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运用导数求切线方程的专项训练1,2


学校 授课日期:

数学学科导学案 月

编制人: 编号: 第

审核人: 周 号

日 姓名: 班级: 运用导数求切线方程的专项训练 1 1.对任意 x,有 f ? (x)=4x3,f(1)=-1,则此函数为 A.f(x)=x4-2 C.f(x)=x3

B.f(x)=x4+2

D.f(x)=-x4

2.如果质点 A 按规律 s=2t3 运动,则在 t=3 s 时的瞬时速度为 A.6 B.18 C.54

D.81

3. (2004 年全国,3)曲线 y=x3-3x2+1 在点(1,-1)处的切线方程为 A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3 D.y=4x-5

4.函数 f(x)=(x+1) 2-x+1)的导数是 (x 2 A.x -x+1 B.(x+1) (2x-1)

C.3x2

D.3x2+1

5.曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0) )处的切线方程为 3x+y+3=0,则 A. f ? (x0)>0 B. f ? (x0)<0 C. f ? (x0)=0

D. f ? (x0)不存在

6. (2009 全国卷Ⅱ)曲线 y ? A. x ? y ? 2 ? 0

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1
C. x ? 4 y ? 5 ? 0

( D. x ? 4 y ? 5 ? 0

)

B. x ? y ? 2 ? 0

7. (2009 江苏卷)在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? x ?10x ? 3 上,且在第
3

二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为

.

8. 曲线 f ( x) ? ln x ? x 在点(1,-1)处的切线的倾斜角为_______.
2

9. (2009 宁夏海南卷文) 曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点 (0,1) 处的切线方程为
x



1

7. 已 知 抛 物 线 y ? ax2 ? bx ? c 通 过 点 P(1,1) , 且 在 x ? 2 处 的 切 线 为 y ? x ? 3 , 则

a?

,b ?

,c ?



x2 10.函数 y ? 的导数为 cos x



11.已知 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值为

12.曲线 y ?

1 2 x 的平行于直线 x ? y ? 1 ? 0 的切线方程为 2

13.若抛物线 y=x2-x+c 上一点 P 的横坐标是-2,抛物线过点 P 的切线恰好过坐标原点,则 c 的值为________.

4 1 14(2004 年重庆,15)已知曲线 y= x3+ ,则在点 P(2,4)的切线方程是______. 3 3

15(2004 年湖南,13)过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处的切线平 行的直线方程是______. 16. 设 函 数 f ( x ) = ( x - a ) x - b ) x - c ) a 、 b 、 c 是 两 两 不 等 的 常 数 ) 则 ( ( ( , a b c + + =________. f ?(a ) f ?(b ) f ?(c )

2

学校

高二年级数学学科导学案 月

编制人:

审核人: 编号: 第 周 号

授课日期:

日 姓名: 班级: 运用导数求切线方程的专项训练 2

17、求曲线 y ? 2 x ? x 3 在 x ? ?1 处的切线的斜率。

18.曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中,求斜率最小的切线方程.

19.(2009 浙江文) 已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . 若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值;

20.求曲线 y ? 3x ? x 的过点 A(2,-2)的切线方程。
3

3

21.在实数集 R 上定义运算: x ? y ? x(a ? y)(a为实常数 令f ( x) ? e x , ).

g ( x) ? e ? x ? 2x 2 , F ( x) ? f ( x) ? g ( x).
(I)求 F (x) 的解析式; (II)若函数 F ( x)在点P(0, F (0)) 处的切线斜率为—3,求此切线方程;

22.若直线 y=3x+1 是曲线 y=x3-a 的一条切线,求实数 a 的值.

4

【能力提高练习】参考答案 1 答案:A 2 解析:∵s′=6t2,∴s′|t=3=54.答案:C 3.∵点(1,-1)在曲线上,y′=3x2-6x,∴切线斜率为 3×12-6×1=-3. ∴所求切线方程为 y+1=-3(x-1). 4 解析:∵f(x)=x3+1,∴ f ? (x)=3x2.答案:C 5 解析:由题知 f ? (x0)=-3.答案:B 7 解析:∵y′=2x-1,∴y′|x=-2=-5.又 P(-2,6+c) ,∴

6?c =-5. ?2

∴c=4.答案:4 8)4x-y-4=0 (9)2x-y+4=0 10 解析:∵f(x)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc, ∴ f ? (x)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca. 又 f ? (a)=(a-b) (a-c) ,同理 f ? (b)=(b-a) (b-c) , f ? (c)=(c-a) (c-b).代入原式中得值为 0.答案:0 11.解:在 x=x0 处曲线 y=x2-1 的切线斜率为 2x0,曲线 y=3-x3 的切线斜率为-3x02. 1 1 ∵2x0· (-3x02)=-1,∴x0= 3 .答案: 3 6 6 12 解:∵tan ? =3x2-1,∴tan ? ∈[-1,+∞).

4?0 =-2,∴y=-2(x-4). 2?4 ∴所求割线 AB 所在直线方程为 2x+y-8=0. (2) y ? =-2x+4,-2x+4=-2,得 x=3,y=-32+3×4=3.
13 解: (1)kAB= ∴C 点坐标为(3,3) ,所求切线方程为 2x+y-9=0. 14 解:设切点为 P(x0,y0) ,对 y=x3-a 求导数是 y ? =3x2,∴3x02=3.∴x0=±1. (1)当 x=1 时,∵P(x0,y0)在 y=3x+1 上, ∴y=3×1+1=4,即 P(1,4).又 P(1,4)也在 y=x3-a 上,∴4=13-a.∴a=-3. (2)当 x=-1 时,∵P(x0,y0)在 y=3x+1 上, ∴y=3×(-1)+1=-2,即 P(-1,-2). 又 P(-1,-2)也在 y=x3-a 上, ∴-2=(-1)3-a.∴a=1. 综上可知,实数 a 的值为-3 或 1. 6解

y? |x?1 ?

2x ?1 ? 2x 1 |x? 1? [? ] |x? 1 ?1 , ? 2 (2 x ? 1) (2 x ? 1) 2
故选 B.

故切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0
2

? ? x ? ?2 点 P 的坐标为(-2,15) 7 y ? 3x ?10 ? 2 ? x ? ?2 ,又点 P 在第二象限内,
8 解析:? f ( x) ?
'

1 3? ? 2 x,? k ? f ' (1) ? ?1 ,所以倾斜角为 4 x
0

x x 9 解析: y' ? e ? xe ? 2 ,斜率 k= e ? 0 ? 2 =3,所以,y-1=3x,即 y ? 3x ? 1

18 解析: y ? =3x2+6x+6=3(x+1)2+3, ∴x=-1 时,切线最小斜率为 3,此时,y=(-1)3+3×(-1)2+6(-1)-10=-14. ∴切线方程为 y+14=3(x+1) ,即 3x-y-11=0.
5

19 解析 :由题意得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2) 又?

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?
3

20【错因诊断】 显然点 A 在曲线 y ? 3x ? x 上, 点 A(2,-2)的切线方程为 y ? 2 ? ?9 【正解】 设切点坐标为 P

f ' ? x ? ? 3 ? 3x2 ,? f ' ? 2? ? ?9 ?过

? x ? 2? ,即 9 x ? y ? 16 ? 0

? x0 , y0 ? ,则在点 P 处的切线方程为

y ? y0 ? ? 3 ? 3x0 2 ? ? x ? x0 ? ?过点 A(2,-2) ,且

y0 ? 3x0 ? x03 ??2 ? ? 3x0 ? x03 ? ? ? 3 ? 3x0 2 ? ? 2 ? x0 ? ,整理得 x03 ? 3x02 ? 4 ? 0 即

? x0 ? 1?? x0 ? 2 ?

2

? 0 ? x0 ? ?1 或 x0 ? 2 ,当 x0 ? ?1 时,切点为 ? ?1, ?2? ,此时切线

方程为 y ? ?2 ,当 x0

? 2 时,切点为 ? 2, ?2? ,此时切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 ?过点 A
y ? 16 ? 0 。

(2,-2)的切线方程为 y ? ?2 或 9 x ?

21【正解】 (I) F ( x) ? f ( x)[a ? g ( x)] ? e x (a ? e ? x ? 2x 2 ) ? aex ? 1 ? 2x 2 e x . (II) F ?( x) ? ?4xe x ? (2x 2 ? a)e x ? (2x 2 ? 4x ? a)e x . 由条件得 F ?(0) ? ?3,即ae ? ?3, 解得a ? ?3.
0

而 F (0) ? ?4, 故所求切线方程为 ? ?3x ? 4. y

题 4 解:设 P(x0,y0) ,由题意知曲

线 y=x2+1 在 P 点的切线斜率为 k=2x0,切线方程为 y=2x0x+1-x02,而此直线与曲线 y=-2x2 -1 相切, ∴切线与曲线只有一个交点,即方程 2x2+2x0x+2-x02=0 的判别式 Δ =4x02-2×4×(2-x02)=0. 解得 x0=±

7 2 3 ,y0= . 3 3 7 2 2 3 , )或(- 3 3 3
3,

∴P 点的坐标为(

7 ). 3

6


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