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两角和与差的正切公式的应用


§4.6 两角和与差的正切公式的应用
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课题:两角和与差的正切公式的应用
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tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? ? tan ?

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和角与差角正切变形公式的应用
tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ?

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例题1

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例题1、不查表求值

tan 60? ? tan 45? 3 ?1 () 1 tan105 ? tan(60 ? 45 ) ? ? ?2 ? 3 ? ? ? 1 ? tan 60 ? tan 45 1 ? 3 ?1
?
? ?

(2) tan 75? ? tan(45? ? 30? ) ? 2 ? 3

? ? (3) tan 15? ? tan(45 ? 30 ) ? 2 ? 3

例题1

例题2

例题3

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1 2 例题2、()已知 1 tan ? ? , tan(? ? ? ) ? ? , 求 tan(2? ? ? ). 2 5
解: ? 2? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?

? tan(2? ? ? ) ? tan ?? ? (? ? ? ) ?

?

tan ? ? tan(? ? ? ) 1 ? tan ? ? tan(? ? ? )

1 2 ? (? ) 5 ? 2 1 2 1 ? ? (? ) 2 5
例题1 例题2 例题3

1 ? 12

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4 4 例题2、(2)已知 tan ?? ? ? ? ? , tan(? ? ? ) ? ? , 求 tan 2? . 5 5
解: ? 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?

? tan 2? ? tan ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ?

tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ? ?0 1 ? tan(? ? ? ) ? tan(? ? ? )

例题1

例题2

例题3

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2 ? 1 ? 例题2、(3)已知 tan ?? ? ? ? ? , tan( ? ? ) ? , 求 tan(? ? ). 5 4 4 4 ? ?? ? 解: ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
4 ? 4?

?? ? ? ?? ? ? ? tan ? ? ? ? ? tan ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? 4 ?? ? ? ?

?? ? tan(? ? ? ) ? tan ? ? ? ? 4? ? ? ?? ? 1 ? tan(? ? ? ) ? tan ? ? ? ? 4? ? 3 ? 22
例题1 例题2 例题3

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例题3、计算
1 ? tan15? tan 45? ? tan15? (1) ? (45? ? 15?) ? tan 60? ? 3. ? ? ? ? tan 1 ? tan15 1 ? tan 45 ? tan15 1 ? cot15? 1 ? tan 75? ? ? ? (2) = ? tan ( 45 ? 75 ) ? tan120 ? ? 3. ? ? 1 ? tan 75 1 ? tan 75 1 ? tan ? (3)已知? ? ? ? ,化简 4 1 ? tan ?

?

?? ? ? ?

?

tan ?? ? ? ? ? tan ? 1 ? tan ? ? ? ? tan ? ?? ? ? ? ? ? ? ? tan ? . 1 ? tan ? 1 ? tan ?? ? ? ? ? tan ?
1 ? tan15? 1 1 1 ? tan15? ? = ? ? tan 30 ? (4)计算 3 3 3 1 ? tan15? 3 ? tan 60? tan15?

4

, ? tan ?? ? ? ? =1

?

?

例题1

例题2

例题 例题3

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变形公式

例题1

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例题4

例题5

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变形公式

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ?

例题1

例题2

例题3

例题4

例题5

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变形公式

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ?
? ? ? ?

例题1、 tan17 ? tan 43 ? 3 tan17 tan 43

? tan 17? ? 43? 1 ? tan17? tan 43? ? 3 tan17? tan 43?
? tan 60? ? 1 ? tan17? tan 43? ? 3 tan17? tan 43?

?

??

?

?

?

? 3.

例题1

例题2

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例题4

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变形公式

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ?

例题2、求证: tan 3? ? tan 2? ? tan ? ? tan 3? tan 2? tan ? .
证明:左边 ? tan ? 3? ? 2? ??1 ? tan 3? tan 2? ? ? tan ? ? tan ? ? ?1 ? tan 3? tan 2? ? ? tan ? ? tan 3? tan 2? tan ? ? 右边 ? 原等式成立.

例题1

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变形公式

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ?

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ? 例题3、在非直角三角形中, 求证: tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C. 证明:由题意A ? B ? C ? ? 左边 ? tan ? A ? B ??1 ? tan A tan B ? ? tan C
? tan ?? ? C ? ? ?1 ? tan A tan B ? ? tan C

? ? tan C ? ?1 ? tan A tan B ? ? tan C

? tan A tan B tan C ? 右边 ?原等式成立.
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例题4

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变形公式

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ?

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ? 例题4、已知 A ? B ? C ? k?,
求证: tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C.
证明: 左边 ? tan ? A ? B ??1 ? tan A tan B ? ? tan C ? tan ? k? ? C ? ? ?1 ? tan A tan B ? ? tan C 讨论:当k ? 2n, (n ? Z )时,左边 ? tan ? 2n? ? C ? ? ?1 ? tan A tan B ? ? tan C ? tan ? ?C ? ? ?1 ? tan A tan B ? ? tan C
? ? tan C ? ?1 ? tan A tan B ? ? tan C ? tan A tan B tan C ? 右边 当k ? 2n ? 1, (n ? Z )时,左边 ? tan ? 2n? ? ? ? C ? ? ?1 ? tan A tan B ? ? tan C ? tan ?? ? C ? ? ?1 ? tan A tan B ? ? tan C
? ? tan C ? ?1 ? tan A tan B ? ? tan C
∴原等式成立

? tan A tan B tan C ? 右边

例题1

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变形公式

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ?

例题5、已知?、? 满足? ? ? ?

?

4

,求 ?1 ? tan ? ??1 ? tan ? ?的值.

解: ?1 ? tan ? ??1 ? tan ? ? ? 1 ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ?
? 1 ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ? ? tan ? ? tan ?
? 1 ? tan

?
4

? ?1 ? tan ? ? tan ? ? ? tan ? ? tan ?

?2
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例题4

例题5

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变形公式

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ?

例题5、已知?、? 满足? ? ? ?

?

4 解: ?1 ? tan ? ??1 ? tan ? ? ? 1 ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ?
? 1 ? tan

,求 ?1 ? tan ? ??1 ? tan ? ?的值.

? 1 ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ? ? tan ? ? tan ?

?
4

? ?1 ? tan ? ? tan ? ? ? tan ? ? tan ?

例题6、若? ? ? ? k? ? ,求 ?1 ? tan ? ??1 ? tan ? ?的值. 4

?

?2

(思考)求值 1 ? tan1? 1 ? tan 2? 1 ? tan 3? ????? 1 ? tan 45? .

?

??

??

?

?

?

例题1

例题2

例题3

例题4

例题5

例题6

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基础应用

1、非特殊角的求值

2、角的组合 3、公式逆用
变形公式

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ? ? ?1 ? tan ? ? tan ? ?

变形应用

1、典型例题 2、注意事项

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1、已知 tan ? 和 tan( ? ? )是方程x 2 ? px ? q ? 0的两个根, 4 问p、q满足的关系式?
1 ? tan A 2、已知 ? 4 ? 5,求 cot A的值. 1 ? tan A

?

3、计算: (1)1 ? tan 66? ? tan 69? ? tan 66? tan 69?

(2) tan16 ? tan101 ? 3 tan16 tan101
? ? ?

?

tan 20? ? tan 40? ? tan120? 4、求值: tan 20? tan 40?

5、计算: 1 ? tan1? 1 ? tan 2? ??? 1 ? tan 43? 1 ? tan 44?

?

??

?

?

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