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新课标2014届高三上学期第2次月考数学文试题


2013—2014 学年度上学期高三一轮复习 数学(文)单元验收试题(2) 【新课标】
命题范围:函数 说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分;答题时间 120 分钟。 第Ⅰ卷 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的 括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 1. (2013 年

高考重庆卷(文) )函数 y ? A. ( ??, 2) B. (2, ??)

1 的定义域为( ) log 2 ( x ? 2) C. (2,3) ? (3, ??) D. (2, 4) ? (4, ??)


2. (2013 年湖北(文) x 为实数, [ x] 表示不超过的最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在上为( ) A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数 3. (2013 年高考山东卷 (文) 已知函数 f (x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? ) A.2
x

1 ,则 f (?1) ?( x



B.1

C.0 )

D.-2

4.函数 f ( x) ? e ? x ? 2 的零点所在的区间是( A. (0, )

1 1 B. ( ,1) C. (1,2) D. (2,3) 2 2 5.函数 f ( x) ? log 2 ( x ?1 ?1) 的值域为( ) A.R B. (0, ??) C. (??,0) ? (0, ??) D. (??,1) ? (0, ??)
6. (2013 年高考辽宁卷(文) )已知函数 f ? x ? ? ln A. ?1 B. 0

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ( ? 2?
D.

?



7.下列函数 f ? x ? 中,满足“对任意的 x1 , x2 ? ? 0, ??? ,当x1 ? x2 时,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ”的是( A. f ? x ? ?

C.



1 x

B. f ? x ? ? x ? 4x ? 4
2

C. f ? x ? ? 2

x

D. f ? x ? ? log 1 x
2

? 1 2 ? x , x ? 0, 8.已知函数 f ( x) ? ? 则 f [ f (?4)] ? ( ) 1 ?( ) x , x ? 0, ? 2 1 1 A. ? 4 B. C. ? D. 4 4 2 9. (2013 年高考福建卷(文) )函数 f ( x) ? ln( x ? 1) 的图象大致是( )

A. 10.若曲线 y ? x A.64
1 ? 2

B.
1 ? 2

C.

D. )

在点 ? a, a

? ?

? ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? ( ?
C.16 D.8

B.32

第 1 页

共 8 页

11.已知函数 f ( x ) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ??? 则下列结论正确的( ) 2 3 4 2013 A. f ( x ) 在 (0,1) 上恰有一个零点 B. f ( x ) 在 (0,1) 上恰有两个零点 C. f ( x ) 在 ( ?1,0) 上恰有一个零点 D. f ( x ) 在 ( ?1,0) 上恰有两个零点

12. (2013 年高考辽宁卷 (文) 已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 , g ? x ? ? ?x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 ? 8. 设 )

H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ??, H2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ??, ? max ? p, q?? 表示 p, q 中的较大
值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最小值为,则 A ? B ? ( A. a ? 2a ? 16
2



B. a ? 2a ? 16
2

C. ?16

D. 16

第Ⅱ卷 二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 13.若 f ? x ? 是上的奇函数,则函数 y ? f ( x ? 1) ? 2 的图象必过定点 14 . 设 函 数 f ? x ? ? x ? 。

1 , 对 任 意 x ? [1,??), f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 x

是 。 15 . 2013 年 高 考 安 徽 ( 文 ) 定 义 在 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ) . 若 当 0 ? x ? 1 ( ) 时. f ( x) ? x(1 ? x) ,则当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) = 16. 给出定义: m ? 若 .

1 1 < x ? m + (其中为整数),则叫做离实数最近的整数,记作 {x} ,即 {x = m . 在 } 2 2

此基础上给出下列关于函数 f (x)=x ? {x} 的四个命题: ① y =f (x ) 的定义域是,值域是 ( ?

1 1 , ] ;②点 (k ,0) 是 y =f (x ) 的图像的对称中心,其中 k ? Z ;③ 2 2 1 3 , ] 上是增函数. 2 2

函数 y =f (x ) 的最小正周期为;④ 函数 y =f (x ) 在 ( ? 则上述命题中真命题的序号是 .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 76 分)。

1? x (0 ? a ? 1) . 1? x (1)求函数 f ( x ) 的定义域,并判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)用定义证明函数 f ( x ) 在上是增函数;
17. (12 分)已知函数 f ( x) ? log a (3)如果当 x ? (t , a) 时,函数 f ( x ) 的值域是 ? ??,1? ,求与的值.

2 2 18. (12 分) (2013 年高考安徽(文) )设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a ) x ,其中 a ? 0 ,区间 I ? ? x | f ( x) ? 0? .

(Ⅰ)求的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ; (Ⅱ)给定常数 k ? ? 0,1? ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求长度的最小值.

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19. (12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2mx ? 2, x ? [?5,5] (1)当 m ? ?2 时,求 f (x) 的最大值和最小值; (2)求实数的取值范围,使 y ? f (x) 在区间 [?5,5] 上是单调函数; (3)在(1)的条件下,设 g ( x) ? f ( x) ? n ? 5 ,若函数 g (x) 在区间 [0,4] 上有且仅有一个零点,求实数的 取值范围.

20 . 12 分 ) 设 函 数 f ( x) ? x ? (

a 定义 域 为 ( 0, ? ? ) , 且 x

f (2) ?

(1)写出 f ?x ? 的单调递减区间(不必证明) ; (2) 设点的横坐标 x0 , M 点的坐标 求 (用 x0 的代数式表示) ; (3)设为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.

N y ? x 和轴的垂线,垂足分别为 M 、 .

5 .设点是函数图像上的任意一点,过点分别作直线 2

21. (12 分)定义在 R 上的单调函数 f ?x ? 满足 f ? 3? ? log2 3 且对任意 x, y ? R 都有

f ? x ? y ? ? f ( x) ? f ( y) .
(1)求证 f ?x ? 为奇函数;
x x x (2)若 f k ? 3 ? f (3 ? 9 ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

?

?

22. (14 分) (2013 年高考江西卷(文) )设函数错误!未找到引用源。 a 为 常数且 a∈(0,1). ,

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(1) 当 a=错误!未找到引用源。时,求 f(f(

1 错误!未找到引用源。)); 3

(2) 若 x0 满足 f(f(x0))= x0,但 f(x0)≠x0,则称 x0 为 f(x)的二阶周期点,证明函数 f ( x ) 有且仅有两个二 阶周期点,并求二阶周期点 x1,x2; 2 (3) 对于(2)中 x1,x2,设 A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a ,0),记△ABC 的面积为 s(a),求 s(a)在区 间[

1 1 , 错误!未找到引用源。]上的最大值和最小值。 3 2

第 4 页

共 8 页

参考答案 一、选择题 1.C;2.D;3.D;4.A;5.C;6.D;7.C;8.B;9.A;10.A;11.C;12.C; 二、填空题 13. (?1,?2) ;14. m ? ?1 ;15. f ( x) ? ? 三、解答题 17.解: (1)令

x( x ? 1) ;16.①③; 2

1? x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 , D ? ? ?1,1? 1? x
?1

1? x ? 1? x ? ? 1? x ? 对任意 x ? D, f (? x) ? log a ? log a ? ? ? ? loga ? ? ? ? f ( x) 1? x ? 1? x ? ? 1? x ? 所以函数 f ( x ) 是奇函数. 1? x ? 1? x ? 另证:对任意 x ? D, f (? x) ? f ( x) ? log a ? log a ? ? ? log a 1 ? 0 ,所以函数 f ( x) 是奇函数. 1? x ? 1? x ? (2)设 x1 , x2 ? (?1,1), 且x1 ? x2 , 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a ? log a ? log a ( ? ) ? log a 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )
∴ 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? [1 ? x1x2 ? ( x2 ? x1 )] ? 2( x2 ? x1 ) ? 0 ∴ 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? [1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )] ? 0 ∴

1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ?1 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )

∵0 ? a ?1

∴ log a

1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ?0 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以函数 f ( x ) 在上是增函数. (3)由(2)知,函数 f ( x ) 在 ? ?1,1? 上是增函数, 又因为 x ? (t , a) 时, f ( x ) 的值域是 ? ??,1? , 所以 (t , a) ? (?1,1) 且 g ( x ) ? 故 g (a ) ?

1? a ? a 且 t ? ?1 (结合 g ( x) 图像易得 t ? ?1 ) 1? a a 2 ? a ? 1 ? a 解得 a ? 2 ? 1( ? 2 ? 1 舍去)

1? x 在 (t , a) 的值域是 (a, ??) , 1? x

所以 a ?

2 ? 1, t ? ?1 18.解::(1)令 f ( x) ? x ? a ( ? a 2)x ? ? 0 ? -1 ?
解得 x1 ? 0 (2) k ? ? 0,1?

a a a ? ? ? I 的长度 x2 - x1 ? ? I ? ?x | 0 ? x ? 2 2? 1? a 1 ? a2 1? a ? ? a 则 0 ? 1 ? k ? a ? 1 ? k ? 2 由 (1) I ? 1 ? a2 x2 ?

I'?

1 ? a2 ? 0 ,则 0 ? a ? 1 故关于在 (1 ? k ,1) 上单调递增,在 (1,1 ? k ) 上单调递减. (1 ? a 2 ) 2

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共 8 页

I1 ?

1- k 1 ? ?1- k ?
2

?

1? k 1- k I2 ? 2 2 1 ? 1 ? k) ( 2 ? 2k ? k

I min ?

1- k 2 ? 2k ? k 2

19.解:(1) f ( x) ? ( x ? 2) 2 ? 2 ,? x ? [?5,5] 。 ? x ? [?5,2] ↙ x ? [2,5] ↗ ,? f ( x) max ? f (?5) ? 47 。

f ( x) min ? f (2) ? ?2 。
(2) f ( x) ? ( x ? m) 2 ? 2 ? m 2 , 当 ? m ? ?5 ,即 m ? 5 时,

f ( x)在[?5,5] ↗



当 ? m ? 5 ,即 m ? ?5 时, f ( x)在[?5,5] ↙ ; ∴的范围为 (??,?5] ? [5,??) 。 (3) g ( x) ? x 2 ? 4x ? 3 ? n ? ( x ? 2) 2 ? 7 ? n 。

g ( x)在[0,4] 上有且只有一个零点 ,? ? ? 0 ,? n ? 7 。

。 20.解: 、因为函数 f ( x) ? x ? (1) 是减函数. (2)(理)设 P? x0 , x0 ? 、 ?

5 5 a a 的图象过点 A(2, ) ,所以 ? 2 ? ? a ? 1 函数 f ( x ) 在 (0,1) 上 2 2 2 x

? ?

? 1? 1? ? ,直线 PM 的斜率 ? 1 ,则 PM 的方程 y ? ? x0 ? ? ? ??x ? x0 ? 。 ? ? x0 ? x0 ? ? ? ? ? 1? ? 、 N ? 0, x0 ? ? ? ? x0 ? ? ? ?

?y ? x ? 1 1 ? 联立 ? , x0 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? , M ? x 0 ? ? 2 x0 2 x0 ? ? y ? ? x0 ? x ? ? ? 0 ? ? ?

?1 1 1? PA ? ? ,? ?, PB ? ?? x0 ,0? ,? PA ? PB ? ? ?x ? 2 ? 0 x0 ? ? ? 1? 1? ? , ? ? ??x ? x0 ? 。 (2) 、 (文) P? x0 , x0 ? 设 ? 直线 PM 的斜率为 ? 1 , PM 的方程 y ? ? x0 ? 则 ? x0 ? x0 ? ? ? ? ?
?y ? x ? 1 1 ? 联立 ? , x0 ? ? 1 ? ? ?? x ? x 0 ? , M ? x 0 ? ? 2 x0 2 x0 ? ? y ? ? x0 ? x ? ? ? 0 ? ? ?
3、

? ?; ? ?

PM ?

∴ S ?OPM

? 1 ? ?; 2 ? x0 ? ? 2 x0 ? 2 2 x0 ? ? ? ? ? 1 1 ? 1 1? 1 1? ?? ? ? 2 ? ? x0 ? ? ? ? 1? , N ? 0, x0 ? ? 2 ? ? ? 2 2 x0 ? 2 x0 2 ? 2 x0 x0 ? ? ? ? ? ? ? ? 1
、 OM ?

x0 ? y 0

第 6 页

共 8 页

S ?OPN ?

1 ? 1? 1 2 1 ? ? x0 ? ? ? x0 ? x0 ? , 2 ? x0 ? 2 2 ? ? 1 2 1 ∴ S OMPN ? S ?OPM ? S ?OPN ? ( x0 ? ) ? 1, 2 2 2 x0
当且仅当 x 0 ?
4

S OMPN ? 1 ?

2 , 2

1 时,等号成立. 2
2 . 2



此时四边形 OMPN 面积有最小值 1 ?

21.解:(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R), ① 令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令 y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又 f(0)=0, 则有 0=f(x)+f(-x).即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立, 所以 f(x)是奇函数. (2)解: f ? 3? ? log2 3 >0,即 f(3)>f(0),又 f ?x ? 在 R 上是单调函数, 所以 f ?x ? 在 R 上是增函数 又由(1)f(x)是奇函数.f(k·3 )<-f(3 -9 -2)=f(-3 +9 +2), ∴ k·3 <-3 +9 +2,3
x x x x

x

x

x

x

x

2x

-(1+k)·3 +2>0 对任意 x∈R 成立.
2

x

令 t=3 >0,问题等价于 t -(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立.

R 恒成立. 22.解:(1)当 a=

1 1 2 1 2 2 2 时, f ( )= , f ( f ( )) ? f ( ) ? 2(1 ? ) ? 2 3 3 3 3 3 3

第 7 页

共 8 页

?1 2 ? a 2 x, 0 ? x ? a ? ? 1 (a ? x), a 2 ? x ? a ? a(1 ? a ) ? ( 2) f ( f ( x)) ? ? ? 1 2 ( x ? a), a ? x ? a 2 ? a ? 1 ? (1 ? a ) ? ? 1 (1 ? x), a 2 ? a ? 1 ? x ? 1 ? ? a(1 ? a ) 1 2 当 0 ? x ? a 时,由 2 x ? x 解得 x=0,由于 f(0)=0,故 x=0 不是 f(x)的二阶周期点; a a 1 2 (a ? x) ? x 解得 x ? 2 当 a ? x ? a 时由 ? (a 2 , a), ?a ? a ? 1 a(1 ? a) a 1 a 1 a )? ? 2 ? 2 ? 2 因 f( 2 ?a ? a ? 1 a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1
故x?

a 是 f( ?a ? a ? 1
2

x)的二阶周期点;

1 1 ( x ? a) ? x 解得 x ? ? (a, a2 ? a ? 1) 2 2?a (1 ? a) 1 1 1 1 1 )? ? (1 ? )? 因 f( 故x? 不是 f(x)的二阶周期点; 2 ? a 1? a 2?a 2?a 2?a 1 1 2 (1 ? x) ? x 解得 x ? 2 当 a ? a ? 1 ? x ? 1时, ? (a 2 ? a ? 1,1) ?a ? a ? 1 a(1 ? a) 1 1 1 a 1 )? ? (1 ? 2 )? 2 ? 2 因 f( 2 ?a ? a ? 1 1 ? a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 1 故x? 是 f(x)的二阶周期点. 2 ?a ? a ? 1 a 1 因此,函数 f ( x ) 有且仅有两个二阶周期点, x1 ? , x2 ? . 2 2 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 a a 1 1 , 2 ), B( 2 , 2 ) (3)由(2)得 A( 2 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 1 a 2 (1 ? a) 1 a(a3 ? 2a 2 ? 2a ? 2) ?(a) ? ? 则 s (a) ? ? ,s 2 ?a 2 ? a ? 1 2 (?a 2 ? a ? 1)2 1 因为 a 在[ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 ] 内 , 故 s?(a) ? 0 , 则 3 1 1 s(a)在区间[ , ]上单调递增, 3 2 1 1 1 1 1 1 故 s (a)在区间[ , ]上最小值为s( )= ,最大值为s( )= 3 2 3 33 2 20
当 a ? x ? a ? a ? 1 时,由
2

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