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2013--2014高三数学第一次月考试卷试卷与答案


2013---2014 长乐侨中高三数学(理)第一次月考试卷 命题:高三数学集备组
一:选择题(5 分*10=60 分)
2 1. 已知集合 M ? y y ? x ? 1, x ? R , N ? x y ?

?

?

?

x ? 1 ,则 M ? N ? (
D.

?



A. ?0, 1?
2

B.

??0,1??
2

C.

?x x ? ?1?
2

?y y ? 1?
( )

2“若 b ? 4ac ? 0 ,则 ax ? bx ? c ? 0 没有实根” ,其否命题是
2

A.若 b ? 4ac ? 0 则 ax ? bx ? c ? 0 没有实根 B. 若 b ? 4ac ? 0 则 ax ? bx ? c ? 0 有实根 2 2 2 C.若 b2 ? 4ac ? 0 则 ax ? bx ? c ? 0 有实根 D.若 b ? 4ac ? 0 则 ax ? bx ? c ? 0 没有实根
2 2

3.集合 M ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | x ? a} ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范围 是( )
2

A. [3,??)

B. (3,??)
2

C. (??,?1]

D. (??,?1) ( )

4. “ a ? 0 ”是“方程 ax ? 2x ? 1 ? 0 有一正一负根”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.下列函数中,与函数 y ? x 相同的函数是 ( )

( A) y ?

x2 x

( B) y ? ( x ) 2
x 2

(C ) y ? lg10 x
)

( D) y ? 2

log 2 x

6. 下列区间中,函数 f (x)=e +x ? A、0 B、1
2

3 的零点个数为( 2
D、3

C、2

7.若函数 f ( x) ? A. ? ??, ?? ?

x?4 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是( mx ? 4mx ? 3
B. ? 0,

)

? ?

3? ? 4?

C. ?

?3 ? , ?? ? ?4 ?

D. ? 0,

? 3? ? ? 4?

8. f (x) 是定义在 ?? 2,2? 上单调递减的奇函数,当 f (2 ? a) ? f (2a ? 3) ? 0 时, a 的取值
范围是: ( )

A. ?0,4 ?

? 5? B. ? 0, ? ? 2?

?1 5? C. ? , ? ?2 2?

? 5? D. ?1, ? ? 2?

?(a ? 2) x, x ? 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ?0成 9.已知函数 f ( x) ? ? 1 x 满足对任意的实数 x1 ? x 2 都有 ( ) ? 1, x ? 2 x1 ? x 2 ? 2 ?
立,则实数 a 的取值范围为( A. (??,2) B. (??, ) C. (??,2] D. [

13 ] 8

13 ,2) 8

xax 10. 函数 y= (0<a<1)的图象的大致形状是( |x|

)

二:填空题(4 分*5=20 分) 11.已全集 U ? R ,集合 A ? x 0 ? 2 ? 1 , B ? x log 3 x ? 0 , 则A ? ? CU B ? ?
x

?

?

?

?

.

12. 若函数 f ? x ? ? ?

? ?x ?cos , x ? 1 则 f ? f ?2?? ? 3 ? log 2 x, x ? 1 ?

.

1 13. 命题 p:2+2x-3>0, x 命题 q: >1, q 且 p 为真, x 的取值范围是________________. 若 则 3-x 14.若函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 是偶函数,则函数 y ?
2

f ( x) 的最小值为_________. | x|

15.定义在(-∞,+∞)上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且 f(x)在[-1,0]上是增函数, 下面五个关于 f(x)的命题中:①f(x)是周期函数;②f(x)图象关于 x=1 对称;③f(x)在[0,1]上是 增函数;④f(x)在[1,2]上为减函数;⑤f(2)=f(0).正确命题的序号是________. 三:解答题(13*4+14*2=80) 16. (本题满分 12 分) 已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7?, B ? ?x | 2 ? x ? 10?, C ? ?x | 5 ? a ? x ? a?. (1)求 A ? B , ?C R A? ? B ; (2)若 C ? ? A ? B ? ,求 a 的取值范围.

16:解 : (1) A ? B ? x 2 ? x ? 10 ? C R A ? x x ? 3或x ? 7

?

?

? ....................2分 ? ....................6分

? ......................4分 ?

? C R A ? B ? x 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10
. (2)由(1)知A ? B ? x 2 ? x ? 10

?

?

5 10 当C ? ?, 满足C ? A ? B , 此时5 ? a ? a ,? a ? .................8分 2 ?5 ? a ? a 5 ? 0 2 当C ? ?, 要C ? A ? B 则 ?5 ? a ? 2 , ? a ? 3...................11分 2 ?a ? 10 ? 综上 : a ? 3............................13分

17. (本小题满分 13 分) 给定两个命题: p :对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立; q :关于 x 的方程
x 2 ? x ? a ? 0 有实数根;如果 p 与 q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

17.解:由命题 P 得:对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立
?a ? 0 ? 0 ? a ? 4; ? a ? 0或? ?? ? 0

命题 P: 0 ? a ? 4 ??????????????????3 分 由命题 q 得:关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ? 命题 q: a ?
1 ; 4

1 ????6 分 4

?0 ? a ? 4 1 ? 如果 p 为真命题且 q 为假命题,则有 ? ; ? a ? 4 ?????8 分 1 4 ?a ? 4 ? ?a ? 0或a ? 4 ? 如果 p 为假命题且 q 为真命题,则有 ? , a ? 0 .????10 分 1 a? ? 4 ?
综上:实数 a 的取值范围为 ?? ?,0? ? ? 1 ,4 ? ??????????????13 分 ? ?
?4 ?
[来源

18. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x x ? m ( x ? R) ,且 f (1) ? 0 . (1)求 m 的值,并用分段函数的形式来表示 f (x) ; (2)在右图给定的直角坐标系内作出函数 ; f (x) 的草图(不用列表描点) (3)由图象指出函数 f (x) 的单调区间. 18.(本题满分 13 分) 解: (1)? f (1) ? 0 , ? m ? 1 ? 0, 即m ? 1 ; ???????2 分 -1 0

y

1

2

x

? f ( x) ? x x-1

????4 分

? x 2 ? x ( x ? 1) ?? 2 ;??6 分 ? ? x ? x ( x ? 1)

1 2
1 (2)函数图象如图: ??10 分 (3)函数单调区间: 递增区间: ( ??, 递减区间: [ ,1] .

x

1 ], ??) ?????????12 分 [1, 2
?????????????13 分

1 2

19. (本题满分12分)某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系
?t ? 20, 是p?? ??t ? 100, 0 ? t ? 25, t ? N , 25 ? t ? 30, t ? N .
该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数

关系是 Q ? ?t ? 40 (0 ? t ? 30, t ? N ) ,求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销 售金额最大的一天是30天中的第几天? 19 解:设日销售金额为 y(元) ,则 y=p ? Q.

? ?t 2 ? 20t ? 800, 0 ? t ? 2 5 t, ? N , ? ?y ?? 2 ?t ? 140t ? 4000, 2 5? t ? 3 0t , ? N . ? ? ?(t ? 10) 2 ? 900, 0 ? t ? 2 5 t, ? N , ? ?? 2 2 5? t ? 3 0t , ? N . ?(t ? 70) ? 900, ?
当 0 ? t ? 25, t ? N ,t=10 时, y max ? 900 (元);

(5 分)

(7 分) (9 分) (13 分)

当 25 ? t ? 30, t ? N ,t=25 时, y max ? 1125 (元) (11 分) . 由 1125>900,知 ymax=1125(元) ,且第 25 天,日销售额最大

2 ?1 , 2x ? 1 (1)判断函数 f ? x ? 的奇偶性;
20. 已知函数 f ( x) ?
x

(2)若 ?x ? (0, ??), 不等式f x 2 ? 4 ? f (ax) ? 0恒成立, 求a的取值范围. (3)求证:方程 f ? x ? ? ln x ? 0 至少有一根在区间 ?1,3 ? . 20. 证明: (1)函数 f ? x ? 的定义域为 R,且 所以 f (? x) ? f ( x) ? (1 ?
?x

?

?

2x ? 1 2 f ( x) ? x ?1 ? x , 2 ?1 2 ?1

2 2 2 2 ) ? (1 ? x ) ? 2 ? ( x ? ?x ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 x x 2 2?2 2(2 ? 1) ? 2?( x ? ) ?2? x ?2?2?0. 2 ? 1 2x ? 1 2 ?1 即 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数?????????.4 分

(2):由(1)知f ( x ) ? 1 ?

2 2 , 令u ? 2 x ? 1, y ? 1 ? (u ? 1) 2 ?1 u 2 因为u ? 2 x ? 1在( ??, ?? )为增函数,y ? 1 ? 在(1, ?? )为增函数
x

u

2 在( ??, ?? )为增函数.........6分 2 ?1 ?由f ( x 2 ? 4) ? f (ax ) ? 0得f ( x 2 ? 4) ? ? f (ax ) ? f ( ?ax )(? f ( x )为奇函数) 所以其复合函数f ( x ) ? 1 ?
x

? x 2 ? 4 ? ?ax , ?x ? (0, ?? )恒成立...........8分

x2 ? 4 4 4 4 ? ?a ? ? x ? ,? x ? ? 2 x . ? 4(当x ? 2时, 不等式取"二") x x x x ? ?a ? 4,? a的取值范围是 : a ? ?4......................10分
2x ? 1 ? ln x ????.. 11 分 2x ? 1 21 ? 1 1 23 ? 1 7 因为 g ?1? ? 1 ? ln1 ? ? 0 , g ? 3? ? 3 ? ln 3 ? ? ln 3 ? 0 ,????13 分 2 ?1 3 2 ?1 9 f ? x ? ? ln x ? 0 至少有一根在区间(1,3)上. ????14 分 所以,方程
(3)令 g ? x ? ? f ? x ? ? ln x ? 21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。 、 、 如果多做,则按所做的前两题记分,作答时,先在答题卡上把所选题目对应的题号填 入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换

?1? 已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 3 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? , 并且矩阵 M 对应的变换 ?1?
将点 (?1,2) 变换成 (9,15) . (Ⅰ)求矩阵 M. (Ⅱ)求 M.的另一个特征值和其所对应的一个特征向量。

?a b ? ?a b ? 解析:设 M= ? ? ,则 ? c d ? ?c d ? ? ?

?a ? b ? 3, ?1? ?1? ?3? ?1? =3 ?1? = ?3? ,故 ?c ? d ? 3. ? ? ? ? ? ? ?

??a ? 2b ? 9, ? a b ? ? ?1? ? 9 ? ? c d ? ? 2 ? = ?15 ? ,故 ??c ? 2d ? 15. ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 4 ? 联立以上两方程组解得 a= ?1 ,b=4,c= ?3 ,d=6,故 M= ? ?. ? ?3 6 ?
(2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选做题 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知 曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? sin ? ,
2 ? y ? 2 cos ? ? 2

(? 为参数), 曲 线 D 的 极 坐 标 方 程 为

4 2 (Ⅰ)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)判断曲线 C 与曲线 D 的交点个数,并说明
理由.

? 3 2 . ? sin(? ? ) ? ?

(2) 【解析】 (Ⅰ)由已知得 ? 消去参数 ? ,得 x 2 ? ?

? x ? sin ? ,
2 ? y ? ?2sin ? ,

??????????????1 分

y ?????????3 分 , x ? [?1,1] . 2 ? 3 2 (Ⅱ)由 ? sin(? ? ) ? ? 得曲线 D 的直角坐标方程为 x ? y ? 3 ? 0 , ???4 分 4 2 ? x ? y ? 2 ? 0, ? 由 ? 2 消去 y ,得 2 x 2 ? x ? 3 ? 0 , ????????5 分 y x ?? , ? ? 2 3 (舍去)或x ? 1. 2 故曲线 C 与曲线 D 只有一个交点.
解得 x ? ? 已知函数 f ( x) ?| x | , x ?R . (Ⅰ)解不等式 f ( x ? 1) ? 2 ; (Ⅱ)若 [ f ( x)] ? y ? z ? 9 ,试求 x ? 2 y ? 2 z 的最小值.
2 2 2

????????6 分 ????????7 分

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 解: (Ⅰ)原不等式化为 | x ? 1|? 2 ,

? x ?1 ? ?2 或 x ? 1 ? 2 ,即 x ? ?1 或 x ? 3 , ??????3 分 ?原不等式的解集为 {x | x ? ?1 或 x ? 3} . 2 2 2 (Ⅱ)由已知,得 x ? y ? z ? 9 ,
由柯西不等式,得 ( x ? 2 y ? 2 z ) ? ( x ? y ? z )(1 ? 2 ? 2 ) ? 81 ,
2 2 2 2 2 2 2

……5 分 ? x ? 2 y ? 2 z ? ?9 , y z ? ? x ? ? ? 0, 当且仅当 ? 即 x ? ?1, y ? ?2, z ? ?2 时等号成立, ……6 2 2 2 2 2 ? x ? y ? z ? 9, ? 分 所以, x ? 2 y ? 2 z 的最小值为 ?9 . ??????7 分


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