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广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学(理)试题 Word版含答案


2013 届 广东省六校第二次联考 理科数学试题
命题:中山纪念中学
六校分别为:广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中 一.选择填空(本大题共 8 小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的) 1.复数
i?2 1 ? 2i ?

( B. ? i
2 ? ) 0 a ?



A. i
( 1 ) 2. a ? 1 ” “ ( a ? “ 是

C. ? ” 成立的

4 5

?

3 5

i

D. ?

4 5

?

3 5

i


B . 必要非充分条件



A . 充分非必要条件
C . 充要条件

D . 既不充分也不必要条件 ??? ? ??? ? 3. ? O A B ,点 P 在边 A B 上, A B ? 3 A P ,

O

??? ? ??? ? ? ??? ? ? 设 O A ? a , O B ? b ,则 O P ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? A. a? b B. a? b 3 3 3 3
1 ? 2 ? a? b 3 3 2 ? 1 ? a? b 3 3





a A P

b B

C.

D.

4. 2 lo g 5 1 0 ? lo g 5 0 .2 5 ?
A. 0
B. 1 C. 2 D. 4





5.把函数 y ? s in ( x ? 的
1 2 A. ? ? 1 2 , ? ? ?

?
3

) 图象上所有点向右平移

?
3

个单位, 再将所得图象的横坐标变为原来 )
2? 3

倍(纵坐标不变) ,得图象的解析式是 y ? sin ( ? x ? ? ) ( ? ? 0, ? ? ? ) ,则(
?
3 B. ? ? 2, ? ?

?
3

C . ? ? 2, ? ? 0

D . ? ? 2, ? ?

6. 在 ? A B C 中, b ? 5, ? B ?
A. 1 0 2

?
4

, ta n A ? 2 ,则 a 的值是
C. 10





2 ??? ? 7. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 A (3, 4 ) ,将向量 O A 绕点 O 按逆时针 ??? ? 2? 方向旋转 后得向量 O B ,则点 B 的坐标是 ( ) 3
B. 2 10
A. ( ? C . (? 3 2 3 2 ? 2 3, ?2? ? 2 3, ?2? 3 2 3 2
O 1 x

3) 3)

B. (?

3 2

? 2 3,

?2?

3 2

3)

y A

D . ( ? 4, 3)

B

8. 已知实数 a、 b 满足等式 2 ? 3 ,下列五个关系式:① 0 ? b ? a
a b

② a?b?0 ( )

③ 0?a?b A. 1 个

④ b?a?0

⑤ a ? b ? 0 , 其中有可能成立的关系式有

B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9.已知命题 p : ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0, 则命题 ? p 是______________________.
2

?3 ? 10. 已知函数 f ( x ) ? ? x ? lo g x 3 ?

( x ? 3) (0 ? x ? 3

若关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有两个不同的实根, 则

实数 k 的取值范围是__________________. 11. 等比数列 { a n } 中,若 a 1 ?
1 2 , a 4 ? ? 4 ,则 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

12. 如图,在边长为 2 的菱形 A B C D 中, ? B A D ? 6 0 , E 为 C D 的中点, 则 AE ? BD ? ___________ .
A
??? ???? ?
?

D

E C

B

13. 已知函数 y ? x ? 3 x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3 3 2 14. 对于三次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? cx ? d ( a ? 0 ), 给 出 定 义 : 设 f ? ( x ) 是 函 数 y ? f ( x )

的导数,f ?? ( x ) 函数 f ? ( x ) 的导数, 若方程 f ?? ( x ) ? 0 有实数解 x 0 , 则 称 点 ( x 0 , f ( x 0 )) 为 函数 y ? f ( x ) 的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”; 任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数
f (x) ? 1 3 x ?
3

1 2

x ? 3x ?
2

5 12

,请你根据上面探究结果,解答以下问题:
5 12 3 2013

(1)函数 f ( x ) ? (2)计算 f (
1

1 3

x ?
3

1 2

x ? 3x ?
2

的对称中心坐标为
)?? ? f ( 2012 2013 )=

______



)? f(

2 2013

)? f(

__________ .

2003

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? co s x ? sin x ? sin 2 x
2 2

(1)求 f ( x ) 的最大值和最小正周期;
?
2

(2)设 ? , ? ? [ 0 ,

], f(

?
2

?

?
8

)?

5 2

, f(

?
2

??)?

2 ,求 sin (? ? ? ) 的值

16. (本小题满分 12 分) 已知 a ? (sin ? , co s ? ) 、 b ? ( 3 ,1) (1)若 a // b ,求 tan ? 的值; (2)若 f (? ) ? a ? b , ? A B C 的三个内角 A , B , C 对应的三条边分别为 a 、 b 、 c ,且
a ? f (0) , b ? f (?

?

?

?

?

?

?

?
6

) ,c ? f (

?
3

??? ???? ? ) ,求 A B ? A C 。

17. (本小题满分 14 分) 设 ? a n ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,且 a 5 , a 3 , a 4 成等差数列. (1)求数列 ? a n ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , S k ? 2 ,
Sk , S k ? 1 成等差数列.

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x 2 , g ? x ? ? x ? 1 . (1)若 ? x ? R ,使 f ? x ? ? b ? g ? x ? ,求实数 b 的取值范围;
? (2) F ?x ? ?f x? ?mg x ? ? m1 m 设 ? ? ?
2

,且 F ? x ? 在 ? 0 , 1 ? 上单调递增,求实数 m 的取值范

围.

19.(本小题满分 14 分)
3 2 已知三次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? cx ? d ( a、 b、 c、 d ? R ) 为奇函数,且在点 (1, f (1))

的切线方程为 y ? 2 x ? 2 . (1) 求函数 f ( x ) 的表达式. (2) 求曲线 y ? f ( x ) 在点 M ( x 0, f ( x 0 )) 处的切线方程,并求曲线 y ? f ( x ) 在点
M ( x 0, f ( x 0 )) 处的切线与曲线 y ? f ( x ) 围成封闭图形的面积.

(3) 如果过点 ( 2 , t ) 可作曲线 y ? f ( x ) 的三条切线,求实数 t 的取值范围;

20. (本小题满分 14 分) 设 a ? 0, 函数 f ( x ) ?
1 x ?a
2

.
1 a ) ,使 f ( x 0 ) ? x 0 ;
*

(1)证明:存在唯一实数 x 0 ? (0 ,

(2)定义数列 { x n } : x1 ? 0, x n ? 1 ? f ( x n ), n ? N

① 对(1)中的 x 0 ,求证:对任意正整数 n 都有 x 2 n ? 1 ? x 0 ? x 2 n ; ② 当 a ? 2 时,若 0 ? x k ?
xm ? k ? xk ? 1 3?4
k ?1

1 2

( k ? 2 , 3, 4 , ? ) ,证明:对任意 m ? N 都有
*

2013 届高三六校第二次联考(理科)数学试题
参考答案及评分标准
命题: 中山纪念中学 纪希刚 审题:梁世峰

第Ⅰ卷选择题(满分 30 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. A 2. A 3. B 4. C 5. C 6. B 7. B 8. C

第Ⅱ卷非选择题(满分 100 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0
2

10. (0, 1) 11. 2
n ?1

?

1 2

12. 1 13. c ? ? 2

(答对一个不得分)
1 2

14. 对称中心 ( , 1) ……3 分; 2012………2 分 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 解:(1)? f ( x ) ? c o s 2 x ? sin 2 x ?
? 2 s in ( 2 x ?

2(

2 2

cos 2 x ?

2 2

sin 2 x ) …………………1 分

?
4

) ………………………3 分

且 x ? R ? f ( x ) 的最大值为 2 …………………………4 分 最小正周期 T ?
?
2 ? 2? 2 ? ? ……………………………………5 分

(2)? f (

?
8

)?

2 sin ( 2 (

?
2

?

?
8

)?

?
4

)?

2 sin (? ?

?
2

) …………………6 分

?

2 c o? ? s

5 2

,? c o s ? ?

10 4

…………………7 分

又? ? ? [ 0 ,
?
2

?
2

] ,? s in ? ?

6 4

…………………8 分
?
4 )? 2 sin ( ? ?

? f(

??)?

2 sin ( 2 (

?
2

??)?

?
4

? 2 ? ) …………………9 分

?

2 sin ( ? ?

?
4

)?

2 …………………10 分

又? ? ? [0 ,

?
2

],? ? ?

?
4

?[

?
4

,

3? 4

],? ? ?

?
4

?

?
2

? ? ?

?
4

…………………11 分
3? 4 5

sin (? ? ? ) ? sin (? ?

?
4

) ? sin ? ? c o s

?
4

? c o s ? ? sin

?
4

?

…………………12 分

16. (本小题满分 12 分) 解:(1)? a // b ,? sin ? ?
? sin ? ?
? ? ? ? 3 co s ? ? 0 …………………2 分

3 co s ? ? tan ? ?

3 …………………4 分

(2)? a ? b ? (sin ? ?
? ? ? a?b ? (sin ? ?
2

3 , co s ? ? 1) …………………5 分
2

3 ) ? (c o s ? ? 1) …………………6 分

?

5 ? 2 3 sin ? ? 2 c o s ? ?

5 ? 4 sin (? ?

?
6

) …………………7 分

? a ? f (0 ) ?

5 ? 4 s in

?
6

?

7 …………………8 分

? b ? f (?

?
6

)?

5 ? 4 s in 0 ?

5 …………………9 分

?c ? f(

?
3

)?

5 ? 4 s in

?
2

? 3 …………………10 分
b ?c ?a
2 2 2

由余弦定理可知: c o s A ?

?

7 5 30

…………………11 分

2bc

??? ???? ? ??? ???? ? 7 ? A B ? A C ? A B A C c o s A ? b c c o s A ? …………………12 分 (其它方法酌情给分) 2

17. (本小题满分 14 分) 解:(1)设数列 ? a n ? 的公比为 q ( q ? 0, q ? 1 ). 由 a 5, a 3, a 4 成等差数列,得 2 a 3 ? a 5 ? a 4 ,即 2 a 1 q ? a 1 q ? a 1 q .
2 4 3
2

???3 分

由 a 1 ? 0, q ? 0 得 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ? 2 , q 2 ? 1 (舍去),所以 q ? ? 2 .?7 分 (2)证法一:对任意 k ? N ? ,
S k ? 2 ? S k ?1 ? 2 S k ? ? S k ? 2 ? S k ? ? ? S k ?1 ? S k

?

? a k ?1 ? a k ? 2 ? a k ?1

? 2 a k ?1 ? a k ?1 ? ? ? 2 ? ? 0 ,

所以,对任意 k ? N ? , S k ? 2 ,

Sk ,

S k ? 1 成等差数列.
k

???14 分

证法二:对任意 k ? N ? , 2 S k ?
a1 ?1 ? q 1? q
k?2

2 a1 ?1 ? q 1? q
k ?1

?


k?2

???9 分
?q
k ?1

S k ? 2 ? S k ?1 ?

?

?

a1 ?1 ? q 1? q

?

?

a1 ? 2 ? q

?

1? q



???12 分

2 S k ? ? S k ? 2 ? S k ?1 ? ?

2 a1 ?1 ? q 1? q
a1

k

?

?

a1 ? 2 ? q

k?2

?q

k ?1

?

1? q

?

? 2 ?1 ? q k ? ? ? 2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ? ? ? 1? q ?

?

a1 q

k

1? q

?q

2

? q ? 2? ? 0 ,

因此,对任意 k ? N ? , S k ? 2 ,

Sk ,

S k ? 1 成等差数列。

?????14 分

18. (本小题满分 14 分) 解(1)解:由 ? x ? R , f
2

? x ? ? b g ? x ? ,得 ? x ? R ,使 x

2

? b x ? b ? 0 ,???3 分
???7 分 ???10 分

所以, ? ? ? ? b ? ? 4 b ? 0 ? b ? 0 或 b ? 4 ; (2)解:由题设得 F ? x ? ? x ? m x ? 1 ? m
2 2

?m ? 0 ? ?? 2 或? ? f (0 ) ? 1 ? m 2 ? 0 ?
? ?1 ? m ? 0 或 m ? 2

?m ?1 ? ? 2 ? f (0 ) ? 1 ? m 2 ? 0 ?

??? 13 分

???14 分

19. (本小题满分 14 分) (1)解: f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 ? b x ? d ? 0 恒成立? b ? d ? 0 ? f ( x ) ? a x ? cx
2 3 2 又 f ? ( x ) ? 3 a x ? c ? 在点 (1, f (1)) 的切线方程为 y ? (3 a ? c )( x ? 1) ? a ? c ,即

?3a ? c ? 2 y ? (3 a ? c ) x ? 2 a ? ? ? ??2a ? ?2

?a ? 1 3 ? f (x) ? x ? x ? c ? ?1 ?

……… 5 分

2 (2)解:设切点为 ( x 0 , f ( x 0 )) , f ? ( x ) ? 3 x ? 1 则切线方程是:

y ? (3 x 0 ? 1)( x ? x 0 ) ? ( x 0 ? x 0 ) ,
2 3

????7 分
3 2 3

令 x ? x ? (3 x 0 ? 1)( x ? x 0 ) ? ( x 0 ? x 0 ) 得 x ? 3 x 0 x ? 2 x 0 ? 0
3

2

3

? ( x ? x 0 ) ( x ? 2 x 0 ) ? 0 所以曲线与切线的另一公共点的横坐标是 ? 2 x 0 ?9 分
2

x0 ? 0 时 S ?

?

x0 ? 2 x0

( x ? 3 x0 x ? 2 x0 )d x ? (
3 2 3

1 4

x ?
4
x0 ? 2 x0

3 2
3

x0 x ? 2 x0 x )
2 2 3

x0 ? 2 x0

?

27 4 27 4

x0

4

x0 ? 0 时 S ? ? ?

? 2 x0 x0

( x ? 3 x0 x ? 2 x0 )d x ?
3 2 3

?

( x ? 3 x0 x ? 2 x0 )d x ?
2 3

x0

4

x 0 ? 0 时, 切线与曲线恰有一个公共点,S ? 0 ?

27 4

x 0 (此步不扣分) 综上: 曲线 y ? f ( x )
4

在点 M ( x 0, f ( x 0 )) 处的切线与曲线 y ? f ( x ) 围成封闭图形的面积
S ? 27 4 x0
4

( x0 ? R ) .

……… 10 分

(3)解: 令切线过 ( 2, t ) ,代入整理得:
2 x0 ? 6 x0 ? t ? 2 ? 0
3 2 3 2

关于 x 0 有三个不同的解; …?? 2 分

设 g ( x ) ? 2 x ? 6 x ? t ? 2 即 g ( x ) 有三个不同的零点;

又 g ? ( x ) ? 6 x ( x ? 2 ) ? x ? (0, 2 ) 时 g ? ( x ) ? 0 ? g ( x ) 递减; x ? ( ? ? , 0 ) ? ( 2, ? ? )
? g (0 ) ? t ? 2 ? 0 g ? ( x ) ? 0, g ( x ) 在区间 ( ? ? , 0 )、2, ? ? ) 上分别递增,故 ? ( ? g (2) ? t ? 6 ? 0
? ?2 ? t ? 6

??? 14 分

20. (本小题满分 14 分) (1)解:有 f ( x ) ?
1 x ?a
2 2

? x ? x ? ax ? 1 ? 0 令 g ( x) ? x ? ax ? 1
3

3

由 g ? ( x ) ? 3 x ? a ? 0 , g (0 ) ? ? 1 ? 0 , g ( ) ?
a x 0 ? (0 , 1 a ) ,使 f ( x 0 ) ? x 0 ;

1

1 a
3

? 0 所 以 有 且 只 有 一 个 实 数

??????5 分

(1) (Ⅰ)(数学归纳法)先证: x 2 n ? 1 ? x 0 ? x 2 n 证明: ① x1 ? 0 , x 2 ?
1 a ? x 0 ? ( x1 , x 2 ) ; 1 x ?a
2

② 假设 x 2 k ?1 ? x 0 ? x 2 k ( k ? 1) 由 f ( x ) ?

递减性得:

f ( x 2 k ? 1 ) ? f ( x 0 ) ? f ( x 2 k ), ( k ? 1) 即 x 2 k ? x 0 ? x 2 k ? 1 ( k ? 1)

又 f ( x 2 k ) ? f ( x 0 ) ? f ( x 2 k ?1 ) 所以 n ? k ? 1 时命题成立

? x 2 k ?1 ? x 0 ? x 2 k ? 2
*

所以 x 2 n ? 1 ? x 0 ? x 2 n 对 n ? N 成立.???? 9 分
1 x ?2
2

(2)(Ⅱ)解:当 a ? 2 时, f ( x ) ?
x2 ? x 1 ? 1 2 , x 3? x 1 2 1 ? 1 18

为减函数,且 x1 ? 0 , x 2 ?

1 2

, x3 ?

4 9

2

由 0 ? xk ?

( k ? 2 , 3, 4 , ? )

x k ?1 ? x k ?

1 xk ? 2
2

?

1 x k ?1 ? 2
2

?

( x k ? x k ?1 ) x k ? x k ?1 ( x k ? 2 )( x k ? 1 ? 2 )
2 2

? x k ?1 ? x k ?

1 k ?2 1 k ?2 1 1 k x k ? x k ?1 ? ( ) x3 ? x 2 ? ( ) ? ? ( ) 4 4 4 18 4

x m ? k ? x k ? x m ? k ? x m ? k ?1 ? x m ? k ?1 ? x m ? k ? 2 ? ? ? x k ? 1 ? x k
1 k 1 k ?1 1 k ? m ?1 1 ? ( ) ?( ) ?? ? ( ) ? k ?1 4 4 4 3?4

??????14 分


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