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四川省成都市龙泉一中2015-2016学年高二上学期数学竞赛试题


成都市龙泉第一中学校高二上数学竞赛
考试时间:2015 年 10 月 28 日 16:15-17:45 总分 100 分 说明: (1-20 题每小题 3 分,21-40 题每小题 2 分) .1、已知集合 A ? x x ? x ? 2 ? 0, x ? R , B ? x x ? 1 ? 0, x ? R ,则 A ? B =
2 2

>?

?

?

?

*

答案: A ? B ? x 1 ? x ? 2

?

?
* .

2、已知 sin ? 答案: ?

?? ? 3 ? ? ? ? ,则 sin 2? 的值为 ?4 ? 5

7 25

3、已知向量 a = ? 2,3? , b = ? ?1, 2? ,若向量 m a ?n b 与向量 a ?2 b 共线( m, n ? R,且

n?0 ),

m 的值为 n 1 答案: ? 2


*

.

4、设 P、Q 是两个非空数集,定义集合 P ? Q ? a ? b a ? P, b ? Q , 若 P ? ?0,2,5? ,

?

?

Q ?? 1,2,6?,则 P ? Q 中元素的个数是
答案: 8 5、如果 a ? ?0, ? ?, lg(1 ? cos? ) ? m, lg?

*

1 ? ? ? ? n , 那么 lg sin ? = ? 1 ? cos? ?

*

1 ( m ? n) 答案: 2
6、已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,则 tan 2? 的值为 答案: *

4 3
2 2 2

7 、 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c , 若 2c ? 2a ? 2b ? ab ,则

?ABC 是*
答案:钝角三角形 8、若圆 ?x ? 3? ? ? y ? 5? ? r 2 有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 的距离等于 1,则半径
2 2

r 的取值范围是
答案: (4,6)

*

9、等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S10 ? 10, S 30 ? 70 ,则 S 40 等于 答案: 150 10、已知 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 是函数 f ( x ) ?
2 的取值范围为 x 轴上,则 x12 ? x2

*

2x 图像上不同的两点,若 AB 的中点落在 1 ? 2x

*

1 ( , ??) 答案: 2

11、已知

1 ? sin x 1 cos x ? ? ,那么 的值是 sin x ? 1 cos x 2

*

答案:0.5

?? 1 ? x ?? ? ,?1 ? x ? 0 12、已知函数 f ( x) ? ?? 4 ? ,则 f ?log4 3? = ? 4 x ,0 ? x ? 1 ?
答案:3

*

13、 O 是 平 面 上 一 定 点 , A、B、C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

OP ? OA ? ? AB ? AC , ? ? ?0,??? ,则 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的
答案:重心 14、对任意的 x ? 0, 答案: ? ,?? ? ?5 ?

?

?

*

x ? a 恒成立,则 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1
2

*

?1

?

15、已知直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线 l2 : 2ax ? y ? 1 ? 0 和坐标轴围成的四边形有外接 圆,则 a 的值等于 答案: ? 1
16、Given that the top points of rectangle ABCD are A? 0,0? , B ? 2,0? , C ? 2,1? , D ?0,1?

respectively. Point

P ? x, y ?

is a moving point on segment
y

BD, suppose

??? ? ??? ? f ? x ? ? DP ? PC , then the expression of f ? x ? is
D

.
(0,1) P (x,y) A (0,0)

C(2,1)

B (2,0)

x

答案: ?

5 2 ? 4? x ? 2 x ? 0 ? x ? 2 ? ; ? ?1, ? 4 ? 5?

17、正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,二面角 A ? BD1 ? A1 的度数是__ * __. 答案:60 18、一个几何体的三视图如图 1 所示,则此几何体的全面积是 答案: 102? 6 59 * .

19、联想祖暅原理(夹在两个平行平面间的几何体,被平行于这两个平面的任何平面所 截,如果截得的两个截面的面积相等,那么这两个几何体的体积相等) ,请计算:由曲 线 y ? ln x, y ? ln ? x ? 3? 和两直线 y ? ?1 所围成的平面几何图形的面积等于 答案: 6
2 20、在等差数列 {an } 中, an ? 0, 且a1 ? a3 ? a8 ? a4 , 则 a3 S10 最大值是

*

*



答案:

375 4

21、定义运算 x ? y ? ?

? y, ( x ? y ) ,则函数 f ( x) ? (sin 2 x) * (cosx) 的最大值为 ? x, ( x ? y)

*

答案:

3 2

22、三棱锥 A ? BCD 的所有棱长均为 1 , 顶点 A 在底面 BCD 上的正投影为点 H , 点 M 在

AH 上, 且
使 ?BMC ? 90 , 则 AM 的长为
?

*

.

答案:

6 6

23、已知函数 f ? x? ? lg ? x ? 1? ,若 1 ? a ? b ,且 f ? a? ? f ? b? ,则 ab 的取值范围是 * .

答案: ? 4, ??? 24、对于任意两个正数 x , y , 定义运算“ ? ”如下: x ? y ? ax ? by ? cxy ,其中 a, b, c 为

? 3 ? 4 常数 . 已知 1 ? 2 ? 3, 2 ,并且存在一个非零实数 d ,使得对于任意实数 x 都有
x ? d ? 2 x,则 d 的值为
答案: 3 25、直线 l 过点 P(1,3)且和两坐标轴围成的三角形的面积为 6,则满足条件的直线有__ 条. 答案: 3 26、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 若 ?C ? 的垂线,垂足为 D ,设 AD ? ? DB ,则 ? = 答案: 5 ? 2 5 27、已知 a, b, c, d 是正数,且 a ? 2b ? 1, c ? 2d ? 1 ,则 答案:25 28、函数 y ? x2 ? 2x 在区间 ? a, b? 上的值域是 ? ?1,3? ,则点 ( a, b) 所在轨迹的长度为 答案: 4 29、在正方体 AC1 中,过 C1 的直线与 AC , A1D 所成角都等于 ? ,则 ? 的取值范围为 答案: ? * * _ * .

2? ,c ? 2a , 过 C 作 AB 3

????

??? ?

*

1 1 ? 的最小值为 a bcd

*

?? ? ? , ?6 2? ?

30、 Sn 为数列 ?an ? 前 n 项和,若 a1 ? 2011 且对所有的 n ( 1 ? n ? 2011 )都有 Sn ? n2an , 则 a2011 ? * 答案:

1 1006

31 、已知数列 ?an ? , a1 ? 1 ,前n项部分和 Sn 满足 Sn Sn?1 ? Sn?1 Sn ? 2 Sn Sn?1 ,则

an ?



答案: an ? ?

n ?1 ? 1 。 ?8(n ? 1) n ? 1
1 的解集合为 x


32、方程 16sin ? x cos ? x ? 16 x ? 答案: ? , ? ? 。 33、函数 f ? x ? ?

?1 ?4

1? 4?

x ? 3 ? 12 ? 3x 的值域为

3? ?

? 3? C. ?1, ? 答案: D. ? 2?

?1, 2?

34、长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 已知 AB1 ? 4 ,AD1 ? 3 , 则对角线 AC1 的取值范围是 *
答案:

? 4,5?
* _

35、棱长为 1 的正四面体在水平面上的正投影面积为 s ,则 s 的最大值为 答案:

1 2

36、在△ABC 中,已知 ?A ? 30?, ?B ? 105? ,过边 AC 上一点 D 作直线 DE,与边 AB 或者

? CD ? BC 相交于点 E,使得 ?CDE ? 60? ,且 DE 将△ABC 的面积两等分,则 ? ? ? ? AC ?
答案:

2

*

3 6
*

37、已知 x ? 1, y ? 1 ,且 k ? x ? y ? y ? 1 ? 2 y ? x ? 4 ,则 kmax ? kmin ? 答案:10

38、在一个棱长为 5 的正方体封闭的盒内, 有一个半径等于 1 的小球, 若小球在盒内任意地 运动,则小球达不到的空间的体积的大小等于 答案: 44 ? *

31? 3

39、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 5) ? 16 ,当 x ? (?1,4] 时,

] 上的零点个数是 f ( x) ? x 2 ? 2 x ,则函数 f ( x) 在 [0,2013
答案:604



40、平 面 上 三 点 Pi (i, f (i)) ,( i ? 1,2,3 , f (i) ? ? 1,2,3,4? ). 若 点 Q 满 足

??? ? ???? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? , 且 ( i ? j , i , j ? 1, 2,3 ) QP ? QP ? ? QP (Q P ? Q P ) ? P ? P 0 ? ? 1 2 3 (? ? R) .则这样的 i j i j
三角形 P 1P 2P 3 的个数为 答案: 6 *

高 2014 级高二上数学竞赛参考答案部分解析
1-9、略 10、

2 x1 2 x2 ,得 x1 ? x2 ? 4 x1 x2 , ? 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2
2 2

2 2 所以 16?x1 x2 ? ? ?x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 2x1 x2 ? 4x1 x2

所以 x1 x 2 ?
2 1 2 2

1 4

6

又 x ? x ? ?x1 ? x25? ? 2 x1 x2 ? 16?x1 x2 ? 11-14、略 15、
4

2

1? 1 1 ? ? 2 x1 x2 ? 16? x1 x2 ? ? ? ? 16 ? 16 2 ?

2

3

2

C

A1 D
6 4 2 2

B
4 6 8 10 12 14

1

如图:

2

情况一:两直线垂直;情况而:

?CAD ? ?CBD ? 1800
16、略 17、略 18、
4

3

5

6

5

4 直观图如图所示 19、 3

q?x? = ln?x
2

3?

h?x? = ln?x?
A B

1

6

4

2

2

4

6

8

10

12

14

16

1

AB 的长度始终为 3,根据原理可得

2 20、 a1 ? a3 ? a8 ? 3a4 ? a4 ,所以 a4 ? 3 ,
3

2

a3 S10 ? 5?a4 ? d ??a4 ? 3d ? ? 5 ? 3d 2 ? 3d ? 18
4

?

?

当d ?

15 375 时,有最大值 2 4

6

5

21、如图

4

3

2

1

A

8

6

4

2

2

4

6

8

10

12

14

16

1

2

3

22 、 可得 BH ?

3 6 2 , AH ? ,可知 ?BCM 为等腰直角三角 形,则 BM ? ,设 3 3 2
4 5

? 6 ? 1 1 ? AM ? x ,则 ? ? 3 ? x? ? 3 ? 2 ? ?
23、易得 lg(a ? 1) ? lg(b ? 1) ? 0, 则 ab ? a ? b ? 2 ,由 1 ? a ? b 得 a ? b ? 2 24、略 25、略 26、

2

C a B D c b A

设 a ? 1, c ?

2 ,则 b ?

5 ?1 15 ? 3 ,则 CD ? 2 4 2

BD ? 1 ?
AD ?

18 ? 2 45 14 ? 2 45 3 ? 5 ? ? 32 32 4 2

5? 5 ,? ? 5?2 5 4 2

c ? 2d 2 1 1 1 ) ? ,即 cd ? ,??○ 8 2 4 1 1 1 1 1 8 1 便得 ? 2 ? ? ,????○ 当且仅当 c ? , d ? 时取等号.这时由○ 2 4 a bcd a b 1 8 1 8 2 3 又由条件和柯西不等式可得 ? ? ( ? )(a ? 2b) ? (1 ? 4) ? 25 ,??○ a b a b 1 2 3 当 且 仅 当 b ? 2a 时 取 等 号 , 结 合 条 件 便 知 此 时 a ? , b ? . 由 ○ 2 ○ 3 ○ 4 便得 ○ 5 5 1 1 8 1 1 1 2 1 1 ? ? 25 .当 a ? , b ? , c ? , d ? 时, ? 取最小值 25. a bcd a bcd 5 5 2 4
27、由平均值不等式及题设条件知 2cd ? (
6

28、
4

2

1
5

-1
2

3

5

10

15

20

由图像可知: a ? ?? 1,1?, b ? ?1,3?
0

29、 将 AC 移到 A1C1 , 问题等价于过 A1 与 A1C1 , A1 D 成等角的直线, 又 A1C1 , A1 D 成 60 角。 答案易得
6

4

30、 Sn ? n 2 an,Sn?1 ? ?n ?1? an?1 所以 n 2 ?1 an ? ?n ?1? an?1
2 2

?

?

31、 S n S n ?1 ? S n ?1 S n ? 2 S n S n ?1 ?

S n ? S n ?1 ? 2 ,所以 Sn ? ?2n ?1?2

32、 16sin ?x cos?x ? 8 sin 2?x ? 8, 16x ?

1 ? 8 ,只有取等号时相等。 x

33、 因为

?

x ?3 ?

? ?
2

4? x

?

2

? ?? ?1, 令n s i ? ? x ? 3 所以 y ? sin ? ? 3 cos? ,? ? ?0, ? ? 2?

34、 a 2 ? b 2 ? 9, a 2 ? c 2 ? 9, 则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 25 ? a 2 ? ?16,25? 35、

如图:取该四面体两对对棱的中点,容易证明这四个点构

1 ,由于投影保持直线的平行关系不变,故正方形 EFGH 的投 2 影图形要么为平行四边形 EFGH (当光线不与面 EFGH 平行时),此时四面体的投影四边 形 ABCD 的面积是 EFGH 面积的二倍(当四面体的投影是三角形时结论不变),要么是一 条线段(当光线与面 EFGH 平行时)要使四面体投影面积最大,根据面积射影定理,只须投 影光线与面 EFGH 垂直(即投影光线与异面直线 BD、AC 的公垂线平行,最大投影面积为 1 2
成一个正方形 EFGH ,边长为 36、

B 105° E 1 A 30° 60° D 45° C

sin 45 0 sin 45 0 x, DE ? y 设 AC ? x, DC ? y ,则 AB ? sin105 0 sin 7 0
1 sin 450 2 1 sin 450 2 0 ? x ? sin 30 ? y ? sin 600 0 0 4 sin 105 2 sin 75

3 ? y? ? ? ? 6 ? x?

2

37、易知 y ? 1 与 2 y ? x ? 4 均为负,则可以直接去掉绝对值号,讨论 x ? y 的正负即可 38、12 条棱对应的体积为 ?4 ? ? ?? 3 ? 3 ,8 个定点凑成一个立方体加一个内切圆,则体积 为8 ?

4 31 ? ,所求体积为 44 ? ? 3 4

39、 f ( x) ? f ( x ? 5) ? 16 中,令 x ? x ? 5 ,则 f ( x ? 5) ? f ( x ? 10) ? 16 得 f ( x) ? f ( x ? 10) ,函数是 10 为周期的周期函数 又函数在 ?? 6,?1? 上无零点,在 ?? 1,4? 上 3 个零点,
8 所以有零点

604 个

40、易知点 Q 是三角形的外心,第二个等式要求三角形是以 P 1P 2 为底边的等腰三角形,满
6 足条件的三角形如图,共计

6个

4

2
8 8 8 8 8 8

6

6

6

6

6

6

5

10

15

4

4

4

4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

4

5 25

20 20

15

10 10

5

20

15 5 15

10

55

5 15

10 10 10

5

5

10 10

5 15 5

55

10

15 5

20

5

10 10

15

20

525 5

10

1

6
2 2 2 2 2 2

8
4 4 4 4 4 4

6

6

6

6

6

6


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