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陕西省师大附中2013届高三第六次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


陕西师大附中高 2013 届第六次模拟数学(理科)试题
一、选择题(本大题共 1 0 道小题,每道小题 5 分,共 5 0 分) 1.已知复数 z 的实部为 ? 1 ,虚部为 2,则 (A) 2 ? i (B) 2 ? i
5i z

=( )

(C) ? 2 ? i (D) ? 2 ? i

2.设全集 U ? R , A ? { x | x ( x ? 2 ) ? 0} , B ? { x | y ? ln (1 ? x )} , 则 A ? ( ?U B ) 是( ) (A) ( ? 2 , 1) (B) ( ? 2 ,1] (C) [1, 2 ) (D) (1, 2 )

3.已知三条直线 l1 : 4 x ? y ? 1 ,l 2 : x ? y ? 0 ,l 3 : 2 x ? m y ? 3 , l 1 关于 l 2 的对称直线与 l 3 若 垂直,则实数 m 的值是( ) (A) ? 8 (B) ?
1 2

(C) 8

(D)

1 2

4.下列有关命题的说法正确的是( ) (A)命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ” . (B) x ? ? 1 ”是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. “ (C)命题“存在 x ? R , 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “对任意 x ? R , 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” . (D)命题“若 x ? y ,则 s in x ? s in y ”的逆否命题为真命题. 5.已知三棱锥的主视图与俯视图如下图, 俯视图是边长为 2 的正三角形, 那么该三棱锥的左 视图可能为( )

6.函数 f ( x ) ? A s in ( ? x ? ? ) ? b ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? 分图象如图所示,则( ) (A) f ( x ) ? 3 s in ( 2 x ? (C) f ( x ) ? 2 s in (3 x ?
?
6 ) ? 1 (B) f ( x ) ? 2 s in (3 x ? ) ? 2 (D) f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ?

?
2

) 的一部

开始 输入 f 0 ( x )

?
3

)?2

i ? 0

?

?

)?2

i ? i ?1
f i ( x ) ? f i ?? 1 ( x )

6 ??? ? ???? 7.已知 A B ? ( k , 1) , A C ? ( 2 , 4 )

,若 k

6 ??? ? 为满足 | A B |? 4

的一 否

i ? 2013

是 输出 f i ( x ) 结束

随机整数,则 ? A B C 是直角三角形的概率为( ) (A)
1 7

(B)

3 7

(C)

1 3

(D)

2 3

x 8.在如右程序框图中,若 f 0 ( x ) ? xe ,则输出的是( )

(A) 2 0 1 4 e ? x e
x

x

(B) 2 0 1 2 e ? x e
x

x

(C) 2 0 1 3 e ? x e
x

x

(D) 2 0 1 3 e ? x
x

9.双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的一个焦点为 F 1 ,顶点为 A1 , A 2 , P 是双曲线上任意一点,则分别以

线段 P F1 , A1 A 2 为直径的两圆一定( ) (A)相交 (C)相离 (B)相切 (D)以上情况都有可能
?2x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0

10.设 O 为坐标原点,第一象限内的点 M ( x , y ) 的坐标满足约束条件 ?



???? ???? ? ???? 5 1 O N ? ( a , b ) ( a ? 0 , b ? 0 ) ,若 O M ?O N 的最大值为 4 0 ,则 ? 的最小值为( a b



(A)

25 6

(B)

9 4

(C)1

(D)4

二、填空题(本大题共 5 道小题,每道小题 5 分,共 2 5 分) 11.在样本的频率分布直方图中, 共有 9 个小长方形, 若第一个长方形的面积为 0.02, 前五个与后五个长方 形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容 量为 160, 则中间一组(即第五组)的频数为 .

12.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法 向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点 A ( ? 2 , 3 ) ,且法向
, ) 量 为 n ? ( 1 ? 2 的 直 线 ( 点 法 式 ) 方 程 为 1 ? ( x ? 2 ) ? ( ? 2 ) ? ( y ? 3) ? 0 , 化 简 得 ?

x ? 2 y ? 8 ? 0 . 类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点 A ( ? 2 ,1, 3 ) 且法向量为
? n ? (1, ? 2 , ? 1)

的平面(点法式)方程为

(请写出化简后的结果). 13.设函数 f ( x ) ? ?
? 2 , x ? ( ? ? ,1)
|x|

? 2 ? ln x , x ? [1, ? ? )

, 若 f ( x ) ? 4 ,则实数 x 的取值范围是

.

14.已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 6 6 , a n ? 1 ? a n ? 4 n , 则

an n

的最小值为__________.

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A.(不等式选做题)若实数 x , y 满足 3 x ? 2 y ? 6 ,则 2 x ? y 的最大值为
2 2

.

B.(几何证明选做题)如图,已知 R t ? A B C 的两条直角 边 A C , B C 的长分别为 3 c m , 4 c m ,以 A C 为直径的圆 与 A B 交于点 D ,则
BD DA ?

A D O

.

B C

C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的参数方程 为?
? x ? cos ? , ? y ? 1 ? s in ?

以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐 (? 为 参 数 ) ,

标方程为 ? c o s ? ? 1 ,则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为

.

三、解答题(本大题共 6 道小题,满分 7 5 分) 16.(本小题 1 2 分) 已知 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a n ? S n ? 4 . (Ⅰ)求证:数列 { a n } 是等比数列; (Ⅱ)是否存在正整数 k ,使
S k ?1 ? 2 Sk ? 2 ? 2 成立.

17.(本小题 1 2 分)已知 f ( x ) ? (Ⅰ)当 x ? [
?
2 , 3? 4

3 s in ( ? x ) ? 2 s in

2

?x
2

( ? ? 0 ) 的最小正周期为 3 ? .

] 时,求函数 f ( x ) 的最小值;
2

(Ⅱ)在 ? A B C ,若 f ( C ) ? 1 ,且 2 s in B ? c o s B ? c o s ( A ? C ) ,求 sin A 的值. 18.(本小题 1 2 分)如图,已知直角梯形 A C D E 所在的 平 面 垂 直 于 平 面 A B C , ? BAC ? ? AC D ? 90? , ? EAC ? 60? , AB ? AC ? AE .

E

D

(Ⅰ)在直线 B C 上是否存在一点 P ,使得 D P // 平面 C A E A B ?请证明你的结论; B (Ⅱ) 求平面 E B D 与平面 A B C 所成的锐二面角的余弦 值. 19.(本小题 1 2 分)甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地分到 A , B , C 三个社区参加社会实践, 要求每个社区至少有一名同学.

(Ⅰ)求甲、乙两人都被分到 A 社区的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个社区的概率; (Ⅲ)设随机变量 ? 为四名同学中到 A 社区的人数,求 ? 的分布列和 E ? 的值.
4 3 3

20.(本小题 1 3 分)已知平面内的一个动点 P 到直线 l : x ?

的距离与到定点 F ( 3 , 0 )

的距离之比为

2 3

3

,点 A (1, ) ,设动点 P 的轨迹为曲线 C .
2

1

(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过原点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点.求 ? M A N 面积的最大值. 21.(本小题 1 4 分)已知 f ( x ) ? x ln x , g ( x ) ? ? x ? a x ? 3 .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 [ t , t ? 1] ( t ? 0 ) 上的最小值; (Ⅱ)对一切 x ? ( 0 , ? ? ), 2 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明:对一切 x ? ( 0 , ? ? ) ,都有 ln x ?
1 e
x

?

2 ex

成立.

陕西师大附中高 2013 届第六次模拟数学(理科)答案
一、选择题( 1 0 ? 5 ? 5 0 分) 1 2 3 题号 答案 A C D 二、填空题( 5 ? 5 ? 2 5 分) 11. 36
2

4 D

5 B

6 D

7 B

8 C

9 B

10 A

.

12. x ? 2 y ? z ? 7 ? 0 . 14.
16 9

13. ( ? ? , ? 2 ) ? ( e , ? ? ) .

21

.

15.

A.

11

.

B.

.

C.

( ? 1,1), (1,1)

.

三、解答题( 7 5 分) 16.(本小题满分 12 分) 【解析】(Ⅰ)由题意, a n ? S n ? 4 , a n ? 1 ? S n ? 1 ? 4 , 由两式相减,得 ( a n ? 1 ? S n ? 1 ) ? ( a n ? S n ) ? 0 , 即 2 a n ?1 ? a n ? 0 , a n ?1 ?
1 2 an ,

??????3 分

又 2 a 1 ? a 1 ? S 1 ? 4 ,∴ a 1 ? 2 ,

∴数列 { a n } 是以首项 a 1 ? 2 ,公比为 q ?
2[1 ? ( 1 2 1 2
1? k 2?k

1 2

的等比数列.????6 分

) ] ? 4? 2
2?n

n

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 S n ?
1?

.

??????8 分

又由

S k ?1 ? 2 Sk ? 2

? 2 ,得
1? k

4?2 4?2

?2 ?2
?

? 2 ,
3 2 3 2

整理得

2 3

? 2

? 1 ,即 1 ? 2

k ?1



??????10 分

∵ k ? N * ,∴ 2 k ? 1 ? N * ,这与 2 k ? 1 ? (1, ) 相矛盾, 故不存在这样的 k ,使不等式成立. 17. (本小题满分12分) 【解析】∵ f ( x ) ?
?
3 s in ( ? x ) ? 2 ? 1 ? c o s (? x ) 2

??????12 分

3 s in ( ? x ) ? c o s ( ? x ) ? 1 ? 2 s in ( ? x ? 2 3

?
6

) ? 1 ,???2分



2?

?

? 3? 得 ? ?

,∴ f ( x ) ? 2 s in (
? 2 3
3 2

2 3

x?

?
6

) ?1.

???4分

(Ⅰ)由

?
2

? x ?

3? 4



?
2

x?

?
6

?

2? 3


3 2

∴当 s in (

2 3

x?

?
6

) ?

时, f ( x ) m in ? 2 ?
?
6

?1 ?

3 ? 1 .???6分

(Ⅱ)由 f ( C ) ? 2 s in ( C ?
3

2

) ? 1 及 f ( C ) ? 1 ,得 s in (

2 3

C ?

?
6

) ?1,



?
6

?

2 3

C ?

?
6

?

5? 6

, 所以
?
2

2 3

C ?

?
6
2

?

?
2

,解得 C ?

?
2

.???8分

在 R t ? A B C 中,∵ A ? B ?

, 2 s in B ? c o s B ? c o s ( A ? C ) , ??????10分
?1 ? 2 5

∴ 2 c o s 2 A ? s in A ? s in A ? 0 ,

∴ s in 2 A ? s in A ? 1 ? 0 ,解得 s in A ? ∵
s in A ? 5 ?1 2

.

0 ? sin A ? 1





.

??????12分

E

D

18. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)线段 B C 的中点就是满足条件的点 P .??????2 分 证明如下:
M A F B P
C

取 A B 的中点 F 连结 D P 、 P F 、 E F ,则
FP // AC , FP ?
1 2 AC ,

取 A C 的中点 M ,连结 E M 、 E C , ∵ AE ? AC 且 ? E A C ? 6 0 ? , ∴△ EAC 是正三角形,∴ EM ? AC . ∴四边形 E M C D 为矩形, ∴ ED ? MC ?
1 2 AC .??????4 分

又∵ ED // AC , ∴ ED // FP 且 E D ? F P ,四边形 E F P D 是平行四边形. ∴ DP // EF ,而 E F ? 平面 E A B , D P ? 平面 E A B ,∴ DP // 平面 E A B .??6 分 (Ⅱ) (法 1)过 B 作 A C 的平行线 l ,过 C 作 l 的垂线交 l 于 G ,连结 D G ,∵ ED // AC , ∴ ED // l , l 是平面 E B D 与平面 A B C 所成二面角的棱.??8 分 E D ∵平面 E A C ? 平面 ABC , DC ? AC ,∴ DC ? 平面 ABC , 又∵ l ? 平面 A B C ,? D C ? l , ∴ l ? 平面 D G C ,∴ l ? DG , ∴ ? DGC 是所求二面角的平面角.??????10 分 设 AB ? AC ? AE ? 2 a ,则 CD ? ∴ GD ?
GC
2

3 a , GC ? 2 a ,
A
F
P
G

M

C

? CD

2

?
?

7a ,
B

∴ cos ? ? cos ? DGC

GC GD

?

2 7

7

. ???12 分

(法 2)∵ ? B A C ? 9 0 ? ,平面 E A C D ? 平面 ABC , ∴以点 A 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AC 为 y 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 z 轴在平面 EACD 内(如图) .设 AB ? AC ? AE ? 2 a ,由已知,得 B ( 2 a , 0 , 0 ) ,
E (0 , a , 3a )

, D (0 , 2 a ,

3a ) .

∴ EB ? ( 2 a , ? a , ?

3 a ) , ED ? ( 0 , a , 0 ) ,???????8 分
?

设平面 E B D 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,
? ??? ? ? ???? 则n ? EB 且n ? ED ,
? ?n ? ∴?? ?n ? ??? ? ? EB ? 0 , ? 2 ax ? ay ? ∴? ???? ? ED ? 0 . ? ay ? 0 .

z

E

D

3 az ? 0 ,
M A
C

y
P

? 3 ?x ? z , 解之得 ? 2 ?y ? 0 . ?

F B
x

取 z ? 2 ,得平面 E B D 的一个法向量为 n ? ( 3 , 0 , 2 ) . 又∵平面 A B C 的一个法向量为 n ? ? ( 0 , 0 , 1) . ??10 分
? ?? cos ? ? cos ? n , n? ? ? (
2

?

???10 分

??

3 ? 0 ? 0 ? 0 ? 2 ?1 3) ? 0 ? 2 ?
2 2

?
2 2

2 7

7

.???12 分

0 ? 0 ?1
2

19.(本小题满分12分) 【解析】 (Ⅰ)记甲、乙两人同时到 A 社区为事件 E A ,那么 p ( E A ) ? 即甲、乙两人同时到 A 社区的概率是
1 18

A2
2

2 3

?

1 18



C 4 A3



??????2分
A3
2 3 3

(Ⅱ)记甲、乙两人在同一社区为事件 E ,那么 p ( E ) ?

?

1 6

,?????4分

C 4 A3

所以,甲、乙两人不在同一社区的概率是 p ( E ) ? 1 ? p ( E ) ?

5 6

. ?????6分

(Ⅲ)随机变量 ? 可能取的值为1,2.事件“ ? ? i ( i ? 1, 2 ) ”是指有 i 个同学到 A 社区,
C 4 A2
2 2 2 3

则 p (? ? 2 ) ?

?

1 3

.??????8分
2 3

C 4 A3

所以 p ( ? ? 1) ? 1 ? p ( ? ? 2 ) ?
? 的分布列是:

,??????10分

?
p

1
2 3

2
1 3

∴ E? ? 1?

2 3

? 2?

1 3

?

4 3

.??????12分

20. (本小题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ)设动点 P 到直线 l 的距离为 d ,则 点 P 的轨迹为椭圆. ∵c ?
3,e ? c a ? | PF | d ? 3 2

,根据圆锥曲线的统一定义,

??????2 分
3 2

,∴ a ? 2 ,∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 .

故椭圆 C 的方程为

x

2

? y

2

? 1.

??????4 分

4

(Ⅱ)若直线 l 存在斜率,设其方程为 y ? k x , l 与椭圆 C 的交点 M ( x 1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) .

将 y ? k x 代入椭圆 C 的方程
4 1 ? 4k

x

2

? y

2

? 1 并整理得 (1 ? 4 k ) x ? 4 ? 0 .
2 2

4

∴ x1 ? x 2 ? 0 , x1 x 2 ? ? ∴ | M N |?
2

2


?
2

??????6 分
(1 ? k )[( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ]
2
2

(1 ? k )( x 1 ? x 2 )
16 1 ? 4k
2

2

?

(1 ? k )
2

?

4 1? k 1 ? 4k
1 2

.
2

??????8 分

|k ?

|

又点 A 到直线 l 的距离 d ?


2

1? k

∴ S ?M AN ?

1 2

| M N | ?d ?

| 2k ? 1 | 1 ? 4k
2

?

( 2 k ? 1) 1 ? 4k
2

2

?

1?

4k 1 ? 4k
2

,?????10 分

① 当 k ? 0 时, S ? M A N ? 1 ; ②当 k ? 0 时, S ? M A N ? 1 ;
4k 1 ? 4k
2

③当 k ? 0 时, S ? M A N ?

1?

?

1? (?

4 1 k ) ? (?4 k )

?

1? 2

4 4

?

2 .

若直线 l 的斜率不存在,则 M N 即为椭圆的短轴,∴ | M N | ? 2 ,∴ S ? M A N ? 1 。 综上, ? M A N 的面积的最大值为 2 . 21. (本小题满分 14 分) 【解析】 (Ⅰ) f ?( x ) ? ln x ? 1 . 当 x ? ( 0 , ), f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减,当 x ? ( , ? ? ), f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增 ??2 分
e e 1 e ? t ? 1 ,即 0 ? t ?
1 e 1 e

??????13 分

1

1

① 0?t? ②
1 e

时, f ( x ) m in ? f ( ) ? ?
e

1

1 e

;??????4 分

? t ? t ? 1 ,即 t ?

时, f ( x ) 在 [ t , t ? 1] 上单调递增, f ( x ) m in ? f ( t ) ? t ln t .

所以 f ( x ) m in

1 ? 1 ? ,0 ? t ? . ? ? e e . ? ? ? t ln t , t ? 1 ? e ?
2

??????????????6 分

(Ⅱ) 2 x ln x ? ? x ? a x ? 3 ,则 a ? 2 ln x ? x ?

3 x



设 h ( x ) ? 2 ln x ? x ?

3 x

( x ? 0 ) ,则 h ? ( x ) ?

( x ? 3 )( x ? 1) x
2

,??????8 分

① x ? ( 0 ,1), h ? ( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递减,② x ? (1, ? ? ), h ? ( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递增, 所以 h ( x ) m in ? h (1) ? 4 ,对一切 x ? ( 0 , ? ? ), 2 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立, 所以 a ? h ( x ) m in ? 4 . (Ⅲ)问题等价于证明 x ln x ?
x e
x

??????10 分
? 2 e
1 e

( x ? ( 0 , ? ? )) ,

由(Ⅰ)可知 f ( x ) ? x ln x ( x ? (0 , ? ? )) 的最小值是 ? 设m (x) ?
x e
x

,当且仅当 x ?

1 e

时取到.?12 分

?

2 e

( x ? ( 0 , ? ? )) ,则 m ? ( x ) ? 1 e 1 e
x

1? x e
x

,易知

m ( x ) m a x ? m (1) ? ?

,当且仅当 x ? 1 时取到,
? 2 ex

从而对一切 x ? ( 0 , ? ? ) ,都有 ln x ?

成立. ??????14 分


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