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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第2章 第10讲 函数的图象课件 理


1.若函数f(x)的单调增区间为(-2,3),那么
函数f(x+5)的单调递增区间是_______. (-7,-2)

2.函数y=loga(x+b)的图象如图所示,则 3? 3 a+b的值为___________

解析:将点? ?2, 0 ?,0, 2? 分别代入y ? ? ?log a ??2 ? b ? ? 0 log a ? x ? b ? 得 ? ,解得 ?log a b ? 2 ?a ? 3 ? ,所以a ? b ? 3 ? 3 ? ?b ? 3 ?

3.若函数y=f(x+1)是偶函数,则函数y=f(2x)的图象 的对称轴方程是
1 x=______. 2

4.已知函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=2对 称.若当-2<x<2时,f(x)=-x2+1,则当-6<x<-2时,

f(x)=_________. -(x+4)2+1
解析:因为f(2-x)=f(2+x)且f(-x)=f(x),

则f(x)=f(x+4),当-6<x<-2时,-2<x+4<2,
所以f(x)=f(x+4)=-(x+4)2+1.

5.若曲线|y|=2x+1与直线y=b无公共点,则b的

取值范围是__________. [-1,1]
解析:当y>0时,y=2x+1>1; 当y<0时,y=-2x-1<-1,所以-1≤b≤1.

作图
【例1】

作出下列函数的图象.
(1)y=|x-2|(x+1); (2)y=|log2x-1|; (3)y=2|x-1|.

1 2 9 ? ?( x ? 2 ) ? 4 ( x ? 2) ? 【解析】1? 函数化为y= ? ? ??( x ? 1 ) 2 ? 9 ( x ? 2) ? ? 2 4 图象如下图.

?log 2 x ? 1( x ? 2) ? ? 2 ?函数化为y=?log 1 x ? 1? 0 ? x ? 2? ? 2 ? 图象如下图.

?2 x ?1 ( x ? 1) ? ? 3?函数化为y=? 1 x?1 ?( ) ( x ? 1) ? 2 函数的图象如下图.

作函数的图象,首先要对函数表 达式进行化简,再根据自变量的范围

描画函数的图象;也可以应用函数图
象的变换规律描述函数的图象.要熟 练掌握基本初等函数的图象.

【变式练习1】

作出下列函数的图象.
(1)y=|lgx|和y=lg|x|; (2)y=a|logax|(a>0,且a≠1). 【解析】(1)第一个函数的图象只需将y=lgx 在x轴下方部分的图象沿x轴翻折上去,并去 掉x轴下方的图象,如下图(1);第二个函数的 图象只需将y=lgx的图象沿y轴翻折过去,同

时保留y轴右边的图象,如下图(2).

? 2 ? 分0 ? a ? 1或a ? 1两种情况讨论:
? x( x ? 1) ? 当a ? 1时,函数化为y=? 1 ? x (0 ? x ? 1) ? ? x ?1 ( x ? 1) 当0 ? a ? 1时,函数化为y=? ? x(0 ? x ? 1) 如下图? 3?? 4 ?.

函数图象的变换过程
【例2】 分别叙述下列各题的求解过程.

?1?已知函数f ? x ?的图象,求作函数f ? 2x ? 和2f ? x ?的图象;
1 x ? 2 ?已知函数f ? x ?=( ) 的图象,求作函数y=log 2 x的图象; 2 ? 3?已知函数y=f ( x-1)的图象,求作函数y=f (-x+2)的 图象.

【解析】1?由函数f ? x ?的图象,得到函数 ? f ? 2x ?的图象,只需将y=f ? x ?的图象上 各点的纵坐标保持不变,横坐标变为原 1 来横坐标的 ;要得到函数2f ? x ?的图象, 2 只需将y=f ? x ?的图象上各点的横坐标保 持不变,纵坐标变为原来纵坐标的2倍.

1 x ? 2 ? 先作出函数f ? x ?=( ) 的图象,再作 2 出它关于直线y=x对称的函数的图象, 即得到函数y=log 1 x的图象.接着作函
2

数y=log 1 x的图象关于x轴对称的图象,
2

就得到函数y=log 2 x的图象.

(3)分如下三个步骤求解: 第一步,将函数y=f(x-1)的图象沿x轴的负 方向(或向左)平移一个单位长度,得到函数

y=f(x)的图象;
第二步,将函数y=f(x)的图象以y轴为对称 轴翻折180°,得到函数y=f(-x)的图象; 第三步,将函数y=f(-x)的图象沿x轴的正 方向平移2个单位长度,得到y=f[-(x-2)]

=f(-x+2)的图象.

图象变换有三种:平移变换、对称变 换、伸缩变换,要掌握三种变换的基本规

律.本题(1)小题是伸缩变换(联系三角函数
中的周期变换和振幅变换);(2)小题是对称 变换,也可以理解为翻折变换,对称变换 有轴对称变换和中心对称变换;(3)小题是 平移变换,对自变量作平移必须注意,如

将-x向右平移1个单位长度,即-(x-1),
而不是-x-1.

【变式练习2】 分别叙述下列各题的求解过程. 3 ?1?已知函数f ? x ?= 的图象,求作函数y= x x?2 的图象; x ?1 ? 2 ?已知函数y=f (2x-1)的图象,求作函数 y=f (3-2x)的图象.

x?2 3 【解析】1? 函数y= =1+ ,分两步完成: ? x ?1 x ?1 3 第一步,将函数y= 的图象沿x轴的正方向平移 x 3 一个单位长度,得到函数y= 的图象; x ?1 3 第二步,将函数y= 的图象沿y轴的正方向 x ?1 x?2 3 平移1个单位长度,得到函数y= =1+ x ?1 x ?1 的图象.

(2)分两步完成: 第一步:将函数y=f(2x-1)的图象沿y轴翻 折180°,得到函数y=f(-2x-1)的图象;

第二步:将函数y=f(-1-2x)的图象沿x轴
的正方向平移2个单位长度,得到函数y= f(3-2x)的图象.

识图

【例3】

已知函数f(x)是定义在R
上的奇函数,如右图 是函数f(x)的图象.令g(x)=af(x)+b,证 明:当a=-1,-2<b<0时,方程g(x)=0 有大于2的根.

【解析】将f(x)的图象以x轴为对称轴翻
折得到-f(x)的图象, 又-2<b<0,所以g(x)的图象由-f(x)的 图象向下平移|b|个单位长度得到,所以 g(x)在(2,+∞)上是增函数,且g(2)=

b<0,于是方程g(x)=0有大于2的根.

识图就是充分应用所给图象反
映出来的信息解决问题,如图象上 可以反映出函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性等性质.

【变式练习3】 设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如 右图,求实数b的取值范围.

【解析】由图象知,方程f(x)=0的三个

根是0,1,2,
设f(x)=ax(x-1)(x-2),又由图象 知x>2时,f(x)>0,所以a>0, 又因为f(x)=ax3 -3ax2 +2ax=ax3 + bx2+cx+d,所以b=-3a<0,

即实数b的取值范围是(-∞,0).

用图

【例4】 1 若不等式x -log a x ? 0对x ? (0, )恒成立, 2 求实数a的取值范围.
2

【解析】设f ? x ?=x 2,g ? x ?=log a x. 1 2 因为0 ? x ? ,log a x ? x ? 0,得0 ? a ? 1. 2 1 作出两函数f ? x ?、g ? x ? 在(0, )上的图象, 2 1 1 易知f ( )= , 2 4 1 1 所以,当函数g ? x ?的图象经过点A( , )时, 2 4

1 1 1 由 =log a ,得a= . 4 2 16 1 1 1 2 1 当x ? (0, )时,由log a ? ( ) ,得a ? ; 2 2 2 16 1 1 1 当a= 时,由于f ? x ? ? (0<x < ), 16 4 2 1 而g ? x ? ? , 4 1 故实数a的取值范围是[ ,. 1) 16

将不等式(含参数)转化为函数

的关系,借助于函数图象来研究,
是数学思想灵活运用的体现.本题 直接解不等式是困难的.本题也可 以作另外的解释,即

1 x ? log a x(0 ? x ? )恒成立,就是函数f ? x ? 2 =x 2的最大值小于函数g ? x ?=log a x的最小值.
2

1 因为在(0, )上,函数f ? x ? 是单调增函数, 2 1 1 1 当x ? 时,f ? x ? ? ,所以f ? x ? ? .函数 2 4 4 1 g ? x ?=log a x ? 0 ? a ? 1? 在(0, )上是单调减函 2 1 1 1 数,当x ? 时,g ? x ? ? ,所以g ? x ? ? , 2 4 4 1 当g ? x ?= 时,也符合题意. 4

【变式练习4】 已知关于x的方程x2 -4|x|+5=m有四个不相

等的实根,求实数m的取值范围.
【解析】设y1=x2-4|x|+5, y2=m,作函数y1=x2-4|x|

+5,y2 =m的图象如右图,
由图可知要使方程x2 -4|x| +5=m有四个不相等实根, 只需两图象有四个不同的 交点,即1<m<5.

1.将函数y=f(x)的图象向右平移两个单位,

再向下平移两个单位,得到函数y=2x,
则f(x)=______________ 2x+2+2 2.函数f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),α、 β(α<β)是方程f(x)=0的两个实数根, 则α、β、a、b的大小关系是 α<a<b<β __________________

?4 x ? 4( x ? 1) 3.函数f ? x ?=? 2 的图象和函 ? x ? 4 x ? 3( x ? 1) 3 数g ? x ?=log 2 x的图象的交点个数是______
【解析】分别画出两函数的图象(如图), 易知它们有3个交点.

x ?1? a 4.已知函数f ? x ?= (a ? R), a?x 求证:函数y=f ? x ?的图象关于点 (a,-1)成中心对称.

【证明】设( x0,y0 )在函数y=f ? x ?的图象 上,且关于点(a,-1)对称的点为( x,y ). ? x0 ? 2a ? x 2a ? x ? 1 ? a 则? ,所以-2-y= . a ? ? 2a ? x ? ? y0 ? ?2 ? y x ?1? a 即y= . a?x 这说明点( x,y )也在函数y=f ? x ?的图象 上,所以函数y=f ? x ?的图象关于点(a, -1)成中心对称.

函数图象是函数的一种表达方式, 它直观地显示了函数的性质.正确画出 函数图象,熟练识别函数图象,熟练应 用函数图象,必须熟悉基本初等函数的

图象,掌握它们所具有的性质.
1.熟悉函数图象的变换(掌握三种 函数图象变换)

(1)平移变换 ①水平平移:把函数y=f(x)的图象沿x轴方

向向左(a>0)平移a个单位长度,就得到函数y=
f(x+a)的图象; 把函数y=f(x)的图象沿x轴方向向右(a>0)平移a 个单位长度,就得到函数y=f(x-a)的图象; ②上下平移:把函数y=f(x)的图象沿y轴方

向向上(a>0)平移a个单位长度,就得到函数y=
f(x)+a的图象;把函数y=f(x)的图象沿y轴方向 向下(a>0)平移a个单位长度,就得到函数y=f(x)

-a的图象.

(2)对称变换

①轴对称:设函数y=f(x)的图象的对
称轴是直线x=a,则f(a-x)=f(a+x)或f(2a -x)=f(x);当a=0时,函数f(x)是偶函数;

②中心对称:设函数y=f(x)的图象的
对称中心为(a,0),则f(a-x)=-f(a+x)或 f(2a-x)=-f(x);当a=0时,函数f(x)是奇 函数;设对称中心是(a,b),则f(a-x)= 2b-f(a+x)或f(x)=2b-f(2a-x).

图象的对称变换中,要注意两个函 数图象的对称性问题:如函数y=f(x)与 函数y=-f(x)的图象关于x轴对称;函

数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于
原点对称;函数y=f(x)与函数y=f - 1(x)的图象关于直线y=x对称等.

图象对称变换中的翻折问题:如把

函数y=f(x)在x轴下方的图象沿x轴翻折
到x轴上方,在x轴上方的保持不变,就 得到函数y=|f(x)|的图象;把函数y=f(x) 在y轴右边的图象沿y轴翻折到y轴左边, 保留y轴右边的图象,就得到函数y=

f(|x|)的图象.

2.应用图象可以直观地解决很多问
题,如解决与方程的解的个数有关的问 题、解不等式等,应用图象解决问题的 前提是正确地画出图象,而画图的步骤: 求定义域;化简解析式;确定基本函数

及图象变换的顺序;作出图象.


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