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山西省忻州一中2014届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案


山西省忻州一中 2013-2014 学年高三上学期期中考理科数学试题

注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5mm 黑色中性笔,将姓名、班级、考号填写在试题和答 题卡上。 2.请把答案做在答题卡上,交卷时只交答题卡,不交试题,答案写在试题上无效。 3.满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)

? x ? 1.设集合 A ? ? x ? 0? , B ? x y ? ? x?4 ?
A. [2, 4] B. [0, 2]
2

?

? x 2 ? 10 x ? 16 ,则 A B 等于

?

C. 2, 4 ?

?

D. [0,8]

2.若命题“ ?x0 ? R, 使得 x0 ? mx0 ? 2m ? 3 ? 0 ”为假命题,则实数 m 的取值范围是 A. ?2,6? D. ?? 6,?2? 3.已知 k <4,则曲线 A.相同的准线 B. ?? 6,?2? C .

?2,6?

x2 y2 x2 y2 ? ? 1和 ? ?1有 9 4 9?k 4?k
C.相同的离心率 D.相同的长轴

B.相同的焦点

4 .设 a , b 是平面 ? 内两条不同的直线,是平面 ? 外的一条直线,则 是 “l ? a, l ? b”

“l ? ?” 的
A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

高三数学试题(理科)

第 1 页(共 4 页)

5.已知数列 ?an ? 为等比数列,且 a4 ? a6 ? 2a5 ,设等差数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,若

b5 ? 2a5 ,则 S9 =
A.36 B.32 C.24 D.22

6.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 4 sin 3 x cos x( x ? R) 的最小正周期为 A.

? 8

B.

? 4

C.

? 2

D. ?

7.一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的 等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为 A. 12? C. 3? B. 4 3? D. 12 3?

8.函数 f ?x ? ? loga ?6 ? ax? 在 ?0,2? 上为减函数,则 a 的取值范围是 A. ?0,1? 9.已知函数 f(x)=x﹣4+ 坐标系中函数 g(x)= A. B. B. ?1,3? ,x∈(0,4) ,当 x=a 时,f(x)取得最小值 b,则在直角 的图象为 C. D. C. ?1,3?

2 2 2 10.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C 的最小

值为 A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

高三数学试题(理科)

第 2 页(共 4 页)

11.已知偶函数 y ? f ( x) ( x ? R) 在区间 [0,3] 上单调递增,在区间 [3, ??) 上单调递减, 且满足 f (?4) ? f (1) ? 0 ,则不等式 x3 f ( x) ? 0 的解集是

A. (?4, ?1) C. (??, ?4)

(1, 4) (?1,0) (1, 4)

B. (??, ?4) D. (?4, ?1)

(?1,1) (3, ??) (0,1) (4, ??)

12 . 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的 导 数 f ' ( x), f ' (0) ? 0 , 且 f ( x) 的 值 域 为

[0,??) ,则
A.3

f (1) 的最小值为 f ' (0)
B.

5 2

C.2

D.

3 2

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上) 13.已知向量 a 的模为 1,且 a, b 满足 | a ? b |? 4, | a ? b |? 2 ,则 b 在 a 方向上的投影等 于 .

14. 函数( f x) =lnx+ax 存在与直线 2x﹣y=0 平行的切线, 则实数 a 的取值范围是_________. 15.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?2013,其前 n 项和为 Sn ,若 值等于 .

S12 S10 ? ? 2 ,则 S 2013 的 12 10

x ? ?2 16.设函数 f ? x ? ? ? ? ?log 2 x

? x ? 0? ,函数 y ? ? x ? 0?

f? ? f ? x ?? ? ? 1 的零点个数为_________.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把 解答写在答题卡的相应位置上) 17 . ( 本 小 题 满分 10 分) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 且

a ? b, sin A ? 3 co sA ? 2 sinB .
(1)求角 C 的大小; (2)求

a?b 的最大值. c

18. (本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 .且 a2 ,a5 ,a14 分

高三数学试题(理科)

第 3 页(共 4 页)

别是等比数列 {bn } 的 b2 ,b3 ,b4 .

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第 3 页(共 4 页)

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(1)求数列 {an} 与 {bn } 的通项公式; (2)设数列 {cn } 对任意自然数 n 均有 的值. 19.(本小题满分 12 分)如图在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧

c1 c2 c ? ? ? ? n ? an ?1 成立,求 c1 ? c2 ? ? ?c 2013 bn b1 b2

2 面 PAD ? 底面 ABCD ,且 PA ? PD ? AD . 2
(1)求证:面 PAB ? 平面 PDC ; (2)求二面角 B ? PD ? C 的余弦值.

P D

C

A

B


20.(本小题满分 12 分)如图已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦 坐标为 F (1,0) ,过 F 的直线交抛物线 C 于 A,B 两点,直线

AO,BO 分别与直线 m : x ? ?2 相交于 M ,N 两点.
(1)求抛物线 C 的方程; (2)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值. 21. (本小题满分 12 分)某出版社新出版一本高考复习用书,该书的成本为 5 元/本,经销 过程中每本书需付给代理商 m 元(1≤m≤3)的劳务费,经出版社研究决定,新书投放市场 后定价为 x 元/本(9≤ x ≤11) ,预计一年的销售量为 (20 ? x) 万本.
2

(1)求该出版社一年的利润 L (万元)与每本书的定价 x 的函数关系式; (2)当每本书的定价为多少元时,该出版社一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 R ( m) 22.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? (1)讨论函数 h( x) ?

a 3 2 ? x ln x , g ( x) ? x ? x ? 3 . x

f ( x) 的单调性; x

(2)若存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M ;(3) 如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s ) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

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参考答案(理科)
一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分)

1 C

2 A

3 B

4 C

5 A

6 C

7 C

8 B

9 B

10 C

11 D

12 C

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分) 13. -3 14. ?? ?,2? 15.-2013 三、解答题:(共 70 分) 17.(10 分)

16.2

? ? 解: (1)sin A+ 3cos A=2sin B 即 2sin A+ 3 =2sin B,则 sin A+ 3 =sin B.…3 分

(

)

(

)

因为 0<A,B<?,又 a≥b 进而 A≥B, 2? ? ? 所以 A+ 3 =?-B,故 A+B= 3 ,C= 3 . …6 分 (2)由正弦定理及(1)得 a+b sin A+sin B 2 ? ? c = sin C = 3 sin A+sin A+ 3 = 3sin A+cos A=2sin A+ 6 .…9 分

[

(

)]

(

)

a+b ? 当 A= 3 时, c 取最大值 2. 18.(12 分) 解: (1)∵ a2=1+d ,a5=1+4d ,a14=1+13d,且 a2、a5、a14 成等比数列 ∴ (1 ? 4d )2 ? (1 ? d )(1 ? 13d ) ∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 又∵ b2 ? a2 ? 3,

…10 分

即d ? 2

…3 分 …4 分

b3 ? a5 ? 9 .
…6 分 ①

∴ q ? 3, b1 ? 1, bn ? 3n ?1 (2)∵ 1 ?

c b1

c2 c ? … ? n ? an ?1 bn b2
, 又

∴ 1 ? a2

c b1

即 c1 ? b1a2 ? 3

c1 c2 c ? ? … ? n ?1 ? an (n ≥ 2) bn ?1 b1 b2



① -② :

cn ? an ?1 ? an ? 2 bn
n?1

∴ cn ? 2bn ? 2 ? 3 ∴

(n ≥ 2)

…10 分

( n ? 1) ? 3 cn ? ? n ?1 (≥ 2 ) ?2 ? 3 n
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…11 分

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则 c1 ? c2 ? c3 ? … ?c2013 ? 3 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? … ?2 ? 32013?1

? 3 ? 2 ? (13 ? 23 ? 33 ?
? 3? 2?
19.(12 分) (1)解法一:因为面 PAD ? 面 ABCD

012 ?23 )

3(1 ? 32012 ) ? 32013 1? 3
平面 PAD

…12 分

面 ABCD ? AD

ABCD 为正方形, CD ? AD , CD ? 平面 ABCD
所以 CD ? 平面 PAD 又 PA ? PD ? 且 ?PAD ?

CD ? PA ∴

…………………………2 分

2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形, 2

?
2

即 PA ? PD

CD

PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 PDC
面 PAB ? 面 PDC …………………………6 分
z P E

PA ? 面 PDC
又 PA ? 面 PAB 解法二: 如图,取 AD 的中点 O , 连结 OP , OF .

PA ? PD , ∵

PO ? AD . ∴
D O

∵ 侧面 PAD ? 底面 ABCD ,

C

平面PAD ? 平面ABCD ? AD ,
PO ? 平面ABCD , ∴
OF // AB , 而 O, F 分别为 AD, BD 的中点,∴
又 ABCD 是正方形,故 OF ? AD .
x

F A B

y

PA ? PD ? ∵

a 2 PA ? PD , OP ? OA ? . AD ,∴ 2 2

→ → → 以 O 为原点,向量OA,OF,OP为 x, y, z 轴建立空间直线坐标系,

a a a a a , 0) , D (? , 0, 0) , P (0, 0, ) , B ( , a, 0) , C (? , a, 0) . 2 2 2 2 2 a a a E (? , , ) ∵ …………………………2 分 E 为 PC 的中点, ∴ 4 2 4
则有 A( , 0, 0) , F (0,

a 2

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a a a → → → a PA ? ( , 0, ? ) ,CD=(0,-a,0) ∴ (1)∵ ?PA?CD=(2,0,- 2)?(0,-a,0)=0, 2 2 ∴ PA ? CD ,从而 PA ? CD ,又 PA ? PD , PD

CD ? D ,

PA ? 平面PDC ,而 PA ? 平面PAB , ∴
∴ 平面 PAB ? 平面 PDC . …………………………6 分

(2)由(1)知平面 PDC 的法向量为 PA ? ( , 0, ? ) . a → → a 设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x, y, z) .∵ DP=(2,0, 2)?,BD=(-a,-a,0)

a 2

a 2

? ?a?x+0?y+a?z=0 2 ∴ 由 n ? DP ? 0, n ? BD ? 0 可得?2 ? ?-a?x-a?y+0?z=0
→ 取 x ? 1 ,则 y=-1,z=-1,故 n =(1,-1,-1) …………………………10 分 ∴ cos ? n, PA ??

n ? PA n PA

?

a 2 a? 3 2

?

6 , 3

即二面角 B ? PD ? C 的余弦值为

6 ,……………………12 分 3
可知

20.(12 分)解: (1)由焦点坐标为 (1, 0)

p ?1 2

所 以 p?2 , 所 以 抛 物 线 C 的 方 程 为

y 2 ? 4x

…5 分

(2)当直线垂直于 x 轴时, ?ABO 与 ?MNO 相似,

所以

OF 2 1 S ?ABO ?( ) ? , S ?MNO 2 4

…7 分

当直线与 x 轴不垂直时,设直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 M (?2, y M ) , N (?2, y N ) , A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,

? y ? k (x ? 1), 解? 2 整理得 k 2 x 2 ? (4 ? 2k 2 )x ? k 2 ? 0 , ? y ? 4x,
所以 x1 ? x 2 ? 1 ,

…9 分

…10 分

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1 ? AO ? BO ? sin ?AOB S ?ABO AO BO x1 x2 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? , S ?MNO 1 ? MO ? NO ? sin ?MON MO NO 2 2 4 2
综上

S ?ABO 1 ? S ?MNO 4

…12 分

21.解: (1)该出版社一年的利润 L (万元)与每本书定价 x 的函数关系式为:

L ? ( x ? 5 ? m)(20 ? x) 2 , x ?[9,11] .……………5 分(定义域不写扣 1 分)
(2) L/ ( x) ? (20 ? x) 2 ? 2( x ? 5 ? m)(20 ? x)

? (20 ? x)(30 ? 2m ? 3x) .…………………6 分
2 m 或 x=20(不合题意,舍去) .…………7 分 3 32 2 2 ?1 ? m ? 3 , ? ? 10 ? m ? 12 .在 x ? 10 ? m 两侧 L? 的值由正变负. 3 3 3 3 32 2 ? 10 ? m ? 11 时, ① 当1 ? m ? 即 2 3 3
令 L? ? 0 得 x ? 10 ? 2 2 L(x)在[9, 10+3m]上是增函数,在[10+3m,11]上是减函数。 2 2 2 m Lmax=L(10+3m)=( 10+3m-5-m)[(20-(10+3m)]2=4(5- 3 )3……9 分 ② 当

3 2 ? m ? 3 即 11 ? 10 ? m ? 12 时,L(x)在[9,11]上是增函数, 2 3

Lmax ? L(11) ? (11? 5 ? m)(20 ? 11) 2 ? 81(6 ? m) ,………………11 分
m 3 3 ? 4 ( 5 ? ) , 1 ? m ? ? ? 3 2 所以 R ( m) ? ? 3 ?81(6 ? m), ?m?3 ? 2 ?
答:若 1 ? m ?

3 2 ,则当每本书定价为 10 ? m 元时,出版社一年的利润 L 最大,最大值 2 3 m 3 R ( m) ? 4(5 ? ) 3 (万元) ;若 ? m ? 3 ,则当每本书定价为 11 元时,出版社一年的利 3 2

润 L 最大,最大值 R(m) ? 81(6 ? m) (万元)…………………………12 分 22. (12 分) (1) h( x) ?

a ? ln x ,x (0,+∞) x2

h? ( x) ? ?

2a 1 x 2 ? 2a , ? ? x x3 x3

① 当 a≤0 时,∵ x>0,h?(x)>0,函数 h( x)在(0, ??)上单调递增, ② 当 a<0 时,由 h?(x)>0 得 x> 2a,函数 h( x)的单调递增区间为( 2a , ??)
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h?(x)<0 得 0<x< 2a,函数 h( x)的单调递减区间为(0, 2a ) …………5 分 (2)存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M , 考察 g ( x) ? x ? x ? 3 , g '( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? 3 x( x ? ) ,
3 2

…………7 分

2 3

x
g '( x)
g ( x)

0

2 (0, ) 3

2 3
0 极 (最) 小值 ? 85

2 ( , 2] 3

2

0

?
递减

?
27

?3

递增

2 85 由上表可知: g ( x) min ? g ( ) ? ? , g ( x) max ? g (2) ? 1 , 3 27 112 , …………9 分 [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ? 27
所以满足条件的最大整数 M ? 4 ; …………10 分

(3)当 x ? [ , 2] 时,因为 g(x)max=1, 对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s ) ? g (t ) 成立,
? f(x)min≥g(x)max,

1 2

1 2

即 f ( x) ?

a ? x ln x ? 1 恒成立 x
…………11 分

等价于 a ? x ? x 2 ln x 恒成立, 记 G(x)=x-x2lnx,x (0,+∞),所以 a≥G(x)max,

G?(x)=1 -2xlnx-x,∵G?(1)=0, x ? [ ,1) 时 G?(x)=1-x-2xlnx >0, x [1,2]时,G?(x)<0, G(x)在区间 [ ,1) 上递增,在[1,2]上递减。G(x)max=G(1)=1 所以 a ? 1 …………12 分

1 2

1 2

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