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(第29课)多面体欧拉定理的发现(1)


课 题: 9. 10

研究性课题: 多面体欧拉定理的发现 (一)
王新敞
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教学目的: 1. 了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式 2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力 教学重点:欧拉公式的发现过程 教学难点:欧拉定义及其证明 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节为研究性课题 通过研究欧拉定理的发现过程,让学生了解欧拉公式及 其简单应用,扩大学生的知识面,培养学生学习数学的兴趣 教学过程: 一、复习引入: 1 欧拉生平事迹简说:欧拉(Euler),瑞士数学家及自然科学家 1707 年 4 月 15 日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭,自幼受父亲的教育,13 岁入读巴塞尔大 学 15 岁大学毕业,16 岁获硕士学位,1783 年 9 月 18 日于俄国彼得堡去逝(详 细资料附后) 2 多面体的概念:由若干个多边形围成的空间图形叫多面体;每个多边形叫多 面体的面,两个面的公共边叫多面体的棱,棱和棱的公共点叫多面体的顶点, 连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线. 3.凸多面体:把多面体的任一个面展成平面,如果其余的面都位于这个平面的 同一侧,这样的多面体叫凸多面体.如图的多面体则不是凸多面体. 4.凸多面体的分类:多面体至少有四个面,按照它的面数分别叫四面体、五面 体、六面体等 二、讲解新课: 1.简单多面体:考虑一个多面体,例如正六面体,假定它的面是用橡胶薄膜做 成的,如果充以气体,那么它就会连续(不破裂)变形,最后可变为一个球面 如图:象这样,表面经过连续变形可变为球面的多面体,叫做简单多面体
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说明:棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体

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2.五种正多面体的顶点数、面数及棱数: 正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 顶点数 V 4 8 6 20 12 面数 F 4 6 8 12 20 棱数 E 6 12 12 30 30

发现:它们的顶点数 V 、面数 F 及棱数 E 有共同的关系 式: V ? F ? E ? 2 . 上述关系式对简单多面体都成立 3.欧拉公式的探究 1.请查出图⑹的顶点数 V、面数 F、和棱数 E,并计算 ⑸ ⑹ V+F-E=6+6-10=2 2.查出图⑺中的顶点数 V、面数 F、和棱数 E,并验证上面公式是否还成 立?
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3. 假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜,向内充气则⑸⑹将变成一个 球面,图⑺将变成两个紧贴的球面,图⑻将变成一个环面。

可以验证:只有像⑸⑹这样,经过连续变形,表面能变为一个球面的多面 体才满足公式 V+F-E=2。这个公式称为欧拉公式,这样的多面体称为简单多 面体。 4. 欧拉定理 (欧拉公式) 简单多面体的顶点数 V 、 : 面数 F 及棱数 E 有关系式: V ? F ? E ? 2. 证明:(方法一)

E1 A1 B1 E A B C
(10)

E D1 E1 A1 B1 C1 D1

C1 D

A

D

B

C

⑴如图⑽:将多面体的底面 ABCDE 剪掉,抻成平面图形,其顶点、棱数, 面数(剪掉面用右图中 ABCDE 表示)均没有变,故所有面的内角总和不变。 ⑵设左图中共有 F 个面,分别是 n1 , n2 ,?, nF 边形,顶点数为 V,棱数为 E, 则 n1 ? n2 ??? nF ? 2E . 左图中,所有面的内角总和为

(n1 ? 2)180? ? (n2 ? 2)180? ? ? ? (nF ? 2)180? = (n1 ? n2 ? ? ? nF ? 2F )180? = (2 E ? 2 F )180 ? ? ( E ? F )360?
⑶右图中,所有面的内角总和为

V上 ? 360?+(V下-2) ?+(V下-2) ?(剪掉的底面内角和) 180 180
0 ( 360 = V上+V上-2) ? ? (V ? 2)360

⑷ ( E ? F )360? = (V ? 2)3600 整理得 V ? F ? E ? 2 . (方法二)以四面体 ABCD 为例来说明: 将它的一个面 BCD 去掉,并使其变为平面图形,四面体的顶点数 V 、棱 数 E 与剩下的面数 ( F ? 1) 变形后都没有变
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因此, 要研究 V 、E 和 F 的关系,
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只要去掉一个面,将它变形为平面图形即可

对平面图形,我们来研究: (1)去掉一条棱,就减少一个面 例如去掉 BC ,就减少一个面 ABC . 同理,去掉棱 CD 、 BD ,也就各减少一个面 ACD 、 ABD .
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所以 ( F ? 1) ? E 、 V 的值都不变,因此 V ? ( F ? 1) ? E 的值也不变

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(2)再从剩下的树枝形中,去掉一条棱,就减少一个顶点 例如去掉 CA ,就减 少一个顶点 C .同理,去掉 DA 就减少一个顶点 D ,最后剩下 AB (如图) .
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在此过程中 V ? E 的值不变,但这时面数 F 是 0 , 所以 V ? ( F ? 1) ? E 的值也不变
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由于最后只剩下 AB ,所以 V ? ( F ? 1) ? E ? 2 ? 0 ? 1 ? 1, 最后加上去掉的一个面,就得到 V ? F ? E ? 2 . 4.欧拉示性数: 在欧拉公式中令 f ( p) ? V ? F ? E , f ( p ) 叫欧拉示性数 说明: (1)简单多面体的欧拉示性数 f ( p) ? 2 . (2)带一个洞的多面体的欧拉示性数 f ( p) ? 0 .例如:长方体挖去一个洞连 结底面相应顶点得到的多面体 f ( p) ? 16 ? 16 ? 32 ? 0 . 三、讲解范例: 例 1 一个 n 面体共有 8 条棱,5 个顶点,求 n 解:∵ V ? F ? E ? 2 ,∴ F ? E ? 2 ?V ? 5 ,∴ n ? 5 . 例 2.一个正 n 面体共有 8 个顶点,每个顶点处共有三条棱,求 n
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解:∵ V ? 8 , E ?

8? 3 ? 12 , 2

∴ F ? E ? 2 ?V ? 6 , ∴n ? 6. 四、小结 :欧拉定理及其证明;欧拉示性数 五、课后作业:
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六、板书设计(略)

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七、欧拉(Euler Lonhard,1707~1783)
欧拉,瑞士数学家及自然科学家 在1707年4月15日出生于瑞士的巴
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塞尔,1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝 欧拉出生于牧师家庭,自
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幼已受到父亲的教育 13岁时入读巴塞尔大学,15岁大学毕业,16岁获
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得硕士学位

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欧拉的父亲希望他学习神学,但他最感兴趣的是数学 在上大学时,
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他已受到约翰第一.伯努利的特别指导,专心 研究数学,直至18岁, 他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学,于19岁时(1726年)开始创作 文章,并获得巴黎科学院奖金 年接替丹尼尔第一.伯努利 ,成为物理学教授
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1727年,在丹尼尔.伯努利的推荐下,到俄国的彼得堡科学院从事研究工作 并在1731
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在俄国的 14 年中,他努力不懈地投入研究,在分析学、数论及力学方面均有出色的表 现 此外,欧拉还应俄国政府 的要求,解决了不少如地图学、造船业等的实际问题 1735 年,
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他因工作过度以致右眼失明 在 1741 年, 他受到普鲁士 腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任
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物理数学所所长一职 他在柏林期间,大大的扩展了研究的内容,如行星运动、刚 体运动、
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热力学、 弹道学、 人口学等, 这些工作与他的数学研究互相推动着 与此同时, 他在微分方程、
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曲面微分几何 及其它数学领域均有开创性的发现

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1766 年,他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡 在 1771 年,一场重病使他的左眼亦
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完全失明 但他以其惊人的 记忆力和心算技巧继续从事科学创作 他通过与助手们的讨论以
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及直接口授等方式完成了大量的科学著作,直至生命的 最后一刻

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欧拉是 18 世纪数学界最杰出的人物之一,他不但为数学界作出贡献,更把数学推至几 乎整个物理的领域 此外,他 是数学史上最多产的数学家,写了大量的力学、分析学、几何
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学、变分法的课本,《无穷小分析引论》(1748),《微分学原理》(1755),以及《积分 学原理》(1768-1770) 都成为数学中的经典著作 级数、微分方程等)的产生 与发展奠定了基础
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欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域,为微分几何及分析学的一些重要分支(如无穷
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欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目 他计算出ξ 函数在偶数
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点的值 他证明了 a2k 是有理数,而且可以伯努利数来表示
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此外,他对调和级数亦有所研究,并相当精确的计算出欧拉常数γ 的值,其值近似为 0.57721566490153286060651209... 在 18 世纪中叶,欧拉和其它数学家在解决物理方面的问过程中,创立了微分方程学 当
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中,在常微分方程方面,他 完整地解决了 n 阶常系数线性齐次方程的问题,对于非齐次方

程,他提出了一种降低方程阶的解法;而在偏微分方程 方面,欧拉将二维物体振动的问题, 归结出了一、二、三维波动方程的解法 欧拉所写的《方程的积分法研究》更是 偏微分方程
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在纯数学研究中的第一篇论文

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在微分几何方面(微分几何是研究曲线、曲面逐点变化性质的数学分支),欧拉引入了 空间曲线的参数方程,给 出了空间曲线曲率半径的解析表达方式 在 1766 年,他出版了《关
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于曲面上曲线的研究》,这是欧拉对微分几何最重要 的贡献,更是微分几何发展史上一个 里程碑 他将曲面表为 z=f(x,y),并引入一系列标准符号以表示 z 对 x,y 的偏导数 ,这些
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符号至今仍通用 此外,在该著作中,他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式
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欧拉在分析学上的贡献不胜枚举,如他引入了 G 函数和 B 函数,这证明了椭圆积分的加 法定理,以及最早引入二重积 分等等
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在代数学方面,他发现了每个实系数多项式必分
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解为一次或二次因子之积,即 a+bi 的形式 欧拉还给出了费马小定 理的三个证明,并引入了 数论中重要的欧拉函数φ (n),他研究数论的一系列成果奠定了数论成为数学中的一个独立 分 支 欧拉又用解析方法讨论数论问题,发现了ξ 函数所满足的函数方程,并引入欧拉乘积
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而且还解决了著名的柯尼斯堡七桥问题

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欧拉的风格是很高的,拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家 从 19 岁起和欧拉通信、讨论
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等周问题的一般解法,从而引起了变分法的诞生 等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题,拉
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格朗日的解法,博得了欧拉的热烈赞扬,1759 年 10 月 2 日欧拉在回信中盛赞拉格朗日的成 就,并谦恭地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表,使年轻的拉格朗日的著作得以发 表和流传,赢得巨大声誉
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1783 年 9 月 18 日下午,欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功,请朋友们吃饭 那
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时天王星刚发现不久,欧拉写出计算天王星轨道的要领,还和他的孙子逗笑,喝茶后,突然 疾病发作,烟斗从手中落下??欧拉就这样“停止了生命和计算”
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历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯并列为有史以来贡献最大的四位数学家.他 们有一个值得注意的共同点,就是在创建纯粹理论的同时,还应用这些数学工具去解决大量 天文、物理、力学等方面的实际问题 他们的工作常常是跨学科的,他们不断地从实践中吸取
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丰富的营养,但又不满足于具体问题的解决,而力图探究宇宙的奥秘,揭示其内在的规律

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欧拉留给后人丰富的科学遗产中,分析、代数、数论占 4o%,几何占 18%,物理和力 学占 28%,天文占 11%,弹道学、航海科学、建筑等其他问题占 3% 1748 年在瑞士洛桑出
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版的他的《无穷小分析引论》,是划时代的代表作,也是世界上第一本完整的有系统的分析 学
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欧拉对数学的研究如此广泛,因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的 重要常数、公式和定理
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