当前位置:首页 >> 数学 >>

江西省抚州市临川二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)


江西省抚州市临川二中 2015 届高三上学期第二次月考数 学试卷(文科)
一、选择题:本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的. 1.设集合 M={x|﹣ <x< },N={x|x ≤x},则 M∩N=( A.[0, ) B. (﹣ ,1] C.[﹣1, )
2

) D.

(﹣ ,0]

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:解一元二次不等式求得 N,再根据两个集合的交集的定义求得 M∩N. 解答: 解:集合 M={x|﹣ <x< },N={x|x ≤x}={x|0≤x≤1}, 则 M∩N={x|0≤x< }, 故选:A. 点评:本题主要考查一元二次不等式的解法,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题. 2.在下列区间中函数 f(x)=e +2x﹣4 的零点所在的区间为( A. B. C. (1,2)
x 2

) D.

考点:函数零点的判定定理. 专题:计算题. 分析:将选项中各区间两端点值代入 f(x) ,满足 f(a)?f(b)<0(a,b 为区间两端点) 的为答案. 解答: 解:因为 f( )= <0,f(1)=e﹣2>0,所以零点在区间( )上,

故选 B. 点评:本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题.函数零点附近函数值的 符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解. 3.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )

A.34

B.55

C.78

D.89

考点:程序框图;程序框图的三种基本逻辑结构的应用. 专题:算法和程序框图. 分析:写出前几次循环的结果,不满足判断框中的条件,退出循环,输出 z 的值. 解答: 解:第一次循环得 z=2,x=1,y=2; 第二次循环得 z=3,x=2,y=3; 第三次循环得 z=5,x=3,y=5; 第四次循环得 z=8,x=5,y=8; 第五次循环得 z=13,x=8,y=13; 第六次循环得 z=21,x=13,y=21; 第七次循环得 z=34,x=21,y=34; 第八次循环得 z=55,x=34,y=55;退出循环,输出 55, 故选 B 点评:本题考查程序框图中的循环结构,常用的方法是写出前几次循环的结果找规律,属于 一道基础题. 4.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=﹣f(x) ,当 x∈(0,2)时,f(x)=2x +3, 则 f(7)=( ) A.﹣5 B.5 C.﹣101 D.101 考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:由 f(x+2)=﹣f(x) ,可得 f(x)是以 4 为周期的周期函数,进而得 f(7)=﹣f(1) , 2 由奇函数 f(x)在 x∈(0,2)时的解析式 f(x)=2x +3,可求 f(1)的值. 解答: 解:∵f(x+2)=﹣f(x) , ∴f[(x+2)+2]=﹣f(x+2)=f(x) , ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数; ∴f(7)=f(8﹣1)=f(﹣1)=﹣f(1) , 2 ∵x∈(0,2)时 f(x)=2x +3, ∴f(1)=5,则 f(7)=﹣5. 故选:A. 点评:本题考查函数的周期性的定义、应用,及函数的奇偶性,解题的关键是求出函数的周 期,属于中档题.
2

5.下列命题正确的个数是(

)

2 2 ①命题“?x0∈R,x0 +1>3x0”的否定是“?x∈R,x +1≤3x”; 2 2

②“函数 f(x)=cos ax﹣sin ax 的最小正周期为 π”是“a=1”的必要不充分条件; 2 2 ③x +2x≥ax 在 x∈[1,2]上恒成立?(x +2x)min≥(ax)max 在 x∈[1,2]上恒成立; ④“平面向量 与 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ ? <0”. A.1 B.2 C .3 D.4

考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析: (1)根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确; (2)化简三角函数,利用三角函数的最小正周期判断; (3)用特例法验证(3)是否正确; (4)根据向量夹角为 π 时,向量的数量积小于 0,来判断(4)是否正确. 解答: 解: (1)根据特称命题的否定是全称命题, ∴(1)正确; (2)f(x)=cos ax﹣sin ax=cos2ax,最小正周期是 ∴(2)正确; (3)例 a=2 时,x +2x≥2x 在 x∈[1,2]上恒成立,而(x +2x)min=3<2xmax=4, ∴(3)不正确; (4)∵ ,当 θ=π 时, ? <0.
2 2 2 2

=π?a=±1,

∴(4)错误. ∴正确的命题是(1) ( 2) . 故选:B 点评:本题借助考查命题的真假判断,考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最 小正周期及恒成立问题.

6.已知向量 、 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= A.3 B.2 C.

,则| |=( D.1

)

考点:平面向量数量积的运算. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:将|2 ﹣ |= 平方,然后将夹角与| |=1 代入,得到| |的方程,解方程可得. ,

解答: 解:因为 、 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= 所以 4
2

﹣4 ? +

2

=10,即| | ﹣2 (舍) ,

2

| |﹣6=0,

解得| |=3

或| |=﹣

故选 A. 点评:本题解题的关键是将模转化为数量积,从而得到所求向量模的方程,利用到了方程的 思想.

7.若变量 x,y 满足|x|﹣ln =0,则 y 关于 x 的函数图象大致是(

)

A.

B.

C.

D. 考点:对数函数的图像与性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:由条件可得 y= 函数,从而得出结论. 解答: 解:若变量 x,y 满足|x|﹣ln =0,则得 y= 故排除 C、D. 再由当 x>0 时,y= ,是减函数,故排除 A, ,显然定义域为 R,且过点(0,1) , ,显然定义域为 R,且过点(0,1) ,当 x>0 时,y= ,是减

故选 B. 点评:本题主要考查指数式与对数式的互化,指数函数的图象和性质的综合应用,以及函数 的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题,属于基础题. 8.已知函数 f(x)满足 f(x)=﹣f(﹣x) ,且当 x∈(﹣∞,0) ,f(x)+xf′(x)<0 成立, 若 a=?f,b=(ln2)?f(ln2) ,c=( A.a>b>c B.c>b>a )?f( C.c>a>b ) ,则 a,b,c 的大小关系是( D.a>c>b )

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:函数的性质及应用. 分析:令 g(x)=xf(x) ,得 g(x)是偶函数,由 x∈(﹣∞,0)时,g′(x)=f(x)+xf′ (x)<0,得函数 g(x)在 x∈(﹣∞,0)上单调递减,从而得 g(x)在(0,+∞)上单 调递增,再由﹣log2 =3>2 >1>ln2>0,得 a,b,c 的大小.
0.1

解答: 解:∵f(x)=﹣f(﹣x) ,∴f(x)是奇函数, ∴xf(x)是偶函数. 设 g(x)=xf(x) ,当 x∈(﹣∞,0)时,g′(x)=f(x)+xf′(x)<0, ∴函数 g(x)在 x∈(﹣∞,0)上单调递减, ∴函数 g(x)在 x∈(0,+∞)上单调递增. ∵﹣log2 =3>2 >1>ln2>0, ∴g(log2 )>g>g(ln2) , 故选:C. 点评: 本题考查了函数的图象与奇偶性关系以及用导数研究函数的单调性等知识, 解题的关 键是构造函数 g(x)并求导,属于易出错的题目.
0.1

9.过点(﹣2,0)的直线 l 与抛物线 y= 相垂直,则直线 l 的斜率 k 等于( A.﹣ B.﹣ )

相交于两点,且在这两个交点处抛物线的切线互

C.

D.

考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:对抛物线 y= ,y′=x,l 的方程是 y=k(x+2) ,代入 y= 得:x ﹣2kx﹣4k=0,由此
2

利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率. 解答: 解:对抛物线 y= ,y′=x, 得:x ﹣2kx﹣4k=0,
2

l 的方程是 y=k(x+2) ,代入 y=

设两个交点是 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 ,

而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即 x1x2=﹣1. ∴k= 且满足△ >0. 故选:C. 点评:本题考查直线的斜率的求法,是中档题,解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理 运用.
2 x 2

10.已知函数 f(x)=x +e ﹣ (x<0)与 g(x)=x +ln(x+a)的图象上存在关于 y 轴对 称的点,则 a 的取值范围是( A. (﹣∞, ) B. (﹣∞, ) ) C. (﹣ , ) D. (﹣ , )

考点:函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:由题意可得 e ﹣ ﹣ln(﹣x0+a)=0 有负根,采用数形结合的方法可判断出 a 的取 值范围. 解答: 解:由题意可得: 存在 x0∈(﹣∞,0) ,满足 x0 +e ﹣ =(﹣x0) +ln(﹣x0+a) , 即 e ﹣ ﹣ln(﹣x0+a)=0 有负根,
x0 2 x0 2 x0

如图所示, 当 a<0 时,y=ln(﹣x+a)=ln[﹣(x﹣a)]的图象可由 y=ln(﹣x)的图象向左平移 a 个单 位得到,可发现此时 e ﹣ ﹣ln(﹣x+a)=0 有负根一定成立; 当 a>0 时,y=ln(﹣x+a)=ln[﹣(x﹣a)]的图象可由 y=ln(﹣x)的图象向右平移 a 个单 位得到,观察图象发现此时 e ﹣ ﹣ln(﹣x+a)=0 有负根的临界条件是函数 y=ln(﹣x+a) 经过点(0, ) ,此时有 lna= ,解得 a=
x x x

, .

因此要保证 e ﹣ ﹣ln(﹣x+a)=0 有负根,则必须 a<

故选:B. 点评:本题考查的知识点是函数的图象和性质,函数的零点,函数单调性的性质,函数的极 限,是函数图象和性质较为综合的应用,难度大. 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.已知 ,且 ,则 的值为 .

考点:任意角的三角函数的定义;半角的三角函数. 专题:计算题.

分析:由 θ 的范围,确定 果. 解答: 解:因为 sinθ=﹣ ,又 所以 故答案为: . = ,

的符号,求出它的平方的值,利用平方关系求出结

所以 =1﹣ = ,

>0,

点评:本题考查任意角的三角函数的定义,半角的三角函数,考查计算能力,是基础题. 12.一个几何体的三视图如图 1,则该几何体的体积为 6π.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由三视图知几何体是一个半圆柱,半圆柱的底面是一个半径为 2 的半圆,高是 3,根 据所给的数据作出底面积,乘以高,得到体积. 解答: 解:由三视图知几何体是一个半圆柱, 半圆柱的底面是一个半径为 2 的半圆,高是 3, 故半圆柱的体积 V= ×π×2 ×3=6π, 故答案为:6π 点评:本题考查由三视图还原几何体,并且求几何体的体积,本题解题的关键是理解三个视 图高长宽之间的关系,进而判断出几何体的形状,本题是一个基础题. 13.已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BC=3BE, DC=λDF,若 ? =1,则 λ 的值为 2.
2

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:根据向量的基本定理,结合数量积的运算公式,建立方程即可得到结论. 解答: 解:∵BC=3BE,DC=λDF,

∴ =

= +

, =

= + =

, + , = + = + = + ,

∵菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°, ∴| ∵ ∴( 即 ×4+ 整理得 |=| ? + |=2, =1, )?( ×4﹣2(1+ , + )= )=1, + +(1+ ) ? =1, ? =2×2×cos120°=﹣2,

解得 λ=2, 故答案为:2. 点评:本题主要考查向量的基本定理的应用,以及数量积的计算,要求熟练掌握相应的计算 公式.

14.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< (x)的图象向左至少平移

)的部分图象如图所示,则将 y=f

个单位后,得到的图象解析式为 y=Acosωx.

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可得 函数的解析式.再根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:由函数的图象可得 A=1, T= ? 再根据五点法作图可得 2× 把函数 f(x)=sin(2x+ 的图象, 故答案为: . +φ= ,∴φ= = ﹣ ,∴ω=2. ) . )+ ]=cos2x

,∴函数 f(x)=sin(2x+ 个单位,可得 y=sin[2(x+

)的图象向左平移

点评:本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象变换规律,属于基础题.

15. 若关于 x 的方程

有四个不同的实数解, 则实数 k 的取值范围是



考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:分 x=0 和 x≠0 分析方程解的情况,x=0 方程显然成立,不等于 0 时消掉 x 后利用数形 结合的方法画图分析. 解答: 解:方程 x=0 是方程的 1 个根, 当 x≠0 时方程变为 ①. 有四个不同的实数解,

要使方程①有 3 个不为 0 的实数根, 则函数 y=k|x|和 y= 如图, k<0 显然不成立,当 k>0 时 y=kx(x>0)与 只需 y=﹣kx(x<0)和
2

应有 3 个不同的交点,

有一个交点,

有两个交点即可,

联立
2

,得 kx +4kx+1=0.

由△ =(4k) ﹣4k=0,得 k= . ∴k> 时 y=﹣kx(x<0)和 综上,关于 x 的方程 故答案为: ( ,+∞) . 有两个交点. 有四个不同的实数解的实数 k 的取值范围是 .

点评: 本题考查了根的存在性与根的个数的判断, 考查了数形结合及分类讨论的数学思想方 法,是中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边, (1)求 A 的大小; (2)若 a=7,求△ ABC 的周长的取值范围. 考点:解三角形的实际应用. 专题:解三角形. 分析: (1)利用正弦定理,结合和差的正弦公式,化简可得结论; (2)利用余弦定理结合基本不等式,可求△ ABC 的周长的取值范围. 解答: 解: (1)∵ ∴由正弦定理可得 ∴sinAcosC+ sinAsinC=sin(A+C)+sinC, ∴ sinA﹣cosA=1, ∴sin(A﹣30°)= , ∴A﹣30°=30°,∴A=60°; (2)由题意,b>0,c>0,b+c>a=7, ∴由余弦定理 49= =(b+c) ﹣3bc≥ (b+c) (当且仅当 b=c 时取等
2 2

, ,

号) , ∴b+c≤14, ∵b+c>7, ∴7<b+c≤14, ∴△ABC 的周长的取值范围为(14,21]. 点评:本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查基本不等式,考查学生的计算能力,属于 中档题. 17.某中学 2015 届高三(1)班共有 50 名学生,他们每天自主学习的时间在 180 到 330 分 钟之间,将全班学生的自主学习时间作分组统计,得其频率分布如下表所示: 组序 分组 频数 频率 第一组 [180,210) 5 0.1 第二组 [210,240) 10 0.2 第三组 [240,270) 12 0.24 第四组 [270,300) a b 第五组 [300,330) 6 c (1)求表中的 a、b、c 的值; (2)某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性,需用分层抽样方法,从这 50 名学 生中随机抽取 20 名作统计分析,求在第二组学生中应抽取多少人? (3)已知第一组学生中有 3 名男生和 2 名女生,从这 5 名学生中随机抽取 2 人,求恰好抽 到 1 名男生和 1 名女生的概率.

考点:古典概型及其概率计算公式;分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析: (1)由 5+10+12+a+6=50 得 a=17,再求 b、c 的值; (2)先求抽取比例,根据抽取比例求在第二组学生中应抽取的人数; (3)计算从 5 名学生中随机抽取 2 人的取法种数和恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的取法种 数,利用古典概型概率公式计算. 解答: 解: (1)由 5+10+12+a+6=50 得 a=17,b= (2)∵分层抽样的抽取比例为 =0,34,c= =0.12; =4 人;

,∴在第二组学生中应抽取 10× =10 种取法, =6 种, = .

(3)从 5 名学生中随机抽取 2 人共有 恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的取法有

∴恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率为

点评:本题考查了古典概型的概率计算,考查了组合数公式的应用,解题的关键是读懂频率 分布表. 18.已知{an}是等差数列,其前 n 项的和为 Sn,{bn}是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=21, S4+b4=30. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; * (2)记 cn=anbn,n∈N ,求数列{cn}的前 n 项和. 考点:数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:本题(1)利用数列的通项公式与前 n 项和公式,得到首项和公比、公差的方程,求 出数列的首项公比和公差, 得到数列的通项; (2) 本小题是一个等差与等比的积形成的数列, 可以利用错位相减法求和. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q. 3 由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q ,S4=8+6d.… 由条件 a4+b4=21,S4+b4=30,得方程组
n

解得

所以 an=n+1,bn=2 ,n∈N*. n (2)由题意知,cn=(n+1)×2 . 记 Tn=c1+c2+c3+…+cn. 则 Tn=c1+c2+c3+…+cn 2 3 n﹣1 n =2×2+3×2 +4×2 +…+n×2 +(n+1)×2 , 2 3 n﹣1 n n+1 2 Tn=2×2 +3×2 +…+(n﹣1)×2 +n×2 +(n+1)2 , 2 3 n n+1 所以﹣Tn=2×2+(2 +2 +…+2 )﹣(n+1)×2 , n+1 即 Tn=n?2 ,n∈N*. 点评:本题考查了等差数列、等比数列的通项公式,前 n 项和公式,以及错位相减法求和, 有一定的综合性,计算量也较大,属于中档题.

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧棱 PA 丄底面 ABCD 底面 ABCD 为矩形,E 为 PD 上 一点,AD=2AB=2AP=2,PE=2DE. (I)若 F 为 PE 的中点,求证 BF∥平面 ACE; (Ⅱ)求三棱锥 P﹣ACE 的体积.

考点:直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (I)由题意可得 E、F 都是线段 PD 的三等分点.设 AC 与 BD 的交点为 O,则 OE 是 △ BDF 的中位线,故有 BF∥OE,再根据直线和平面平行的判定定理证得 BF∥平面 ACE. (II)由条件证明 CD⊥平面 PAE,再根据三棱锥 P﹣ACE 的体积 VP﹣ACE=VC﹣
PAE=

S△ PAE?CD= ( ? ?PA?PD)?AB= ?PA?PD?AB,运算求得结果.

解答: 解: (I)若 F 为 PE 的中点,由于底面 ABCD 为矩形,E 为 PD 上一点, AD=2AB=2AP=2,PE=2DE,故 E、F 都是线段 PD 的三等分点. 设 AC 与 BD 的交点为 O, 则 OE 是△ BDF 的中位线, 故有 BF∥OE, 而 OE 在平面 ACE 内, BF 不在平面 ACE 内,故 BF∥平面 ACE. (II)由于侧棱 PA 丄底面 ABCD,且 ABCD 为矩形,故有 CD⊥PA,CD⊥AD,故 CD⊥平 面 PAE, . 三棱锥 P﹣ACE 的体积 VP﹣ACE=VC﹣PAE= S△ PAE?CD= ? ( ?S△ PAD) ?AB= ( ? ?PA?PD) ?AB= ?PA?PD?AB= ?1?2?1= . 点评:本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用,用等体积法求棱锥的体积,属于中 档题.

20.已知两定点 E(﹣2,0) ,F(2,0) ,动点 P 满足 PQ,垂足为 Q,点 M 满足 (Ⅰ)求曲线 C 的方程; ,点 M 的轨迹为 C.

,由点 P 向 x 轴作垂线段

(Ⅱ)过点 D(0,﹣2)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,点 N 满足 原点) ,求四边形 OANB 面积的最大值,并求此时的直线 l 的方程. 考点:圆锥曲线的综合. 专题:综合题;向量与圆锥曲线.

(O 为

分析: (Ⅰ)先求出点 P 的轨迹方程,再利用 PM⊥x 轴,点 M 满足

,确定 P,M 坐

标之间的关系,即可求曲线 C 的方程; (Ⅱ)求得四边形 OANB 为平行四边形,则 SOANB=2S△ OAB,表示出面积,利用基本不等 式,即可求得最大值,从而可得直线 l 的方程. 解答: 解: (Ⅰ)∵动点 P 满足 ∵E(﹣2,0) ,F(2,0) , 2 2 ∴点 P 的轨迹方程 x +y =4 设 M(x,y)是曲线 C 上任一点,∵PM⊥x 轴,点 M 满足 ∴P(x,2y) ∵点 P 的轨迹方程 x +y =4 2 2 ∴x +4y =4 ∴求曲线 C 的方程是 (Ⅱ)∵ ; ,∴四边形 OANB 为平行四边形
2 2

,∴点 P 的轨迹是以 EF 为直径的圆



当直线 l 的斜率不存在时,不符合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设 l:y=kx﹣2,l 与椭圆交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 2 2 直线方程代入椭圆方程,可得(1+4k )x ﹣16kx+12=0 ∴x1+x2=
2


2

由△ =256k ﹣48(1+4k )>0,可得 ∵ |x1﹣x2|=|x1﹣x2|



∴SOANB=2S△ OAB=2|x1﹣x2|=

=8

令 k =t,则 得 ≥16,当且仅当

2

,当 t> ,即 4t﹣3>0 时,由基本不等式,可 ,即 t= 时,取等号,此时满足△ >0

∴t= 时, ∴k=

取得最小值

时,四边形 OANB 面积的最大值为 2, 和 .

所求直线 l 的方程为

点评:本题考查轨迹方程,考查代入法的运用,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生分析 解决问题的能力,属于中档题.

21.设函数 f(x)=ln(1+x) ,g(x)=xf′(x) ,x≥0,其中 f′(x)是 f(x)的导函数. (Ⅰ)令 g1(x)=g(x) ,gn+1(x)=g(gn(x) ) ,n∈N+,求 gn(x)的表达式; (Ⅱ)若 f(x)≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设 n∈N+,比较 g(1)+g(2)+…+g(n)与 n﹣f(n)的大小,并加以证明. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用.

分析: (Ⅰ)由已知





…可得 (Ⅱ)由已知得到 ln(1+x)≥ 导数求出函数的最小值即可; (Ⅲ)在(Ⅱ)中取 a=1,可得

用数学归纳法加以证明; 恒成立构造函数 φ(x)=ln(1+x)﹣ ( x≥ 0) ,利用

,令



,n 依

次取 1,2,3…,然后各式相加即得到不等式. 解答: 解:由题设得, (Ⅰ)由已知 ,



… 可得 下面用数学归纳法证明.①当 n=1 时, ②假设 n=k 时结论成立,即 , ,结论成立.

那么 n=k+1 时,

=

即结

论成立. 由①②可知,结论对 n∈N+成立.

(Ⅱ)已知 f(x)≥ag(x)恒成立,即 ln(1+x)≥ 设 φ(x)=ln(1+x)﹣ (x≥0) ,则 φ′(x)=

恒成立.



当 a≤1 时,φ′(x)≥0(仅当 x=0,a=1 时取等号成立) , ∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增, 又 φ(0)=0, ∴φ(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立. ∴当 a≤1 时,ln(1+x)≥ 恒成立, (仅当 x=0 时等号成立)

当 a>1 时,对 x∈(0,a﹣1]有 φ′(x)<0,∴φ(x)在∈(0,a﹣1]上单调递减, ∴φ(a﹣1)<φ(0)=0 即当 a>1 时存在 x>0 使 φ(x)<0, 故知 ln(1+x)≥ 不恒成立,

综上可知,实数 a 的取值范围是(﹣∞,1]. (Ⅲ)由题设知,g(1)+g(2)+…+g(n)= n﹣f(n)=n﹣ln(n+1) , 比较结果为 g(1)+g(2)+…+g(n)>n﹣ln(n+1) 证明如下:上述不等式等价于 在(Ⅱ)中取 a=1,可得 令 故有 ln3﹣ln2 ,… , 上述各式相加可得 结论得证. 则 , , , ,

点评:本题考查数学归纳法;考查构造函数解决不等式问题;考查利用导数求函数的最值, 证明不等式,属于一道综合题.


相关文章:
江西省抚州市临川二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)
江西省抚州市临川二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。江西省抚州市临川二中 2015 届高三上学期第二次月考数 学试卷(文科)...
江西省抚州市临川二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)
江西省抚州市临川二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。江西省抚州市临川二中 2015 届高三上学期第二次月考数 学试卷(理科)...
江西省抚州市临川二中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科)
(i,j,n 均为正整数)时,求 ai 和 aj 的所有可能的乘积 aiaj 之和. 2015-2016 学年江西省抚州市临川二中高二(上)期中数学试卷(文科) 一、选择题(每小题...
江西省抚州市临川二中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
(i,j,n 均为正整数)时,求 ai 和 aj 的所有可能的乘积 aiaj 之和. 2015-2016 学年江西省抚州市临川二中高二(上)期中数学试卷(文科) 一、选择题(每小题...
江西省宜春市上高二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科) Word版含解析
江西省宜春市上高二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。江西省宜春市上 2014-2015 学年高二中 2015 届高三上学...
江西省宜春市上高二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)
江西省宜春市上高二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。江西省宜春市上 2014-2015 学年高二中 2015 届高三上学 期第二次月...
江西省南昌二中2015届高三上学期月考数学试卷(文科)
(a)恒成立. 江西省南昌二中 2015 届高三上学期月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给...
江西省南昌二中2015届高三上学期月考数学试卷(文科)
江西省南昌二中2015届高三上学期月考数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。...江西省南昌二中2011届高... 10页 2下载券 江西省抚州市临川二中20... 暂无...
江西省临川区第二中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题
江西省临川区第二中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。临川二中 2015-2016 学年上学期高三年级期中考试 数学(理科)试卷 命题人:...
更多相关标签:
江西省抚州市临川区 | 江西省抚州市临川一中 | 抚州市临川区 | 抚州市临川区人民法院 | 江西抚州市临川区 | 抚州市公安局临川分局 | 抚州市临川区人民医院 | 抚州市临川区邮编 |