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高一数学下册期末考试试题(数学)


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高一数学下册期末考试试题(数学)
出题人:孔鑫辉 审核人:罗娟梅 曾巧志 满分:150 分 2009-07-07 一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分) 1、经过圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为 ( ) A、 x ? y ? 3 ? 0 B、 x ? y ? 3 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0 D、 x ? y ? 3 ? 0

2、半径为 1cm,中心角为 150o 的弧长为( ) A、

2 cm 3

B、

2? cm 3

C、

5 cm 6

D、

5? cm 6

12 ,则 cos A ? ( ) 5 12 5 5 12 A、 B、 C、 ? D、 ? 13 13 13 13 2 2 2 2 4 、 两 个 圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 与 C2 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的 位 置 关 系 是
3、已知△ABC 中, tan A ? ? ( ) A、外切
2

B、内切

C、相交

D、外离

5、函数 y ? 2 cos ( x ?

?
4

) ? 1是 ( )
B、最小正周期为 ? 的偶函数 D、最小正周期为

A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2


6、已知向量 a ? ? 2,1? , a ? b ? 10 , | a ? b |? 5 2 ,则 | b |? ( A、 5 7、已知 tan ? ? A、 ? B、 10 C、 5 D、 25

1 2 , tan( ? ? ? ) ? ,那么 tan(? ? 2? ) 的值为( 2 5
B、 ?



3 4

1 12
2

C、 ?

9 8

D、

7 9

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8、已知圆 C1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方
2

程为( ) A、 ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

B、 ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

C、 ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

D、 ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

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9、已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的 距离等于 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ) A、 [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 C、 [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 B、 [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 D、 [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

10、设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 ,以 a , b , a ? b 的模为边长构成三 角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( A、 3 B、 4 C、 5 D、 6 ) w.w.w.k.s.5

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分) 11、已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k ,7) ,若 (a ? c) ∥ b ,则 k = 12、 以点 (2,?1 ) 为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 13、右图是一个算法的流程图,最后输出的 W . .

?

.

14、若

?
4

?x?

?
2

,则函数 y ? tan 2x tan3 x 的最大值为
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三、解答题: (本题共 6 小题,共计 80 分) 15、 (本小题满分 12 分)

已知三角形的顶点是 A(-5,0) 、B(3,-3) 、C(0,2) ,求: (1) AB 边上的中线 CD 的长及 CD 所在的直线方程; (2) △ABC 的面积。

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16、 (本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? sin x ? 3 cos x ? 2, x ? R (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 的最大值,并指出此时 x 的值. (3)求函数 f ( x) 的对称轴和对称中心。

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17、 (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (1)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (2)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。

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18、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 交点中,相邻两个交点之间的距离为 (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? [

?
2

)的图象与 x 轴的

? 2? , ?2) . ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2

, ] ,求 f ( x) 的值域. 12 2

? ?

19、 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 . (1) 若直线 l 过点 A(4, 0) , 且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,
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求直线 l 的方程;

(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对 互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦 长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。

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20、 (本小题满分 14 分)

x ? ) ? cos 2 x ? 1. 4 2 ? 2? ] 上是增函数,求 ? 的取值范围; (1)设 ? >0 为常数,若 y ? f (?x)在区间[? , 2 3 ? 2? 1 }, B ? {x | [ f ( x)]2 ? mf ( x) ? m 2 ? m ? 1 ? 0}, 若 A ? B 恒成 (2) 设集合 A ? {x | ? x ? 6 3 2
已知函数 f ( x) ? 4sin x sin (
2

?

立,求实数 m 的取值范围

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广东梅县东山中学 2008-2009 学年度 高一第二学期数学期末答案 一、 选择题: (本题共有 10 小题,每题 5 分,共计 50 分) 题目 答案 A 1 D 2 C 3 C 4 A 5 C 6 B 7 B 8 C 9 B 10

二、 填空题: (本题共有 4 小题,每题 5 分,共计 20 分) 11、 5 12、 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

25 2

13、22 14、—8

三、解答题: (本题共有 6 小题,共计 80 分) 15、 (本小题满分 12 分) 解:⑴ AB 的中点 D 的坐标为: D ( ?1, ? )
2

3 2

…… 2 分

由两点距离公式得: CD ?

3? 53 2 … 4分 ? ?1 ? 0 ? ? ? ?2? ? ? 2? 2 ?

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由直线两点式可得 CD 方程为:

y?2 x?0 ? 3 ? ? 2 ?1 ? 0 2
…… 6 分 程 为 :

整理得: 7 x ? 2 y ? 4 ? 0 ⑵

AC







线



x y ? ?1 ?5 2











2x ? y5 ?

? 1

0

0

…… 7 分

点 B 到直线 AC 的距离为: d ?

6 ? 15 ? 10 4 ? 25

?

31 29 … 9 分 29
…… 10 分 ……12 分

AC ? 25 ? 4 ? 29
S?ABC ? 1 31 31 ? 29 ? 29 ? 2 29 2

另法: AB 方程为 3x ? 8 y ? 15 ? 0 ,C 到 AB 距离为

31 73

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AB 长度为 73 ,面积一样算出为
16、 (本小题满分 12 分)

31 2

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解: f ? x ? ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? 2sin ? x ? ⑴函数 f ( x) 的最小正周期是 T ? ⑵ 当 sin? x ? 最大值为 4 . 此时 x ?

? ?

??

? ? 2 …… 2 分 3?
……4 分

2? ? 2? 1

? ?

??

? ? 1 时, f ( x) 取得最大值, 3?
……………6 分

?
3

?

?
2

? 2k? ,即 x ? 2k? ?

?
6

(k ? Z ) . ……8 分
……10 分

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(3) f ( x) 的对称轴为 x ? k? ? 对称中心为 ? k? ?

?
6

(k ? Z )

? ?

?

? , 2 ? (k ? Z ) 3 ?

……12 分

评分说明:此处对称轴一定要写成 x ? k? ?

?
6

(k ? Z ) 的形式;对称中心学生容易写成

? ? ? ? k? ? , 0 ? ,一律零分; 3 ? ?
另外, k ? Z 没写,一个扣 1 分。 17、 (本小题满分 14 分) 解: ⑴因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? , 于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ? ……2 分 ……4 分

1 . 4

⑵由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos? ? 2sin ? )2 ? 5, ……6 分 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5.
2

从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,……8 分 即 sin 2? ? cos 2? ? ?1, 于是 sin(2? ?

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?
4

)??

2 . 2

……10 分

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又由 0 ? ? ? ? 知,

?

4 5? 所以 2? ? ? , 4 4 ? 7? 或 2? ? ? . 4 4 ? 3? . 因此 ? ? ,或 ? ? 4 2

? 2? ?

?
4

?

?

9? ,……11 分 4
……12 分 ……13 分 ……14 分

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18、 (本小题满分 14 分) 解(1)由最低点为 M (

2? , ?2) 得 A=2. 3

…2 分

由 x 轴 上 相 邻 的 两 个 交 点 之 间 的 距 离 为

2? 2? ? ?2 T ? 2? , ?2) 在图像上可得: 由点 M ( 3 2? 4? 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 3 3 4? ? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z 故 3 2 11? ?? ? 2 k? ? 6

? T ? 得 = , 即 T ?? , 2 2 2

??

……4 分

……6 分

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……7 分 又 ? ? (0,

?
2

),?? ?

?
6

,

……9 分 ……10 分

故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 6
(2)

?

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? ? ? = ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 2 ; ……12 分 6 2 6 ? 7? ? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ?1 ,……13 分 6 6 2
当 2x ? 故 f ( x ) 的值域为 ? ?1, 2? .w.w.k.s.5.u.c.o.m 19、 (本小题满分 14 分)
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x ? [ , ],     12 2 ? ? 7?   ? 2x ? ?[ , ] 6 3 6

? ?

……11 分

……14 分

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解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,不满足条件 ……1 分 设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 …2 分 由垂径定理得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 42 ? ( 结合点到直线距离公式,得:

2 3 2 ) ? 1, 2

| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1
7 24

? 1, ……3 分
……4 分

化简得: 24k ? 7k ? 0, k ? 0, or , k ? ?
2

求直线 l 的方程为: y ? 0 或 y ? ? 即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0

7 ( x ? 4) , 24
……5 分

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:w

1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) , k
即: kx ? y ? n ? km ? 0, ?

1 1 x? y?n? m ? 0 k k

……6 分

因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,两圆半径相等。 由 垂 径 定 理 得 : 圆 心 C1 到 直 线

l1



C2

直线

l2

的距离相等。

故有:

| ?3k ? 1 ? n ? km | k ?1
2

4 1 | ? ?5? n? m| k , ? k 1 ?1 k2

……8 分

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得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3, 或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 …10 分 关于 k 的方程有无穷多解, 有: ?

?2 ? m ? n ? 0 ?m-n+8=0 ,或 ? ?m ? n ? 3 ? 0 ?m+n-5=0

…………12 分 ……14 分

解之得:点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。 2 2 2 2 20、 (本小题满分 14 分)

1 ? cos( ? x) 2 解:⑴ f ( x) ? 4sin x ? ? cos 2 x ? 1 2

?

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? 2sin x(1 ? sin x) ? 2sin 2 x ? 2sin x. ……2 分

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f (? x) ? 2sin ? x在[? ?[ ?
?

? 2?
2 , 3

] 是增函数,

? 2?
2 , 3

] ? [?

2? ? 3 ? ,? ? ? (0, ] 3 2? 4

? ? , ] 2? 2?

……4 分

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(2) [
2

1 f ( x)]2 ? mf ( x) ? m 2 ? m ? 1 2
2

= sin x ? 2m sin x ? m ? m ? 1 ? 0 因为 x ? [

…5 分

? 2?
6
2

,

3

] ,设 sin x ? t ,则 t ?[
2

1 ,1] 2
…6 分

上式化为 t ? 2mt ? m ? m ? 1 ? 0 由题意,上式在 t ?[

1 ,1]上恒成立. 2

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

记 f (t ) ? t 2 ? 2mt ? m2 ? m ?1 , 这是一条开口向上抛物线,

…7 分

1 ? m? ? ? 2 则? ? f (1) ? 0 ? ? 2
?1 ? ? m ?1 或 ?2 ? ?? ? 0
或?

……8 分

……9 分

?m ? 1 ? f (1) ? 0
3 或m ? 1. 2

……10 分

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解得: m ? ?

……14 分

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