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高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 2


高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义
一、基础知识【理解去记】 1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨迹,即 |PF1 |+|PF2 |=2a (2a>|F1 F2 |=2c). 第二定义:平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0<e<1) 的点的轨迹(其中定点不在 定直线上

) ,即

| PF | ? e (0<e<1). d
2.椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由定义可求得它的标准方程, 若焦点在 x 轴上,列标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0), a2 b2

参数方程为 ?

? x ? a cos? ( ? 为参数) 。 ? y ? b sin ?
(a>b>0) 。

若焦点在 y 轴上,列标准方程为:

y2 y2 ? ?1 a2 b2

3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆:

x2 y2 ? ? 1, a2 b2

a 称半长轴长,b 称半短轴长,c 称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±

a2 a2 c, 0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为 x ? ? ,与右焦点对应的准线为 x ? ;定义中的比 c c
e 称为离心率,且 e ?

c ,由 c 2 +b2 =a2 知 0<e<1. a

椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。 4.椭圆的焦半径公式:对于椭圆 点,则|PF1 |=a+ex, |PF2 |=a-ex. 5. 补充知识点: 几个常用结论: 1)过椭圆上一点 P(x0, y0 )的切线方程为:

x2 y2 ? ? 1(a>b>0), F1 (-c, 0), F2 (c, 0)是它的两焦点。若 P(x, y)是椭圆上的任意一 a2 b2

x0 x y 0 y ? 2 ? 1; a2 b

2)斜率为 k 的切线方程为 y ? kx ? a 2 k 2 ? b 2 ;3)过焦点 F2 (c, 0)倾斜角为θ 的弦的长为

l?

2ab2 。 a 2 ? c 2 cos2 ?

6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF1 |-|PF2 ||=2a(2a<2c=|F1 F2 |, a>0)的点 P 的轨迹; 第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(>1)的点的轨迹。 7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1, a2 b2
1

参数方程为 ?

? x ? a sec? ( ? 为参数) 。 ? y ? b tan?
y2 x2 ? ? 1。 a2 b2 x2 y2 ? ? 1 (a, b>0), a2 b2

焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为:

8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线:

a 称半实轴长,b 称为半虚轴长,c 为半焦距,实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为 F1 (-c,0), F2(c, 0),对应 的左、右准线方程分别为 x ? ?

a2 a2 c k ,x ? . 离心率 e ? ,由 a2 +b2 =c2 知 e>1。两条渐近线方程为 y ? ? x ,双 a a c c

曲线

x2 y2 x2 y2 与 ? ? ?1 有相同的渐近线,它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b,则称为等轴双曲线。 ? ? 1 a2 b2 a2 b2

9.补充知识点: 双曲线的常用结论, 1)焦半径公式,对于双曲线

x2 y2 ? ? 1 ,F1 (-c,0), F2(c, 0)是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点,若 a2 b2

P 在右支上,则|PF1 |=ex+a, |PF2 |=ex-a;若 P(x,y)在左支上,则|PF1 |=-ex-a,|PF2 |=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ 的弦长是

2ab2 。 a 2 ? c 2 cos2 ?

10.抛物线:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫焦点,直线 l 叫做抛 物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 相交于 K,以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴, 建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点 F 坐标为 (

p p ,0) ,准线方程为 x ? ? ,标准方程为 y2 =2px(p>0),离心率 e=1. 2 2

11.补充知识点 抛物线常用结论:若 P(x0, y0 )为抛物线上任一点, 1)焦半径|PF|= x ?

p ; 2 2p 。 1 ? cos 2 ?

2)过点 P 的切线方程为 y0 y=p(x+x0 );3)过焦点倾斜角为θ 的弦长为

二、直线与圆锥曲线的位置关系
一、知识整理: 1. 考点分析:此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数,并以椭圆、抛物线为载体较多。 多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。 2.解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤: 设线、设点, 联立、消元, 韦达、代入、化简。 第一步:讨论直线斜率的存在性,斜率存在时设直线的方程为 y=kx+b(或斜率不为零时,设 x=my+a) ; 第二步:设直线与圆锥曲线的两个交点为 A(x1 ,y1 )B(x2 ,y2); 第三步:联立方程组 ?

?y ? kx ? b ,消去 y 得关于 x 的一元二次方程; ?f ( x, y) ? 0

2

第四步:由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件 ?

?二次系数不为零 ?x 1 ? x 2 ? ,? ?x 1 ? x 2 ? ?? ? 0

第五步:把所要解决的问题转化为 x1 +x2 、x1 x2 ,然后代入、化简。 3.弦中点问题的特殊解法----- 点差法:即若已知弦 AB 的中点为 M(xo ,yo ),先设两个交点为 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2);分别 代入圆锥曲线的方程, 得 f (x 1 , y1 ) ? 0, f (x 2 , y 2 ) ? 0 , 两式相减、 分解因式, 再将 x1 ? x 2 ? 2xo , y1 ? y 2 ? 2yo 代 入其中,即可求出直线的斜率。 4.弦长公式: | AB |? 1 ? k 2 | x 1 ? x 2 |?

(1 ? k 2 )[( x 1 ? x 2 ) 2 ? 4x 1 x 2 ] ( k 为弦 AB 所在直线的斜率)

高考真题 :
1. 【2012 高考新课标文 4】 设 F1F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a 右焦点, 上一点, P 为直线 x ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 ?F2 PF1 2 2 a b


是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为(

( A)

1 2

( B)

2 3

(C )

? ?

(D)

? ?
想,是简单题.

【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 0 【解析】∵△ F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形, ∴ ?PF2 A ? 600 , | PF2 |?| F 1 F2 |? 2c ,∴ | AF 2 |=c, 故选 C.

∴ 2c ?

3 3 a ,∴ e = , 4 2

2.【2012 高考新课标文 10】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两 点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为( )

( A)

2

( B) 2 2

(C ) ?

(D) ?

【答案】C 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为: x ? 4 ,设等轴双曲线方程为: x2 ? y 2 ? a 2 ,将 x ? 4 代入等轴双曲线方程 解得 y = ? 16 ? a ,∵ | AB | = 4 3 ,∴ 2 16 ? a = 4 3 ,解得 a =2,
2 2

∴ C 的实轴长为 4,故选 C. 3. 【2012 高考山东文 11】已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2. 若抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 a 2 b2

到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为 (A) x 2 ? 【答案】D 考点:圆锥曲线的性质 解析:由双曲线离心率为 2 且双曲线中 a,b, c 的关系可知 b ?
8 3 y 3

(B) x 2 ?

16 3 y 3

(C) x 2 ? 8 y

(D) x2 ? 16 y

3a ,此题应注意 C2 的焦点在 y 轴上,即(0,p/2)

到直线 y ? 3x 的距离为 2,可知 p=8 或数形结合,利用直角三角形求解。

3

4\【2012 高考全国文 10】已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, | PF ,则 1 |? 2 | PF 2 |

cos ?F1PF2 ?
(A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

【答案】C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个 焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解:由题意可知, a ? 2 ? b,?c ? 2 ,设 | PF ,故 1 |? 2 x,| PF 2 |? x ,则 | PF 1 | ? | PF 2 |? x ? 2a ? 2 2

| PF1 |? 4 2,| PF2 |? 2 2 , F1F2 ? 4 ,利用余弦定理可得
cos ?F1PF2 ? PF12 ? PF22 ? F1F22 (4 2)2 ? (2 2)2 ? 42 3 ? ? 。 2PF1 ? PF2 4 2? 2 2 ? 4 2

5\(2011 年高考广东卷文科 8)设圆 C 与圆 错误!未找到引用源。 外切,与直线 y ? 0 错误!未找到引用源。相 切.则 C 的圆心轨迹为( A. 抛物线 ) C. 椭圆 D. 圆

B. 双曲线

6. 【2012 高考四川文 9】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到该 抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 【答案】B [解析]设抛物线方程为 y2=2px(p>0), 则焦点坐标为( ,0 ) ,准线方程为 x= ? B、 2 3 ) C、 4 D、 2 5

p 2

p , 2

? M在抛物线上, ? M到焦点的距离等于到准 线的距离,即 p 2 p 2 2 ? (2 - ) ? y0 ? (2 ? ) ?3 2 2 解得:p ? 1, y 0 ? 2 2 ? 点M(2,2 2),根据两点距离公式 有: ?| OM |? 2 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 3
4

[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦点,d 为点 M 到准线的距离). 7.(2011 年高考湖南卷文科 6) 设双曲线 A.4 答案:C 解析:由双曲线方程可知渐近线方程为 y ? ? 8.【2012 高考四川文 15】椭圆 B.3 C.2 D.1

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0, 则 a 的值为( a2 9



3 x ,故可知 a ? 2 。 a

x2 y 2 ? ? 1(a 为定值,且 a ? 5) 的的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 a2 5

B , ?FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。 2 【答案】 , 3
[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又? a 2 ? c 2 ? 5

? c ? 2,? e ?

c 2 ? a 3

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度. 突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 9.【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x2

?

y2 =1,点 F1 ,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 P F1 ⊥P F2 ,则

∣P F1 ∣+∣P F2 ∣的值为___________________. 【答案】 2 3 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力,难度适 中。 【解析】由双曲线的方程可知 a ? 1, c ?

2,? PF1 ? PF2 ? 2a ? 2,

? PF1 ? 2 PF1 PF2 ? PF2 ? 4

2

2

PF1 ? PF2 ,? PF1 ? PF2 ? (2c)2 ? 8,? 2 PF1 PF2 ? 4, ? ( PF1 ? PF2 )2 ? 8 ? 4 ? 12,? PF1 ? PF2 ? 2 3
【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理,实现差—积—和的转化。 10.【2012 高考江苏 8】 ( 5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 ▲ .

2

2

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m 的值为 m m ?4

【答案】 2。 【考点】双曲线的性质。 【解析】由

x2 y2 ? 2 ? 1 得 a= m,b= m2 ? 4,c= m ? m2 ? 4 。 m m ?4

∴ e= =

c a

m ? m2 ? 4 m

= 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m =2 。
5

11. 【2012 高考安徽文 14】 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, 若 | AF |? 3 , 则 | BF | =______。 【答案】

3 2

【解析】设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1 的距离为 3 得: 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ?

1 2 3 又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? ? 3 1 ? cos ? 2

12.(2011 年高考辽宁卷文科 7) 已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点,A.B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为——————。 解析:设 A、B 的横坐标分别是 m、n,由抛物线定义,得 AF ? BF ? 3 =m+

1 1 1 5 +n+ = m+n+ =3,故 m+n= , 4 4 2 2

m?n 5 5 ? ,故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 。 4 2 4
13、 【2012 高考广东文 20】 (本小题满分 14 分)

x2 y 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的左焦点为 F1 (?1,0) ,且点 P(0,1) 在 C1 a b
上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方程. 【解析】 (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1 (?1, 0) ,所以 c ? 1 ,

x2 y 2 1 点 P(0,1) 代入椭圆 2 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 1 ,即 b ? 1 , b a b
所以 a ? b ? c ? 2 ,
2 2 2

所以椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 ,消去 y 并整理得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , ?2 ? y ? kx ? m ?
因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以 ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,
2 2 2 2

整理得 2k ? m ? 1 ? 0
2 2



6

? y2 ? 4x ,消去 y 并整理得 k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 。 ? ? y ? kx ? m
因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以 ? ? (2km ? 4)2 ? 4k 2 m2 ? 0 , 整理得 km ? 1 ②

? 2 ? 2 ?k ? ?k ? ? 综合①②,解得 ? 2 或? 2 。 ?m ? 2 ?m ? ? 2 ? ?
所以直线 l 的方程为 y ?

2 2 x? 2 或 y ?? x? 2 。 2 2

14、 【2012 高考安徽文 20】 (本小题满分 13 分) 如图, F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 + =1( a ? b ? 0 )的左、右焦点, A 是椭圆 C 的顶点, B 是直线 AF2 a2 b2

与椭圆 C 的另一个交点, ?F1 A F2 =60°. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ,求 a, b 的值. 【解析】 (I) ?F1 AF2 ? 60 ? a ? 2c ? e ? (Ⅱ)设 BF2 ? m ;则 BF 1 ? 2a ? m
? 在 ?BF1 F2 中, BF1 ? BF2 ? F1 F2 ? 2 BF2 ? F1 F2 ? cos120
2 2 2

?

c 1 ? a 2

3 ?(2 a ?m2 ) ? m2 ? a2 ? a m ? m ? 5

a

1 1 3 3 S ? ? F2 F1 ? AB ? sin 60? ? ? a ? (a ? a) ? ? 40 3 ?A F 面积 2 2 5 2 1 B ? a ? 10, c ? 5, b ? 5 3
15. 【2102 高考北京文 19】(本小题共 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 2 + 2 =1(a>b>0)的一个顶点为 A (2,0) ,离心率为 , 直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交与不同的 2 a b 2

两点 M,N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为

10 时,求 k 的值 3

【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度确实不大,从形式到条件的设计都是非常熟悉的,相信平时 对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。

7

? a?2 ? x2 y 2 2 ? c 解: (1)由题意得 ? 解得 . 所以椭圆 C 的方程为 ? ?1. b? 2 ? 4 2 a 2 ? 2 ?a ? b 2 ? c 2 ? ? y ? k ( x ? 1) ? (2)由 ? x 2 y 2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 . ?1 ? ? ?4 2

4k 2 2k 2 ? 4 设点 M,N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) ,( x2 , y2 ) , 则 y1 ? k ( x1 ?1) , y2 ? k ( x2 ?1) ,x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

2 (1 ? k 2 )(4 ? 6k 2 ) 所以|MN|= ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) = (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] = . 1 ? 2k 2 |k| 由因为点 A(2,0)到直线 y ? k ( x ? 1 的距离 d ? , ) 1 ? 2k 2
2 2 2 2

所以△AMN 的面积为 S ?

1 | k | 4 ? 6k 2 | k | 4 ? 6k 2 10 . 由 ,解得 k ? ?1 . ? | MN | ?d ? 2 2 1 ? 2k 3 2 1 ? 2k

16. 【2102 高考福建文 21】 (本小题满分 12 分) 如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线 E:x2 =2py(p>0)上。

(1) 求抛物线 E 的方程; (2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点。 考点:圆锥曲线的定义,直线和圆锥曲线的位置关系,定值的证明。 难度:难。 分析:本题考查的知识点为抛物线方程的求解,直线和圆锥曲线的联立,定值的表示及计算。 解答: (I)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ;则 x1 ? 2 py1 , x2 ? 2 py2
2 2
2 2 2 OA ? OB ? x12 ? y 12 ? x 2 ?y 2 ? 2 py ?1 y ? y 1 2 py ? 2 2 2

? ( y1 ? y 2)(2 p ? y 1 ? y )2? 0 ? y ? 1 y ( 2 2 p , y , y 1 ? 0) 2
得:点 A, B 关于 y 轴对称(lfxlby)

OA ? OB ? AB ? 8 3 ? A(?4 3,12), B (4 3,12)
代入抛物线 E 的方程得: p ?

x2 ? 2 ? 抛物线 E 的方程为 x2 ? 4 y 2y
8

(II)设 P( x0 ,

2 x0 1 1 ) ;则 y ? x 2 ? y? ? x 4 2 4

过点 P 的切线方程为 y ? 令 y ? ?1 ? Q(

1 2 1 1 1 2 x0 ? x0 ( x ? x0 ) 即 y ? x0 x ? x0 4 2 2 4

2 x0 ?4 , ?1) 2 x0 2 x0 ?4 , ?1 ? t ) 2 x0

设 M (0, t ) 满足: MP MQ ? 0 及 MP ? ( x0 , y0 ? t ), MQ ? (
2 得: 4(t 2 ? t ? 2) ? (1 ? t ) x0 ? 0 对 x0 ? 0 均成立

? t 2 ? t ? 2 ? 0,1 ? t ? 0 ? t ? 1
以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上定点 M (0,1) 17. 【2012 高考上海文 22】 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小 题满分 6 分 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C : 2 x2 ? y 2 ? 1 (1)设 F 是 C 的左焦点, M 是 C 右支上一点,若 MF ? 2 2 ,求点 M 的坐标; (2)过 C 的左焦点作 C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为 k ( k ? [解](1)双曲线 C :
x2
1 2

2 )的直线 l 交 C 于 P 、 Q 两点,若 l 与圆 x2 ? y 2 ? 1相切,求证: OP ⊥ OQ
6 2

? y 2 ? 1 ,左焦点 F (?
2 6 2 2

, 0) .
2 2 , 2

设 M ( x, y ) ,则 | MF | ? ( x ? 由 M 是右支上一点,知 x ? 所以 M (
6 2 2 2

) ? y2 ? ( 3x ?

)

……2 分
6 2

,所以 | MF |? 3x ?

2 2

? 2 2 ,得 x ?

.

, ? 2) .
2 2

……5 分

(2)左顶点 A(?

, 0) ,渐近线方程: y ? ? 2 x .
2 x 平行的直线方程为: y ? 2 ( x ?
,得 ?
2 2

过 A 与渐近线 y ? 解方程组 ?

) ,即 y ? 2 x ? 1 .
……8 分

?y ? ? 2 x ?y ? 2 x ?1

? ?x ? ? 1 ? ?y ? 2

2 4

.
2 4

所求平行四边形的面积为 S ?| OA || y |?

.
|b | k 2 ?1

……10 分

(3)设直线 PQ 的方程是 y ? kx ? b .因直线与已知圆相切,故 即 b ? k ? 1 (*).
2 2

? 1,

9

由?

? y ? kx ? b ,得 (2 ? k 2 ) x2 ? 2kbx ? b2 ? 1 ? 0 . 2 2 ?2 x ? y ? 1
2 kb ? ? x1 ? x2 ? 2 ? k 2 . ?1? b 2 ? x1 x2 ? 2 ? k 2 ?

设 P (x1, y1)、Q(x2, y2),则 ?

y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ,所以
OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2
(1? k 2 )( ?1? b 2 ) 2?k 2

? 22k? kb2 ?
2 2

?1? b 2 ? k 2 2?k 2

. ……16 分

由(*)知 OP ? OQ ? 0 ,所以 OP ⊥OQ.

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系.特别要注意直线与双曲线的 关系问题,在双曲线当中,最特殊的为等轴双曲线,它的离心率为 2 ,它的渐近线为 y ? ? x ,并且相互垂直,这 些性质的运用可以大大节省解题时间,本题属于中档题 .

10


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