2 x 的图象向右平移 m 个单位,所得的图象关于原点成中心对称, 则正实数 m 的最小值是 ; ;

8.函数 y = log a (sinx ? cosx) (0<a<1)的单调递增区间为

9.在四边形 ABCD 中,?A=90?,?B=60?,?D=120?,对角线 AC 长为 4,则对角线 BD 的长为 __________ ; 10.无穷等比数列 {a n } 各项和 S 的值为 2,则首项 a1 的取值范围是 ;

11.某厂 2012 年 12 份产值计划为当年 1 月份产值的 n 倍,则该厂 2012 年度产值的月平均增长率 为 ; 12 . 奇 函 数 f ( x) 满 足 f (1? x )? f (1 x , 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x) ? s i nx , 则 当 2 ? x ? 3 时 , ? )
f ( x) ? _____________;

13.设 a1 , a 2 ,…, a n 是各项不为零的 n ( n ? 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 .若将此数列删 去某一项后, 得到的数列 (按原来顺序) 是等比数列, 则所有数对 ? n,

? ?

a1 ? ? 所组成的集合 d ?
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2013—2014 学年第一学期高三数学期中考试卷

14.哥德巴赫曾研究过“所有形如

1 (n ? 1) m ?1

(n,m 为正整数)的分数之和问题”,为了便于表述,

引入记号:
1 2
2

? ? (n ? 1) m?1
1
n ?1 m ?1

?

?

=(

?

1 2
3

?

1 2
4

? ?) + (

1 3
2

?

1 3
3
?

?

1 3
?

4

? ?) + ? ? (

1 (n ? 1)
2

?

1 (n ? 1)
3

?

1 (n ? 1) 4

? ?) ? ? ,

写出你对此问题的研究结论:

? ? (n ? 1) m?1 =
1
n ?1 m ?1



二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号的空格内直接写结果,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.用数学归纳法证明 1+a+a +…+a
2 n+1

=

1 ? a n?2 (a?1) ,在验证 n=1 成立时,左边所得的项是 1? a

( A.1+a+a + a ;
2 3



B.1+a+a ;

2

C.1+a;

D.1 . ( )

16.函数 f ( x) ? 2cos( x ? )cos( x ? ) 是 4 4 A.周期为 ? 的奇函数 C.周期为 ? 的偶函数 B.周期为 2? 的奇函数 D.周期为 2? 的偶函数 1 17.若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ,以下命题: 2? x 1 ① x ? 0 时, f ( x) ? ; x?2 ② f ( x) 在区间 ? 0, ?? ? 单调递增;
? 1 1? ③ f ( x) 的反函数 f ?1 ( x) 的定义域为 ? ? , ? ; ? 2 2?

?

?

s t ④ 函数 y ? f ( x) 的图像与函数 y ? f ( x ? s) ? t 的图像关于点 ( , ) 对称. 2 2 其中正确命题的序号是_______________________; A.①②③④ B .①②③ C.②③ D.②③④





1 1 18.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? a[2 ? ( )n?1 ] ? b[2 ? (n ? 1)( )n?1 ](n ? 1, 2,?) ,其中 a、b 是非零常 2 2 数,则存在数列 {xn } 、 { yn } 使得 ( )

A. an ? xn ? yn ,其中 {xn } 为等差数列, { yn } 为等比数列 ; B. an ? xn ? yn ,其中 {xn } 和 { yn } 都为等差数列; C. an ? xn ? yn ,其中 {xn } 为等差数列, { yn } 为等比数列; D. an ? xn ? yn ,其中 {xn } 和 { yn } 都为等比数列.
2013—2014 学年第一学期高三数学期中考试卷 第 2页 共 4页

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域 内写出必要的步骤。 19. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) (1)当 x ? ?1时,计算 lim
1 ? xn 的值; n ?? 1 ? x n

(2)解方程: cos(? cos x) ? 0 .

20. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) (1)若直角三角形 ABC 两直角边 a、b 之和为 12,当∠A 为何值时,三角形的周长最小,并求其 周长 P 的最小值; (2)若三角形有一个内角 C 为 arccos

7 ,周长为定值 p,求面积 S 的最大值. 9

21. (本题满分 14 分) 函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,请选择适当的探究顺序, 研究函数 f(x)= 1-sinx+ 1+sinx的性质,并在此基础上,作出其在 [?? , ? ] 上的草图.

2013—2014 学年第一学期高三数学期中考试卷

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22. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 已 知 有穷 数 列 {an}共 有 2k 项 (整 数 k ? 2 ) 首项 a1=2 .设 该 数列 的前 n 项和 为 Sn ,且 , ,其中常数 a ? 1 . an?1 ? (a ? 1)Sn ? 2(n=1,2,…,2k-1) (1)求证:数列{an}是等比数列;
1 (2)若 a ? 2 2 k ?1 ,数列{bn}满足 bn ? log 2 (a1 ? a2 ? ? ? an ) ; (n=1,2,…,2k) ,求数列{bn}的通项 n
2

公式; (3)若(2)中的数列{bn}满足不等式 b1 ?
3 3 3 3 ? b2 ? ? ? ? b2 k ?1 ? ? b2 k ? ? 4 ,求 k 的值. 2 2 2 2

23. (本题满分 18 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 7 分) 已知定义在 (0, ??) 上的函数 y ? f ( x) 对任意的正数 x、 恒有 f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) , f 2 1 ? , y 若 ( ) 且 x ? 1 时, f ( x) ? 0 . (1)判断 f ( x) 在 (0, ??) 上的单调性;
* (2)数列 {an } 中, an ? 0 ,其前 n 项和为 S n ,且当 n ? N 时, f (S n ) ? f (an ) ? f (an ?1) ?1 ,试

求数列 {an } 的通项公式; (3)在(2)的前提下,问是否存在正数 M,使不等式

2n a1a2 ? an ? M 2n ? 1(2a1 ? 1)(2a2 ? 1)? (2an ? 1) ( n ? N * )恒成立?若存在,求 M 的范围;
若不存在,请说明理由.

2013—2014 学年第一学期高三数学期中考试卷

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