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2014届高三数学辅导精讲精练测试9


2014 届高三数学辅导精讲精练测试 9
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项 符合题目要求) 1.(2012· 浙江)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2: x+(a+1)y+4=0 平行”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 解析 A 由 a=1 可得 l1∥l2,反之,由 l

1∥l2 可得 a=1 或 a=-2,故选 A. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

2.(2012· 湖北)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4|}分为两部 分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 A.x+y-2=0 C.x-y=0 答案 解析 A 两部分面积之差最大, 即弦长最短, 此时直线垂直于过该点的直径. 因 B.y-1=0 D.x+3y-4=0 ( )

为过点 P(1,1)的直径所在直线的斜率为 1,所以所求直线的斜率为-1,方程为 x +y-2=0. 3.经过抛物线 y2=4x 的焦点且平行于直线 3x-2y=0 的直线 l 的方程是 ( A.3x-2y-3=0 C.2x+3y-2=0 答案 解析 A 3 ∵抛物线 y2=4x 的焦点是(1,0),直线 3x-2y=0 的斜率是 ,∴直线 2 B.6x-4y-3=0 D.2x+3y-1=0 )

3 l 的方程是 y=2(x-1),即 3x-2y-3=0,故选 A. 4.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为 A.x2+y2-2x-3=0 C.x2+y2+2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 D.x2+y2-4x=0 ( )

答案 解析

D 设圆心 C(a,0)(a>0),由 3a+4 2 5 =2 得,a=2,故圆的方程为(x-2) +

y2=4,即 x2+y2-4x=0. x2 y2 5.(2012· 江西)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦 点分别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( 1 A.4 1 C.2 答案 解析 B 由等比中项的性质得到 a,c 的一个方程,再进一步转化为关于 e 的 5 B. 5 D. 5-2 )

方程,解之即得所求.依题意得|F1F2|2=|AF1|· 1B|,即 4c2=(a-c)(a+c)=a2- |F c 5 c2,整理得 5c2=a2,∴e=a= 5 . 6.(2012· 浙江)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率 的比值是 ( )

A.3 C. 3 答案 解析 B

B.2 D. 2

c 设焦点为 F(± c,0), 双曲线的实半轴长为 a, 则双曲线的离心率 e1=a,
2

c e1 椭圆的离心率 e2=2a,所以e =2.选 B. y2 7.设 F1、F2 分别是双曲线 x - 9 =1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,
2

→ → → → 且PF1· 2=0,则|PF1+PF2|等于 PF A. 10 B.2 10

(

)

C. 5 答案 解析 B

D.2 5

F1(- 10,0),F2( 10,0),2c=2 10,2a=2.

→ → → → ∵PF1· 2=0,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=40. PF → → → → → → ∴(PF1+PF2)2=|PF1|2+|PF2|2+2PF1· 2=40. PF → → ∴|PF1+PF2|=2 10. 1 8.过抛物线 y= x2 准线上任一点作抛物线的两条切线,若切点分别为 M, 4 N,则直线 MN 过定点 A.(0,1) C.(0,-1) 答案 解析 A 1 2 1 特殊值法,取准线上一点(0,-1).设 M(x1,4x1),N(x2,4x2),则过 2 B.(1,0) D.(-1,0) ( )

1 1 1 2 1 M、N 的切线方程分别为 y-4x2=2x1(x-x1),y-4x2=2x2(x-x2).将(0,-1)代 1
2 入得 x1=x2=4,∴MN 的方程为 y=1,恒过(0,1)点. 2

9.如图,过抛物线 x2=4py(p>0)焦点的直线依次交抛物线与圆 x2+(y-p)2 → → =p2 于点 A、B、C、D,则AB· 的值是 CD ( )

A.8p2 C.2p2 答案 解析 D

B.4p2 D.p2

→ → → → → |AB|=|AF|-p=yA,|CD|=|DF|-p=yB,|AB|· |=yAyB=p2.因为AB, |CD

→ → → → → CD的方向相同,所以AB· =|AB|· |=yAyB=p2. CD |CD 10.已知抛物线 y=x2 上有一定点 A(-1,1)和两动点 P、Q,当 PA⊥PQ 时,

点 Q 的横坐标取值范围是 A.(-∞,-3] C.[-3,1] 答案 解析 D
2 设 P(x1,x1),Q(x2,x2), 2

( B.[1,+∞) D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

)

x2-1 x2-x2 1 2 1 ∴kAP= =x1-1,kPQ= =x +x . x1+1 x2-x1 2 1 由题意得 kPA·PQ=(x1-1)(x2+x1)=-1, k ∴x2= 1 1 -x1= +(1-x1)-1.利用函数性质知 x2∈(-∞, -3]∪[1, 1-x1 ?1-x1?

+∞),故选 D. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线 上) π 11.设 l1 的倾斜角为 α,α∈(0,2),l1 绕其上一点 P 逆时针方向旋转 α 角得 π 直线 l2,l2 的纵截距为-2,l2 绕点 P 逆时针方向旋转2-α 角得直线 l3:x+2y-1 =0,则 l1 的方程为________. 答案 解析 2x-y+8=0 ∵l1⊥l3, 2tanα 4 2 =- . 3 1-tan α

∴k1=tanα=2,k2=tan2α=

4 ∵l2 的纵截距为-2,∴l2 的方程为 y=-3x-2. 4 ? ?y=- x-2, 3 由? ?x+2y-1=0, ?

∴P(-3,2),l1 过 P 点.

∴l1 的方程为 2x-y+8=0. 12. 过直线 2x+y+4=0 和圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的交点且面积最小的圆 的方程是________. 答案 解析 13 6 4 (x+ 5 )2+(y-5)2=5 因为通过两个定点的动圆中, 面积最小的是以这两个定点为直径端点

?2x+y+4=0, 的圆,于是解方程组? 2 2 ?x +y +2x-4y+1=0, 11 2 得交点 A(- 5 ,5),B(-3,2). 13 6 因为 AB 为直径,其中点为圆心,即为(- 5 ,5), 1 2 r=2|AB|=5 5, 13 6 4 所以圆的方程为(x+ 5 )2+(y-5)2=5. 13.(2012· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15 =0,若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________. 答案 解析 4 3 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx-2 的距离为 d,则 d= |4k-2| ,由题意知 k2+1

问题转化为 d≤2,即 d=

|4k-2| 4 4 ≤2,得 0≤k≤3,所以 kmax=3. 2 k +1

x2 y2 14.若椭圆a2+b2=1 过抛物线 y2=8x 的焦点,且与双曲线 x2-y2=1 有相 同的焦点,则该椭圆的方程是________. 答案 解析 x2 y2 4 + 2 =1 抛物线 y2=8x 的焦点坐标为(2,0),则依题意知椭圆的右顶点的坐标

为(2,0), 又椭圆与双曲线 x2-y2=1 有相同的焦点, ∴a=2, c= 2.∵b2=a2-c2, x2 y2 ∴b =2,∴椭圆的方程为 4 + 2 =1.
2

→ → 15.已知两点 M(-3,0),N(3,0),点 P 为坐标平面内一动点,且|MN|· |+ |MP → → MN· =0,则动点 P(x,y)到点 A(-3,0)的距离的最小值为________. NP 答案 解析 3 → → → 因为 M(-3,0),N(3,0),所以MN=(6,0),|MN|=6,MP=(x+3,y),

→ NP=(x-3,y). → → → → 由|MN|· |+MN· =0,得 |MP NP 6 ?x+3?2+y2+6(x-3)=0,化简整理得 y2=-12x. 所以点 A 是抛物线 y2=-12x 的焦点, 所以点 P 到 A 的距离的最小值就是原 点到 A(-3,0)的距离,所以 d=3. x2 y2 16.已知以 y=± 3x 为渐近线的双曲线 D:a2-b2=1(a>0,b>0)的左,右焦 点分别为 F1,F2,若 P 为双曲线 D 右支上任意一点,则 是________. 答案 解析 1? ? ?0,2? ? ? 依题意,|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|≥2c, |PF1|-|PF2| 的取值范围 |PF1|+|PF2|

|PF1|-|PF2| a 1 b 所以 0< ≤c =e .又双曲线的渐近线方程 y=± 3x,则a= 3. |PF1|+|PF2| |PF1|-|PF2| 1 c 因此 e=a=2,故 0< ≤ . |PF1|+|PF2| 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.(本题满分 10 分)已知 O 为平面直角坐标系的原点,过点 M(-2,0)的直 线 l 与圆 x2+y2=1 交于 P,Q 两点. → → 1 (1)若OP· =-2,求直线 l 的方程; OQ (2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等,求直线 l 的斜率. 解析 (1)依题意知直线 l 的斜率存在,

因为直线 l 过点 M(-2,0), 故可设直线 l 的方程为 y=k(x+2). → → 因为 P,Q 两点在圆 x2+y2=1 上,所以|OP|=|OQ|=1. → → → → 1 1 因为OP· =-2,即|OP|· |· OQ |OQ cos∠POQ=-2.

1 所以∠POQ=120° ,所以点 O 到直线 l 的距离等于2. 所以 |2k| 1 15 =2,解得 k=± 15 . 2 k +1

所以直线 l 的方程为 x- 15y+2=0 或 x+ 15y+2=0. (2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等,所以 MP=PQ,即 P 为 MQ 的中点, → → 所以MQ=2MP. → → 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),所以MQ=(x2+2,y2),MP=(x1+2,y1). ?x2+2=2?x1+2?, ?x2=2?x1+1?, 所以? 即? ① ?y2=2y1, ?y2=2y1.
2 2 ?x1+y1=1, ? 2 2 因为 P,Q 两点在圆 x +y =1 上,所以 ② ?x2+y2=1. 2 2

由①及②得? 2 2 ?4?x1+1? +4y1=1,

2 2 ?x1+y1=1,

?x1=-7, 8 ? 解得? 15 ?y1=± 8 . ?

15 故直线 l 的斜率 k=kMP=± 9 . x2 y2 18.(本题满分 12 分)(2012· 北京文)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的一个顶 2 点为 A(2,0),离心率为 2 .直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; 10 (2)当△AMN 的面积为 3 时,求 k 的值.

解析

?a=2, ?c 2 (1)由题意得? = , a 2 ?a2=b2+c2, ?

解得 b= 2. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1.

?y=k?x-1?, ? (2)由?x2 y2 ? 4 + 2 =1, ?

得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.

设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 2k2-4 4k2 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2= ,x x = . 1+2k2 1 2 1+2k2 所以|MN|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 2 ?1+k2??4+6k2? = . 1+2k2 又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= 所以△AMN 的面积为 |k| 4+6k 1 S=2|MN|· d= . 1+2k2 |k| 4+6k2 10 由 = 3 ,化简得 7k4-2k2-5=0,解得 k=± 1. 1+2k2 x2 y2 19.(本题满分 12 分)(2012· 天津理)设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点分 别为 A、B,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两点,O 为坐标原点. 1 (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为-2,求椭圆的离心率; (2)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|> 3. 解析 (1)设点 P 的坐标为(x0,y0).
2

|k| , 1+k2

x2 y2 0 0 由题意,有a2+b2=1.① 由 A(-a,0),B(a,0),得 kAP= y0 y0 ,kBP= . x0+a x0-a

1 由 kAP·BP =-2 ,可得 x 2 =a2 -2y2 ,代入①并整理得(a2 -2b2)y 2 =0.由于 k 0 0 0 a2-b2 1 2 y0≠0,故 a2=2b2.于是 e2= a2 =2,所以椭圆的离心率 e= 2 . (2)方法一 依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,设点 P 的坐标为(x0,y0).由条件得

?y0=kx0, ? 2 ?x0 y2 0 ?a2+b2=1. ? 消去 y0 并整理得 a2b2 2 x0= 2 2 2.② k a +b

2 由|AP|=|OA|, A(-a,0)及 y0=kx0, 0+a)2+k2x2=a2.整理得(1+k2)x0+2ax0 得(x 0

=0. 而 x0≠0,于是 x0= -2a ,代入②,整理得 1+k2

a (1+k2)2=4k2(b)2+4.由 a>b>0,故(1+k2)2>4k2+4,即 k2+1>4.因此 k2>3, 所以|k|> 3. 方法二 依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,可设点 P 的坐标为(x0,kx0).由

2 x2 k2x2 x2 k2x0 0 0 0 点 P 在椭圆上,有a2+ b2 =1.因为 a>b>0,kx0≠0,所以a2+ a2 <1,即(1+k2)x2 0

<a2.③
2 由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x0+a)2+k2x2=a2,整理得(1+k2)x0+2ax0=0, 0

于是 x0=

-2a 4a2 2 <a2,解得 k2>3,所以|k|> 3. 2.代入③,得(1+k )· 1+k ?1+k2?2

x2 y2 20. (本题满分 12 分)如图,点 A,B 分别是椭圆36+20=1 长轴的左,右端 点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 的一点,M 到直线 AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的 点到点 M 的距离 d 的最小值. 解析 (1)由已知可得点 A(-6,0),F(4,0),

设点 P 的坐标是(x,y), → → 则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y).

2 y2 ?x ? + =1, 由已知得?36 20 ??x+6??x-4?+y2=0, ?

3 则 2x2+9x-18=0,x=2或 x=-6. ∵点 P 位于 x 轴上方,∴x=-6 舍去, 3 5 只能取 x=2.由于 y>0,于是 y=2 3. 3 5 ∴点 P 的坐标是(2,2 3). (2)直线 AP 的方程是 x- 3y+6=0. 设点 M 的坐标是(m,0)(-6≤m≤6), m+6 则 M 到直线 AP 的距离是 2 . m+6 于是 2 =6-m,解得 m=2. 椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离 d 有 5 d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-9x2 4 9 =9(x-2)2+15. 由于-6≤x≤6, 9 ∴当 x=2时,d 取得最小值 15. x2 21.(本题满分 12 分)已知椭圆 +y2 =1 的两个焦点是 F1(-c,0), m+1 F2(c,0)(c>0). (1)设 E 是直线 y=x+2 与椭圆的一个公共点, 求|EF1|+|EF2|取得最小值时椭 圆的方程; (2)已知点 N(0,-1),斜率为 k(k≠0)的直线 l 与条件(1)下的椭圆交于不同的 → → → → 两点 A,B,点 Q 满足AQ=QB,且NQ· =0,求直线 l 在 y 轴上的截距的取值 AB 范围. 解析 (1)由题意,知 m+1>1,即 m>0.

?y=x+2, ? 由? x2 2 ?m+1+y =1, ?

得(m+2)x2+4(m+1)x+3(m+1)=0.

又由 Δ=16(m+1)2-12(m+2)(m+1)=4(m+1)(m-2)≥0, 解得 m≥2 或 m≤-1(舍去),∴m≥2. 此时|EF1|+|EF2|=2 m+1≥2 3. 当且仅当 m=2 时,|EF1|+|EF2|取得最小值 2 3, x2 此时椭圆的方程为 3 +y2=1.
2 2 ?x +3y =3, (2)设直线 l 的方程为 y=kx+t.由方程组? ?y=kx+t,

消去 y 得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0. ∵直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B, ∴Δ=(6kt)2-4(1+3k2)(3t2-3)>0, 即 t2<1+3k2.① 设 A(x1,y1),B(x2,y2),Q(xQ,yQ),则 x1+x2=- → → 由AQ=QB,得 Q 为线段的 AB 的中点, 则 xQ= x1+x2 3kt t 2 =-1+3k2,yQ=kxQ+t=1+3k2. 6kt . 1+3k2

→ → ∵NQ· =0,∴直线 AB 的斜率 kAB 与直线 QN 的斜率 kQN 乘积为-1,即 AB t +1 1+3k2 kQN·AB=-1,∴ k k=-1. 3kt · - 2 1+3k 化简得 1+3k2=2t,代入①式得 t2<2t, 解得 0<t<2. 1 又 k≠0,即 3k2>0,故 2t=1+3k2>1,得 t>2. 1 综上,直线 l 在 y 轴上的截距 t 的取值范围是(2,2). 22.(本题满分 12 分)(2012· 浙江文)

1 如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1,2)到抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线的 5 距离为4.点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分. (1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值. ?2pt=1, ? 1 ? ?p= , (1)由题意知? 得? 2 p 5 ?1+2=4, ?t=1. ? ?

解析

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 Q(m,m).

由题意知,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0).
2 ?y1=x1, 由? 2 得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2. ?y2=x2,

故 k· 2m=1. 1 所以直线 AB 的方程为 y-m=2m(x-m). 即 x-2my+2m2-m=0.
2 ?x-2my+2m -m=0, 由? 2 消去 x,整理得 y2-2my+ ?y =x,

2m2-m=0. 所以 Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·2=2m2-m. y 从而|AB|= 1 1+k2· 1-y2|= 1+4m2· 4m-4m2. |y

|1-2m+2m2| 设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= . 1+4m2 设△ABP 的面积为 S,则 1 S=2|AB|· d=|1-2(m-m2)|· m-m2. 由 Δ=4m-4m2>0,得 0<m<1. 1 令 u= m-m2,0<u≤2,则 S=u(1-2u2). 1 设 S(u)=u(1-2u2),0<u≤2,则 S′(u)=1-6u2. 6 1 由 S′(u)=0,得 u= 6 ∈(0,2]. 所以[S(u)]max=S( 6 6 )= . 6 9

6 故△ABP 面积的最大值为 9 .

1.(2012· 辽宁文)将圆 x2+y2-2x-4y+1=0 平分的直线是 A.x+y-1=0 C.x-y+1=0 答案 解析 C B.x+y+3=0 D.x-y+3=0

(

)

要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,由题知圆心坐标为

(1,2).A,B,C,D 四个选项中,只有 C 选项中的直线经过圆心,故选 C. 3 2.(2012· 孝感统考)若直线过点 P(-3,-2)且被圆 x2+y2=25 截得的弦长是 8,则该直线的方程为 A.3x+4y+15=0 C.x=-3 答案 解析 D 若直线的斜率不存在,则该直线的方程为 x=-3,代入圆的方程解 3 B.x=-3 或 y=-2 D.x=-3 或 3x+4y+15=0 ( )

得 y=± 4,故该直线被圆截得的弦长为 8,满足条件;若直线的斜率存在,不妨

3 3 设直线的方程为 y+2=k(x+3),即 kx-y+3k-2=0,因为该直线被圆截得的弦 长为 8,故半弦长为 4,又圆的半径为 5,则圆心(0,0)到直线的距离为 52-42= 3 |3k-2| k +1
2

3 ,解得 k=-4,此时该直线的方程为 3x+4y+15=0.综上可知答案为 D.

3.直线 4kx-4y-k=0 与抛物线 y2=x 交于 A、B 两点,若|AB|=4,则弦 1 AB 的中点到直线 x+2=0 的距离等于 A. 7 4 B.2 D.4 C 1 直线 4kx-4y-k=0, y=k(x-4), 即 可知直线 4kx-4y-k=0 过抛物 ( )

9 C.4 答案 解析

1 1 线 y2=x 的焦点(4,0).设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+2=4,故 x1+ 7 7 1 7 x2=2,则弦 AB 的中点的横坐标是4,弦 AB 的中点到直线 x+2=0 的距离是4+ 1 9 2=4. 4.已知 l1 和 l2 是平面内互相垂直的两条直线,它们的交点为 A,动点 B、C 分别在 l1 和 l2 上,且 BC=3 2,则过 A、B、C 三点的动圆所形成的区域的面积 为 A.6π C.16π 答案 解析 D 当 A 与 B 或 C 重合时, 此时圆的面积最大, 且圆的半径 r=BC=3 2, B.8π D.18π ( )

所以圆的面积 S=πr2=π(3 2)2=18π,则过 A、B、C 三点的动圆所形成的区域的 面积为 18π. x2 y2 x2 y2 5.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)与双曲线m2-n2=1(m>0,n>0)有相同的焦点 (-c,0)和(c,0).若 c 是 a 与 m 的等比中项,n2 是 m2 与 c2 的等差中项,则椭圆的

离心率等于 1 A.3 1 C.2 答案 解析 B ∵c2=am,2n2=c2+m2,又 n2=c2-m2, 3 B. 3 2 D. 2

(

)

1 3 3 c 3 ∴m2=3c2,即 m= 3 c.∴c2= 3 ac,则 e=a= 3 . x2 y2 6.椭圆 4 + 3 =1 离心率为 e,点(1,e)是圆 x2+y2-4x-4y+4=0 的一条弦 的中点,则此弦所在直线的方程是 A.3x+2y-4=0 C.3x-2y-2=0 答案 解析 B 1 1 依题意得 e=2,圆心坐标为(2,2),圆心(2,2)与点(1,2)的连线的斜率 B.4x+6y-7=0 D.4x-6y-1=0 ( )

1 2- 2 3 2 1 2 为 =2,所求直线的斜率等于-3,所以所求直线方程是 y-2=-3(x-1), 2-1 即 4x+6y-7=0,选 B. 7. 已知圆 x2+y2=1 与 x 轴的两个交点为 A、 若圆内的动点 P 使|PA|、 B, |PO|、 →→ |PB|成等比数列,则PA· 的取值范围为 PB 1? ? A.?0,2? ? ? 1 C.(-2,0) 答案 解析 C 设 P(x,y),∴|PO|2=|PA||PB|, ? 1 ? B.?-2,0? ? ? D.[-1,0) ( )

即 x2+y2= ?x-1?2+y2· ?x+1?2+y2, 整理得 2x2-2y2=1. → → ∴PA· =(1-x,-y)· PB (-1-x,-y)=x2+y2-1

3 =2x2-2. 1 ∴P 为圆内动点且满足 x2-y2=2. 2 3 3 ∴ 2 <|x|< 2 ,∴1<2x2<2. 1 3 ∴-2<2x2-2<0,选 C. 8.(2012· 新课标全国)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛 物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为 A. 2 C.4 答案 解析 C 抛物线 y2=16x 的准线方程是 x=-4, 所以点 A(-4,2 3)在等轴双曲 B.2 2 D.8 ( )

线 C:x2-y2=a2(a>0)上,将点 A 的坐标代入得 a=2,所以 C 的实轴长为 4. 9.已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率 为________. 答案 解析 2-1 令 AB=2,则 AC=2 2.

∴椭圆中 c=1,2a=2+2 2?a=1+ 2. c 可得 e=a= 1 = 2-1. 2+1

10.(2012· 北京理)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F, 且与该抛物线相交于 A, 两点, B 其中点 A 在 x 轴上方. 若直线 l 的倾斜角为 60° , 则△OAF 的面积为________. 答案 解析 3 3 直线 l 的方程为 y= 3(x-1),即 x= 3 y+1,代入抛物线方程得 y2 4 3 3 + 2 16 3 +16

4 3 - 3 y-4=0,解得 yA= 1 为2×1×2 3= 3.

=2 3(yB<0,舍去),故△OAF 的面积

x2 y2 11.设椭圆 C:a2+ 2 =1(a>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,A 是椭圆 C 上 → → 1 的一点,且AF2· 1F2=0,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为3|OF1|. F (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 P(-1,0),交 y 轴 → → 于点 M,若MQ=2QP,求直线 l 的方程. 解析 (1)由题设知 F1(- a2-2,0),F2( a2-2,0).

→ → → → → 2 由于AF2· 1F2=0,则有AF2⊥F1F2,所以点 A 的坐标为( a2-2,± ),故AF1 F a 所在直线方程为 y=± ( x 1 +a). 2 a a -2 a2-2 (a> 2). a2-1

所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为
2

a2-2 1 2 又|OF1|= a -2,所以 2 = a -2, a -1 3 解得 a=2(a> 2). x2 y2 所求椭圆的方程为 4 + 2 =1. (2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 斜率为 k, 直线 l 的方程为 y=k(x+1),则有 M(0,k). → → 设 Q(x1,y1),∵MQ=2QP, ∴(x1,y1-k)=2(-1-x1,-y1).

?x1=-2, ? 3 ∴? k ?y1=3. ?
又 Q 在椭圆 C 上,得 解得 k=± 4. 故直线 l 的方程为 y=4(x+1)或 y=-4(x+1), 2 ?-3?2 k ?3?2 4 + 2 =1,

即 4x-y+4=0 或 4x+y+4=0. x2 y2 12.椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,过 F1 的直线 l 与椭圆交 于 A、B 两点. (1)如果点 A 在圆 x2+y2=c2(c 为椭圆的半焦距)上,且|F1A|=c,求椭圆的离 心率; (2)若函数 y= 2+logmx(m>0 且 m≠1)的图像, 无论 m 为何值时恒过定点(b, → → a),求F2B· 2A的取值范围. F 解析 (1)∵点 A 在圆 x2+y2=c2 上,

∴△AF1F2 为一直角三角形. ∵|F1A|=c,|F1F2|=2c, ∴|F2A|= |F1F2|2-|AF1|2= 3c. 由椭圆的定义,知|AF1|+|AF2|=2a, c 2 ∴c+ 3c=2a.∴e=a= = 3-1. 1+ 3 (2)∵函数 y= 2+logmx 的图像恒过点(1, 2),由已知条件知还恒过点(b, a),∴a= 2,b=1,c=1. 点 F1(-1,0),F2(1,0), 2 2 ①若 AB⊥x 轴,则 A(-1, 2 ),B(-1,- 2 ). → → 2 2 ∴F2A=(-2, 2 ),F2B=(-2,- 2 ). → → 1 7 ∴F2A· 2B=4-2=2. F ②若 AB 与 x 轴不垂直, 设直线 AB 的斜率为 k, AB 的方程为 y=k(x+1). 则 ?y=k?x+1?, 由? 2 2 ?x +2y -2=0, 消去 y,得(1+2k2)x2+4k2x+2(k2-1)=0.(*) ∵Δ=8k2+8>0,∴方程(*)有两个不同的实根. 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程(*)的两个根.

2?k2-1? 4k2 x1+x2=- ,x x = . 1+2k2 1 2 1+2k2 → → ∴F2A=(x1-1,y1),F2B=(x2-1,y2). → → ∴F2A· 2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2 F =(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2 2?k2-1? 4k2 =(1+k2) +(k2-1)(- )+1+k2 1+2k2 1+2k2 = 7k2-1 7 9 . 2= - 1+2k 2 2?1+2k2?

∵1+2k2≥1, 1 9 9 ∴0< 2≤1,0< 2 ≤ . 1+2k 2?1+2k ? 2 → → 7 ∴-1≤F2A· 2B=2- F 9 7 2 < . 2?1+2k ? 2

→ → 7 综上,由①②,知-1≤F2A· 2B≤2. F x2 y2 13.(2013· 衡水调研)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),且 a b 1 离心率为2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0,y0),求 y0 的取值范围. 解析 (1)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意,得 c=1.

1 因为椭圆 C 的离心率为2, 所以 a=2c=2,b2=a2-c2=3. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. (2)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k≠0).

?y=k?x-1?, ? 由?x2 y2 ? 4 + 3 =1, ?

消去 y 并整理得

(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3), 8k2 则 x1+x2= . 3+4k2 所以 x3= x1+x2 -3k 4k2 = . 2,y3=k(x3-1)= 2 3+4k 3+4k2

3k 1 4k2 线段 MN 的垂直平分线的方程为 y+ =- k(x- ). 3+4k2 3+4k2 在上述方程中,令 x=0,得 y0= k 1 . 2= 3+4k 3 k+4k

3 3 当 k<0 时, k+4k≤-4 3;当 k>0 时,k +4k≥4 3. 3 3 所以- 12 ≤y0<0 或 0<y0≤ 12 . 综上,y0 的取值范围是[- 3 3 , ]. 12 12

14.(2013· 北京海淀区期末)已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点(0,1),且离心率 3 为 2 ,Q 为椭圆 C 的左顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; 6 (2)已知过点(-5,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点. ①若直线 l 垂直于 x 轴,求∠AQB 的大小; ②若直线 l 与 x 轴不垂直,是否存在直线 l 使得△QAB 为等腰三角形?若存 在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解析 x2 y2 (1)设椭圆 C 的标准方程为a2+b2=1(a>b>0),且 a2=b2+c2.

c 3 由题意可知:b=1,a= 2 . x2 解得 a2=4,所以椭圆 C 的标准方程为 4 +y2=1.

(2)由(1)得 Q(-2,0).设 A(x1,y1),B(x2,y2). 6 ①当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l 的方程为 x=-5.

?x=-6, ? 5 由? 2 x ? 2 ? 4 +y =1,

?x=-6, ? 5 解得? 4 ? ?y=5

?x=-6, ? 5 或? 4 ? ?y=-5.

6 4 6 4 即 A(-5,5),B(-5,-5)(不妨设点 A 在 x 轴上方), 4 4 -0 - -0 5 5 则 kAQ= 6 =1,kBQ= 6 =-1. -5-?-2? -5-?-2? 因为 kAQ·BQ=-1,所以 AQ⊥BQ. k π π 所以∠AQB=2,即∠AQB 的大小为2. 6 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 由题意可设直线 AB 的方程为 y=k(x+5)(k≠0).

?y=k?x+6?, ? 5 由? 2 x ? 4 +y2=1, ?

消去 y 得(25+100k2)x2+240k2x+144k2-100=0.

6 因为点(-5,0)在椭圆 C 的内部,显然 Δ>0. 240k ?x1+x2=-25+100k2, ? ? 144k2-100 ?x1x2= 25+100k2 . ? → → 6 6 因为QA=(x1+2,y1),QB=(x2+2,y2),y1=k(x1+ ),y2=k(x2+ ), 5 5 → → 所以QA· =(x1+2)(x2+2)+y1y2 QB 6 6 =(x1+2)(x2+2)+k(x1+5)· 2+5) k(x 6 36 =(1+k2)x1x2+(2+5k2)(x1+x2)+4+25k2
2

144k2-100 6 2 240k2 36 =(1+k ) +(2+5k )(- )+4+25k2=0. 25+100k2 25+100k2
2

→ → 所以QA⊥QB.所以△QAB 为直角三角形. 假设存在直线 l 使得△QAB 为等腰三角形,则|QA|=|QB|. 如图,取 AB 的中点 M,连接 QM,则 QM⊥AB.

6 记点(-5,0)为 N. 因为 xM= x1+x2 120k2 24k2 =- , 2=- 2 25+100k 5+20k2 6k , 5+20k2

6 所以 yM=k(xM+5)=

-24k2 6k 即 M( , ). 5+20k2 5+20k2 → → 10+16k2 6k 6 6k 所以QM=( ). 2, 2),NM=( 2, 5+20k 5+20k 5+20k 5+20k2 → → 10+16k2 60+132k2 6 6k 6k 所以QM· = NM × + × = ≠0. 5+20k2 5+20k2 5+20k2 5+20k2 ?5+20k2?2 → → → → 所以QM与NM不垂直,即QM与AB不垂直,矛盾. 所以假设不成立,故当直线 l 与 x 轴不垂直时,不存在直线 l 使得△QAB 为 等腰三角形. y2 x2 15. 设椭圆 M: 2+b2=1(a>b>0)的离心率与双曲线 x2-y2=1 的离心率互为 a 倒数,且内切于圆 x2+y2=4. (1)求椭圆 M 的方程; (2)若直线 y= 2x+m 交椭圆于 A、B 两点,椭圆上一点 P(1, 2),求△PAB 面积的最大值. 解析 (1)双曲线的离心率为 2,则椭圆的离心率为

c 2 e=a= 2 ,圆 x2+y2=4 的直径为 4,则 2a=4,

?2a=4, ?c 2 得? = , a 2 ?b2=a2-c2 ?

?a=2, ??c= 2, ?b= 2.

y2 x2 所求椭圆 M 的方程为 4 + 2 =1. (2)直线 AB 的直线方程为 y= 2x+m. ?y= 2x+m, ? 由?x2 y2 ? 2 + 4 =1, ?

得 4x2+2 2mx+m2-4=0.

由 Δ=(2 2m)2-16(m2-4)>0,得-2 2<m<2 2. ∵x1+x2=- m2-4 2 m,x1x2= . 2 4

∴|AB|= 1+2|x1-x2|= 3· ?x1+x2?2-4x1x2 1 = 3· 2m2-m2+4= 3 又 P 到 AB 的距离为 d= 1 1 则 S△ABC=2|AB|d=2 3 1 =2 ≤ |m| . 3 m2 |m| 4- 2 3 m2 4- 2 .

m2 1 m2?4- 2 ?= m2?8-m2? 2 2

2 2 1 m +?8-m ? · = 2, 2 2 2

当且仅当 m=± 2∈(-2 2,2 2)取等号. ∴(S△ABC)max= 2. 16.设椭圆 C:x2+2y2=2b2(常数 b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,M,N → → 是直线 l:x=2b 上的两个动点,F1M· 2N=0. F

→ → (1)若|F1M|=|F2N|=2 5,求 b 的值; (2)求|MN|的最小值. 解析 设 M(2b,y1),N(b,y2),

→ → 则F1M=(3b,y1),F2N=(b,y2). → → 由F1M· 2N=0,得 y1y2=-3b2.① F → → (1)由|F1M|=|F2N|=2 5,得
2 ?3b?2+y1=2 5.②

b2+y2=2 5.③ 2 由①、②、③三式,消去 y1,y2,并求得 b= 2. x2 y2 (2)易求椭圆 C 的标准方程为 4 + 2 =1. 方法一 |MN|2=(y1-y2)2=y2+y2-2y1y2≥ 1 2

-2y1y2-2y1y2=-4y1y2=12b2, 所以,当且仅当 y1=-y2= 3b 或 y2=-y1= 3b,|MN|取最小值 2 3b. 方法二 9b4 |MN|2=(y1-y2)2=y2+ y2 +6b2≥12b2, 1
1

所以,当且仅当 y1=-y2= 3b 或 y2=-y1= 3b 时,|MN|取最小值 2 3b. 17.(2013· 武汉)如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM|=2|DP|. 当点 P 在圆 x2+y2=1 上运动时. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(0,t)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,求△AOB 面 积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标.

解析

(1)设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0),则 x=x0,y=2y0,

y 所以 x0=x,y0=2.①

因为 P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上,所以 x2+y2=1.② 0 0 y2 将①代入②,得点 M 的轨迹 C 的方程为 x2+ 4 =1. (2)由题意知,|t|≥1.当 t=1 时,切线 l 的方程为 y=1,点 A、B 的坐标分别 3 3 为(- 2 ,1)、( 2 ,1),此时|AB|= 3,当 t=-1 时,同理可得|AB|= 3;当|t|>1 时,设切线 l 的方程为 y=kx+t,k∈R. ?y=kx+t, ? 由? 2 y2 ?x + 4 =1, ? 得(4+k2)x2+2ktx+t2-4=0.③

设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由③得 t2-4 2kt x1+x2=- ,x x = . 4+k2 1 2 4+k2 又由 l 与圆 x2+y2=1 相切,得 所以|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = 4?t2-4? 4 3|t| 4k2t2 ?1+k ?[ - ]= 2 . ?4+k2?2 4+k2 t +3
2

|t| =1,即 t2=k2+1. 2 k +1

因为|AB|=

4 3|t| 4 3 = 3 ≤2,且当 t=± 3时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 t2+3 |t|+|t|

2. 依题意,圆心 O 到直线 AB 的距离为圆 x2+y2=1 的半径,所以△AOB 面积 1 S=2|AB|×1≤1,当且仅当 t=± 3时,△AOB 面积 S 的最大值为 1,相应的 T 的 坐标为(0,- 3)或(0, 3). y2 x2 3 18.已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1:a2+b2=1 经过 A(1,0)点,且离心率为 2 . (1)求椭圆 C1 的方程; (2)过抛物线 C2:y=x2+h(h∈R)上 P 点的切线与椭圆 C1 交于两点 M、N, 记线段 MN 与 PA 的中点分别为 G、H,当 GH 与 y 轴平行时,求 h 的最小值.

解析

? ? 3 (1)由题意可得? c =2, ?a =b +c . ?a
1 b2=1,
2 2 2

y2 解得 a=2,b=1,所以椭圆 C1 的方程为 x2+ 4 =1. (2)设 P(t, +h), y′=2x, t2 由 抛物线 C2 在点 P 处的切线的斜率为 k=y′ =2t, 所以 MN 的方程为 y=2tx-t2+h. 代入椭圆方程得 4x2+(2tx-t2+h)2-4=0, 化简得 4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0. 又 MN 与椭圆 C1 有两个交点, 故 Δ=16[-t4-2(h+2)t2-h2+4]>0.① 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 中点横坐标为 x0,则 x0= 1+t 设线段 PA 的中点横坐标为 x3= 2 . t?t2-h? 1+t 由已知得 x0=x3,即 = 2 .② 2?1+t2? 1 显然 t≠0,h=-(t+ t +1).③ 1 当 t>0 时,t+ t ≥2,当且仅当 t=1 时取得等号,此时 h≤-3 不符合①式, 故舍去; 1 当 t<0 时,(-t)+(- t )≥2,当且仅当 t=-1 时取得等号,此时 h≥1,满足 ①式.综上,h 的最小值为 1. 19.已知△ABC 中,点 A、B 的坐标分别为(- 2,0),B( 2,0),点 C 在 x 轴上方. (1)若点 C 坐标为( 2,1),求以 A、B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程; 3 (2)过点 P(m,0)作倾斜角为4π 的直线 l 交(1)中曲线于 M、 两点, N 若点 Q(1,0) x1+x2 t?t2-h? 2 =2?1+t2?.

|x

=t

恰在以线段 MN 为直径的圆上,求实数 m 的值. 解析 x2 y2 (1)设椭圆方程为a2+b2=1,c= 2,2a=|AC|+|BC|=4,b= 2,所

x2 y2 以椭圆方程为 4 + 2 =1. (2)直线 l 的方程为 y=-(x-m),令 M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程解得 3x2 -4mx+2m2-4=0,

?x1+x2=4m, ? 3 ? 2m2-4 x1x2= 3 ? ?


若 Q 恰在以 MN 为直径的圆上,

y1 y2 · =-1,即 m2+1-(m+1)(x1+x2)+2x1x2=0,3m2-4m-5=0, x1-1 x2-1 2± 19 3 .

解得 m=

x2 y2 2 20.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,其中左焦点 F(-2,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 M 关 于直线 y=x+1 的对称点在圆 x2+y2=1 上,求 m 的值. c ?a= 22, (1)? ?c=2 x2 y2 ? 8 + 4 =1.

解析

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),V(x4,y4).
2 2 ?x y ? + =1, 由? 8 4 ?y=x+m ?

?3x2+4mx+2m2-8=0.

∴Δ=96-8m2>0?-2 3<m<2 3. ∴x3= x1+x2 2m m =- 3 ,y3=x3+m= 3 . 2

?y3+y4=x3+x4+1, ? 2 2 又? y -y ?x4-x3=-1 ?4 3

?x4=m-1, ? 3 ?? 2m ? ?y4=1- 3 ,

在 x2+y2=1 上.

m 2m m2 2m 4m2 4m ∴( 3 -1)2+(1- 3 )2=1? 9 - 3 + 1 - 3 +1=0. ∴5m2-18m+9=0?(5m-3)(m-3)=0. 3 ∴m=5或 m=3 经检验成立. 3 ∴m=5或 m=3. 21.(2012· 浙江宁波市期末)已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,抛物 线上一点 A 的横坐标为 x1(x1>0),过点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D,交 p y 轴于点 Q,交直线 l:y=2于点 M,当|FD|=2 时,∠AFD=60° . (1)求证:△AFQ 为等腰三角形,并求抛物线 C 的方程; (2)若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上,过点 B 作抛物线 C 的切线 l2 交直线 l1 于点 P,交直线 l 于点 N,求△PMN 面积的最小值,并求取到最小值时的 x1 的 值. 解析 x1 x2 1 (1)设 A(x1,y1),则切线 AD 的方程为 y= p x-2p.

x1 p p 所以 D( 2 ,0),Q(0,-y1),|FQ|=2+y1,|FA|=2+y1,所以|FQ|=|FA|. 所以△AFQ 为等腰三角形, 且 D 为 AQ 中点,所以 DF⊥AQ. ∵|DF|=2,∠AFD=60° , p ∴∠QFD=60° 2=1,得 p=2,抛物线方程为 x2=4y. , (2)设 B(x2,y2)(x2<0), x2 x2 2 则 B 处的切线方程为 y= 2 x- 4 .

?y=x1x-x1, ? 2 4 由? x2 x2 2 y= 2 x- 4 ? ?
2 ? x1 x1 ?y= x- , 2 4 ? ?y=1 ?

2

x1+x2 x1x2 ?P( 2 , 4 ),

x1 2 ?M( 2 +x ,1).
1

x2 2 1 x1 2 x2 2 x1x2 同 理 N( 2 + x , 1) , 所 以 面 积 S = 2 ( 2 + x - 2 - x )· - 4 ) = (1 2 1 2 ?x2-x1??4-x1x2?2 .① 16x1x2 设 AB 的方程为 y=kx+b,则 b>0. ?y=kx+b, 由? 2 ?x2-4kx-4b=0, x =4y ? ?x1+x2=4k, 得? 代入①得 ?x1x2=-4b, 16k2+16b?4+4b?2 ?1+b?2 k2+b S= = ,使面积最小,则 k=0,得到 S= 64b b ?1+b?2 b .② b 令 b=t, ②得 S(t)= ?1+t2?2 3 ?3t2-1??t2+1? 1 =t +2t+ t ,S′(t)= , t t2

3 3 ∴当 t∈(0, 3 )时 S(t)单调递减;当 t∈( 3 ,+∞)时 S(t)单调递增. 3 16 3 1 ∴当 t= 3 时,S 取最小值为 9 ,此时 b=t2=3,k=0, 1 2 3 ∴y1=3即 x1= 3 . 22.

如图,已知 M(m,m2)、N(n,n2)是抛物线 C:y=x2 上的两个不同的点,且 x2 m +n =1,m+n≠0,直线 l 是线段 MN 的垂直平分线,设椭圆 E 的方程为 2 +
2 2

y2 a =1(a>0,a≠2). (1)当 M、N 在 C 上移动时,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (2)已知直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点,与椭圆 E 交于 P、Q 两点,设线

→ → 段 AB 的中点为 R,线段 QP 的中点为 S,若OR· =0,求椭圆 E 的离心率的取 OS 值范围. 解析 m2-n2 (1)由题意知,直线 MN 的斜率 kMN= =m+n. m-n 1 . m+n

又 l⊥MN,m+n≠0,∴直线 l 的斜率 k=-

∵m2+n2=1,由 m2+n2≥2mn,得 2(m2+n2)≥(m+n)2, 即 2≥(m+n)2(当 m=n 时,等号成立),∴|m+n|≤ 2. ∵M、N 是不同的两点,即 m≠n,∴0<|m+n|< 2. 2 2 2 ∴|k|> 2 ,即 k<- 2 或 k> 2 . m+n m2+n2 (2)由题意易得,线段 MN 的中点坐标为( 2 , 2 ). ∵直线 l 是线段 MN 的垂直平分线, m2+n2 m+n ∴直线 l 的方程为 y- 2 =k(x- 2 ). 1 又∵m2+n2=1,k=- , m+n ∴直线 l 的方程为 y=kx+1. 将直线 l 的方程代入抛物线方程和椭圆方程并分别整理,得 x2-kx-1=0, ①(a+2k2)x2+4kx+2-2a=0. ②

易知方程①的判别式 Δ1=k2+4>0, 方程②的判别式 Δ2=8a(2k2+a-1). 1 由(1)易知 k2>2,且 a>0,∴2k2+a-1>a>0,∴Δ2>0 恒成立. 设 A(xA,yA),B(xB,yB),P(xP,yP),Q(xQ,yQ),则 xA+xB=k,yA+yB=kxA +1+kxB+1=k(xA+xB)+2=k2+2. k k2 ∴线段 AB 的中点 R 的坐标为(2, 2 +1). 又 xP+xQ=- 4k ,y +y =kxP+1+kxQ+1 a+2k2 P Q 2a . a+2k2

=k(xP+xQ)+2=

-2k a ∴线段 QP 的中点 S 的坐标为( , ). a+2k2 a+2k2 → → → → -2k k k2 a ∴OR=(2, 2 +1),OS=( OS 2, 2),由OR· =0, a+2k a+2k k2 -k2+a? 2 +1? k2 得 =0,即-k2+a( 2 +1)=0. a+2k2 2k2 ∴a= 2 . k +2 1 2k2 2 2 2k2 4 ∵k2> ,∴a= 2 = > ,a= 2 =2- 2 <2. 2 2 5 k +2 k +2 k +2 1+k2 2 ∴5<a<2.由题易知,椭圆 E 的离心率 e= 4 2 5 2e2<2,∴0<e2<5,∴0<e< 5 . 2 5 ∴椭圆 E 的离心率的取值范围是(0, 5 ). 2-a 2 2 2 ,∴a=2-2e ,∴5<2-


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